高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題七 空間向量與立體幾何-2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷

專題七空間向量與立體幾何——2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2024春·高一·浙江·月考聯(lián)考]某同學(xué)有一個形如圓臺的水杯如圖所示，已知圓臺形水杯的母線長為，上、下底面圓的半徑分別為和.為了防燙和防滑，水杯配有一個杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）()A. B. C. D.1．答案：C解析：根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個圓臺，且該圓臺的母線長是圓臺形水杯的母線長的，即，下底面圓的半徑為圓臺形水杯的下底面圓的半徑，即，上底面圓的半徑是，所以杯套的表面積.故選C.2．[2024春·高一·廣西南寧·期末?？糫在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，，，則此四面體的外接球表面積為()A. B. C. D.2．答案：B解析：根據(jù)題意，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，將鱉臑補全成長方體，如圖，則此四面體的外接球的半徑為，其外接球的表面積為.故選：B.3．[2024春·高一·四川綿陽·期末?？糫已知l，m，n表示不同的直線，，，表示不同的平面，則下列四個命題正確的是()A.若，且，則 B.若，，，則C.若，且，則 D.若，，，則3．答案：C解析：若，且，則l與m可能平行，可能相交，可能異面，A選項錯誤；若，，，則m與n可能平行，可能相交，可能異面，B選項錯誤；兩條平行直線，其中一條與平面垂直，則另一條也與平面垂直，C選項正確；若，，，則與可能平行可能相交，D選項錯誤.故選：C4．[2024春·高一·四川綿陽·期末?？糫在正四棱臺中，已知，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為()A. B. C. D.4．答案：B解析：由題意可得正四棱臺的截面圖，如圖所示，且為等腰梯形，過點做，過點做，由線面角的定義可知，側(cè)棱與底面所成角即為，由條件可得，，,，則，,則，所以為等腰直角三角形，所以，即.故選：B.5．[2023春·高一·河南鄭州·月考?？糫在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則()A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面5．答案：A解析：對于A選項：在正方體中，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以，則有，又由正方體的性質(zhì)可得，又，從而平面.又因為平面，所以平面平面，所以A選項正確.對于B選項：因為平面平面，由選項A知平面平面，若平面平面，則平面，顯然不成立，所以B選項錯誤.對于C選項：由題意知直線與直線必相交，故平面與平面有公共點，所以C選項錯誤.對于D選項：如圖，連接，，，易知平面平面，又因為平面與平面有公共點，故平面與平面不平行，所以D選項錯誤.故選A.6．[2023秋·高二·青海西寧·期末]如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點，點F滿足.若，，，則()A. B. C. D.6．答案：C解析：由題意知.故選C.7．已知空間向量，，，若這三個向量共面，則實數(shù)等于()A.1B.2C.3D.47．答案：A解析：由題意得，存在實數(shù)x，y，滿足，即，所以解得故實數(shù)等于1.8．在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如圖所示的“曲池”，它的高為4，，，，均與“曲池”的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為2和4，對應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8．答案：A解析：設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為O，連接，，，，，以O(shè)為原點，分別以，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，.所以，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.故選A.二、多項選擇題9．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為.若P，Q分別為線段BD，CA上的動點，則下列說法正確的是()A.平面平面BCDB.線段PQ長度的最小值為C.當(dāng)，時，點D到直線PQ的距離為D.當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為9．答案：ABD解析：取BD的中點O，連接OA，OC.在菱形ABCD中，，，所以.因為，所以，所以.又因為，O為BD的中點，所以，同理可得，因為，，，平面BCD，所以平面BCD.因為平面ABD，所以平面平面BCD，故A正確.又，，，故以O(shè)為原點，OB，OC，OA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.當(dāng)，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故C錯誤.設(shè)，，設(shè)，，得，，當(dāng)且時，，故B正確.當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確.故選ABD.10．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論正確的有()A.當(dāng)點E運動時，總成立B.當(dāng)E向運動時，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值10．答案：ACD解析：對于A，連接，，.因為四邊形為正方形，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面.又因為平面，所以，同理可證.又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以總成立，故A正確.對于B，連接BD，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當(dāng)E向運動時，二面角的大小不變，故B錯誤.對于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，因為E，F(xiàn)在上，且，故可設(shè)，，，則，由題易知平面ABC的一個法向量為，設(shè)平面ABE的法向量為，則取，則，，故，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，所以，又，所以當(dāng)時，取得最大值，取得最小值，故C正確.