高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題六 不等式-2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷

專題六不等式——2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．已知，，記，，則M與N的大小關(guān)系是()A. B. C. D.無法確定1．答案：B解析：因為，，所以，，所以，所以.2．若a，b是任意實數(shù)，且，則()A. B. C. D.2．答案：C解析：對于A，，因為，所以，但是a的符號不確定，所以A錯誤；對于B，因為，所以，但是a的符號不確定，所以B錯誤；對于C，由，得，所以C正確；對于D，當(dāng)，時，滿足，但，所以D錯誤.3．[2025屆·福建寧德·模擬考試?？糫定義，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.3．答案：C解析：方法一：等價于，即，所以，解得.方法二：等價于，即.因為，所以，所以.4．某單位在對一個長，寬的矩形空地進(jìn)行綠化，設(shè)計方案初步確定為：中間為矩形綠草坪，四周是等寬的花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度x（m）的取值范圍為()A. B. C. D.4．答案：B解析：因為花壇的寬度為，所以綠草坪的長為，寬為，綠草坪面積為，總面積為.根據(jù)題意可得，整理得，解得或.由題意知解得，所以.故選B.5．已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，且實數(shù)，滿足，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C.或 D.或5．答案：D解析：由不等式的解集，可得一元二次方程的根為，，則，，由，得或.由，得，即，解得或.綜上，實數(shù)m的取值范圍是或.6．[2023秋·高一·寧夏銀川·期中]若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.或C. D.或6．答案：D解析：由兩個正實數(shù)x，y滿足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.由不等式有解，得，解得或.7．某服裝加工廠為了適應(yīng)市場需求，引進(jìn)某種新設(shè)備，以提高生產(chǎn)效率和降低生產(chǎn)成本，已知購買m臺設(shè)備的總成本為（單位：萬元）.若要使每臺設(shè)備的平均成本最低，則應(yīng)購買設(shè)備()A.100臺 B.200臺 C.300臺 D.400臺7．答案：B解析：由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以應(yīng)購買200臺.8．設(shè)，，且，則的最小值是()A.1 B.2 C.4 D.88．答案：A解析：方法一：因為，，且，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.方法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.二、多項選擇題9．不等式對任意的恒成立，則()A. B. C. D.9．答案：ACD解析：可整理為，則，故A正確.當(dāng)，時，滿足，即原不等式成立.B錯誤；由，得，所以.C正確；.D正確.故選：ACD.10．若，，且，則()A.mn的最大值為 B.的最小值為5C.的最小值為 D.的最大值為10．答案：ABC解析：A√因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.B√，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.C√，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時，等號成立.D×，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.11．[2024春·高一·遼寧·開學(xué)考試聯(lián)考]若a，b，，則下列命題正確的是().A.若且，則 B.若，則C.若，則 D.若且，則11．答案：BC解析：對于A，取，，則不成立.對于B，若，則，.對于C，若，則，，.對于D，若且，則，，而b可能為0，因此不正確.三、填空題12．已知實數(shù)x，y滿足，，則的取值范圍為___________.12．答案：解析：設(shè)，則解得.，，，，.13．已知不等式的解集是，則不等式的解集是__________.13．答案：或解析：因為不等式的解集是，所以，且2和3是方程的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得因為不等式，所以，即，解得或.14．已知，則的最小值為__________.14．答案：解析：因為，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立.四、解答題15．關(guān)于x的不等式的解集為或.（1）求關(guān)于x的不等式的解集；（2）求關(guān)于x的不等式的解集.15．答案：（1）（2）解析：（1）因為不等式的解集為或，所以解得所以不等式化為，解得，所以所求不等式的解集為.（2）由（1）知不等式可化為，即，即，即，解得，所以所求不等式的解集為.16．如圖1所示為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一——走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日.燈內(nèi)點上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動.輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖象便不斷走動，因剪的圖象為古代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動時看起來好像幾個人你追我趕一樣，故名走馬燈.現(xiàn)打算做一個體積為的長方體狀的走馬燈（題中不考慮木料的厚薄粗細(xì)）.（1）若底面大矩形的周長為，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，底面面積最大？（2）若燈籠高為，現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架（如圖2），當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，框架用料最少？16．答案：（1）40（2）當(dāng)長為，寬為時，用料最少解析：（1）設(shè)大矩形的長為x，寬為y，依題有，即，則底面面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，底面面積最大.（2）依題有，框架用料最少等價于底面用料為最小即可，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故當(dāng)長為，寬為時，用料最少.17．已知a，b，c均為正實數(shù)，求證：（1）；（2）.17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）證明：左邊，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.故.（2）證明：因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以，所以，所以，①同理，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，②，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.③，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.18．為發(fā)展空間互聯(lián)網(wǎng)，搶占6G技術(shù)制高點，某企業(yè)計劃加大對空間衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)研發(fā)的投入.據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入萬元，現(xiàn)把研發(fā)部人員分成兩類：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（且），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入為萬元.（1）要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，則調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？（2）是否存在實數(shù)m，同時滿足兩個條件：①技術(shù)人員的年人均投入始終不減少；②調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.18．答案：（1）75人（2）存在實數(shù)m滿足條件，且實數(shù)m的值為7解析：（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的人數(shù)為，年人均投入為萬元，則，解得，又，，所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.（2）假設(shè)存在實數(shù)m滿足條件.由條件①，得，解得.又，，所以當(dāng)時，取得最大值7，所以.由條件②，得，不等式兩邊同除以ax，得，整理得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.綜上，得.故存在實數(shù)m滿足條件，且實數(shù)m的值為7.19．[2023秋·高一·重慶南岸區(qū)·月考?？糫書籍《見微知著》中談到：從一個簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法.閱讀材料：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有整體觀察、整體設(shè)元、整體代入、整體求和等.例如，已知，求證：.證明：原式.波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長.”同理，我們有更多的式子滿足以上特征.請根據(jù)以