西北大學(xué)量子力學(xué) 7.2 學(xué)習(xí)課件

7.2全同粒子體系的波函數(shù)這一節(jié)我們先討論由兩個(gè)全同粒子組成的體系。在不考慮粒子間相互作用條件下，兩粒子體系的哈密頓算符為，是每個(gè)粒子的哈密頓算符因?yàn)槭侨Ｗ?，所以兩粒子的哈密頓算符相同。的本征方程為當(dāng)?shù)谝粋€(gè)粒子處于態(tài)，第二個(gè)粒子處于態(tài)，體系的能量是7.2全同粒子體系的波函數(shù)體系的波函數(shù)是滿足若兩粒子交換，則能量表達(dá)式不變，但波函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檫@說明和對(duì)應(yīng)相同的能量本征值，體系存在交換簡(jiǎn)并。7.2全同粒子體系的波函數(shù)當(dāng)時(shí)，兩波函數(shù)即不是對(duì)稱波函數(shù)，也不是反對(duì)成波函數(shù)。這種波函數(shù)是不能描述全同粒子體系的。要描述全同系，必須將波函數(shù)做對(duì)稱化或反對(duì)稱化，于是有1.當(dāng)時(shí)波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。2.當(dāng)時(shí)是對(duì)稱波函數(shù)7.2全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱波函數(shù)。由上式可知，若，即兩粒子處于同一狀態(tài)時(shí)上述結(jié)果可以推廣到N個(gè)全同粒子組成的體系。7.2全同粒子體系的波函數(shù)若粒子間的相互作用可以忽略，體系的哈密頓算符為各粒子的薛定諤方程為體系的薛定諤方程為7.2全同粒子體系的波函數(shù)體系的能級(jí)和波函數(shù)為對(duì)于由N個(gè)全同玻色子組成的體系，波函數(shù)是對(duì)稱的。對(duì)稱化后的波函數(shù)為：式中表示N個(gè)粒子在波函數(shù)中的某一種排列， 是歸一化常數(shù)。7.2全同粒子體系的波函數(shù)顯然，是處在第個(gè)單粒子態(tài)中的粒子數(shù)。因此，對(duì)于由N個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系，波函數(shù)是反對(duì)稱的。需將其反對(duì)稱化。為此，我們先將二粒子體系的反對(duì)稱波函數(shù)式寫成行列式7.2全同粒子體系的波函數(shù)在將其推廣到N粒子體系，7.2全同粒子體系的波函數(shù)上式稱為斯萊特行列式，因?yàn)槿魏蝺闪Ｗ拥慕粨Q相當(dāng)于行列式中兩列之間的交換，行列式必然反號(hào)。因此，斯萊特行列式是反對(duì)稱的。特別重要的是：如果兩個(gè)或兩個(gè)以上粒子的狀態(tài)相同，則由于行列式中有兩行以上相同，這個(gè)行列式必為零。這表示不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的全同費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，這個(gè)結(jié)果稱為泡利不相容原理。7.2全同粒子體系的波函數(shù)另外，如果粒子間存在相互作用，我們雖然不能把體系波函數(shù)寫成單粒子波函數(shù)形式或進(jìn)行對(duì)稱化或反對(duì)稱化，但這并不等于不可以對(duì)稱化或反對(duì)稱化。事實(shí)上，總可以找出，然后互換波函數(shù)中的粒子坐標(biāo)來進(jìn)行對(duì)稱化或反對(duì)稱化。當(dāng)然，如果粒子只定域在空間的某一區(qū)域，描寫粒子的波函數(shù)在空間是分開的不重疊。全同粒子的不可區(qū)分性就不重要了。7.2全同粒子體系的波函數(shù)自旋的影響在忽略粒子自旋和軌道相互作用的情況下，體系的波函數(shù)可以寫成坐標(biāo)的函數(shù)和自旋函數(shù)的乘積。取表示粒子的坐標(biāo)，表示粒子的自旋，有如果粒子是費(fèi)米子，波函數(shù)對(duì)稱，于是有兩種情況對(duì)稱，反對(duì)稱；反對(duì)稱，對(duì)稱。7.2全同粒子體系的波函數(shù)如果粒子是玻色子，波函數(shù)反對(duì)稱，也有兩種情況對(duì)稱，也對(duì)稱；反對(duì)稱，也反對(duì)稱。在前面的討論中，實(shí)際上引入了一個(gè)不是很完美的假設(shè)：粒子仍然可以編號(hào)，仍然可以分為第一個(gè)、第二個(gè)、…….第N個(gè)，然后再考慮粒子之間的交換，要求它們具有交換對(duì)稱性。嚴(yán)格的說，這種做法并不徹底，原因在于：既然粒子是全同的，他們之間不可區(qū)分，就根本談不上將粒子編號(hào)。7.2全同粒子體系的波函數(shù)更談不上將第幾個(gè)和第幾個(gè)交換。粒子既然不能編號(hào)，就不能說第幾個(gè)粒子處于那個(gè)量子態(tài)。二只能說某個(gè)量子態(tài)有幾個(gè)粒子，或者說，有幾個(gè)粒子占據(jù)了那