對于D，因為，點A到平面EFB的距離即為點A到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選ACD.11．已知在直三棱柱中，底面是一個等腰直角三角形，且，E，F(xiàn)，G，M分別為，，，的中點，則()A.與平面夾角的余弦值為B.與的夾角為C.平面EFBD.平面平面11．答案：BCD解析：如圖①，以B為原點，BC，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，，，，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則有令，可得平面的一個法向量為，則，與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯誤.，與的夾角的余弦值為，則其夾角為，B正確.如圖②，連接，，設(shè)，連接，，M分別為，的中點，且，為平行四邊形，則O為的中點.又為的中點，，又平面，平面，平面，C正確.連接，如圖②，由題可知平面即為平面，且，，又，平面，平面，又平面，則，又四邊形為正方形，則，又，平面，所以平面，又平面，平面平面，即平面平面，D正確.故選BCD.三、填空題12．[2024春·高一·青海西寧·期末]在正方體中,E是的中點,求與兩條異面直線所成角的余弦值為______________.12．答案：解析：如圖,取的中點,連接,,,則,,所以,且,故四邊形是平行四邊形,則,故即為與所成角（或其補角）,設(shè)正方體的棱長為2,由勾股定理得,,在中,由余弦定理得,故與兩條異面直線所成角的余弦值為.故答案為：.13．[2023屆·貴州遵義·模擬考試校考]已知平面四邊形ABCD中，點B，D在線段AC兩側(cè)，且線段AC的垂直平分線為直線BD，其中，，現(xiàn)沿BD進行翻折，使得點A到達點的位置，且A′到C的距離為3，連接，，，則四面體體積的最大值為_____________.13．答案：解析：如圖，，，所以A點在以B，D為焦點，長軸長為15的橢圓上，該橢圓中：，，即，，因此，由橢圓性質(zhì)知A點到直線的距離的最大值為，設(shè)與交于點O，因為，即，，又，，平面，所以面，，，因此，而，因此，，所以時，取得最大值，即取得最大值.故答案為：.14．如圖，由直三棱柱和四棱錐構(gòu)成的幾何體中，，，，，平面平面.P為線段BC上一動點，當(dāng)_________時，直線DP與平面所成角的正弦值為.14．答案：1解析：以A為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以，.設(shè)平面的法向量，所以所以取，可得平面的一個法向量，設(shè)，，所以，所以解得或（舍去），所以.因為，所以.四、解答題15．如圖，在三棱錐中，平面平面，，O為BD的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.15．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因為，O為BD的中點，所以.又平面平面，平面ABD，平面平面，所以平面BCD.又平面BCD，所以.（2）如圖，取OD的中點F，連接CF，則.過點O作交BC于點G，則.所以O(shè)G，OD，OA兩兩垂直.以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)G，OD，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖所示，則，，，.設(shè)，，又，則，所以，.設(shè)平面BCE的法向量為，則令，則，，所以.易知平面BCD的一個法向量為，因為二面角的大小為，所以.又，得，即，所以16．[2024屆·遼寧沈陽·模擬考試校考]已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點，D為棱上的點，.（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面DFE所成的二面角的正弦值最??？16．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）因為E，F(xiàn)分別是AC和的中點，且，所以，.連接AF，由，，得，于是，所以.由，得，故以B為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.設(shè)，則，于是.所以，所以.（2）平面的一個法向量為.設(shè)面DFE的一個法向量為，，，則，所以，令，得，，所以，所以.設(shè)面與面DFE所成的二面角為，則，故當(dāng)時，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小，為，即當(dāng)時，面與面DFE所成的二面角的正弦值最小.17．[2023屆·江蘇揚州·模擬考試?？糫如圖，四面體ABCD中，，，，E為AC的中點.（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.17．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因為在和中，，，，所以，所以.又因為E為AC的中點，所以.因為，E為AC的中點，所以.又，所以平面BED.又因為平面ACD，所以平面平面ACD.（2）由（1）得，又，所以為等邊三角形.因為，所以，.因為，，所以是等腰直角三角形，所以，.因為，所以，于是在中，設(shè)h為的邊BD的高，則由等面積可得，即.連接EF，由（1）知平面BED，又平面BED，所以，于是當(dāng)時，的面積最小，此時，，，所以此時F為線段BD上靠近點D的四等分點.以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，.設(shè)平面ABD的法向量為，則即，令，則.所以，故直線CF與平面ABD所成的角的正弦值為.18．在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框ABCD，ABEF的邊長都是1，且平面平面ABEF，活動彈珠（大小不計）M，N，G分別在線段AC，BF，AB上移動，，平面MNG，記.（1）證明：平面ABEF；（2）當(dāng)MN的長度最小時，求二面角的余弦值.18．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因為平面MNG，且平面ABEF，平面平面，所以.因為，所以，則，，即，所以.因為，所以，又平面平面ABEF，平面平面，平面ABCD，所以平面ABEF.（2）由（1）知，平面ABEF，因為平面ABEF，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.所以當(dāng)MN的長度最小時，，G為AB中點.以點B為坐標(biāo)原點，BA，BE，BC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，.設(shè)平面AMN的法向量為，則取，可得.設(shè)平面BMN的法向量為，則取，可得.所以，由圖可知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.19．如圖①，已知三棱錐，圖②是其平面展開圖，四邊形ABCD為正方形，和均為正三角形，O，G分別為AC，PA的中點，.（1）求證