現(xiàn)代控制理論 常線性差分方程的解-02 學(xué)習(xí)課件

§7.4常系數(shù)差分方程的求解迭代法時(shí)域經(jīng)典法離散卷積法：利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解。變換域法（Z變換法）狀態(tài)變量分析法一求解差分方程的迭代法和經(jīng)典法迭代法當(dāng)差分方程階次較低時(shí)常用此法一階線性常系數(shù)差分方程y[k]-0.5y[k-1]=u[k],y[-1]=1，用迭代法求解差分方程。解：將差分方程寫成：代入初始條件，可求得依此類推:缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解。時(shí)域經(jīng)典法差分方程特征根：有N個(gè)特征根齊次解：非重根時(shí)的齊次解L次重根時(shí)的齊次解共軛根時(shí)的齊次解齊次解的形式(1)特征根是不等實(shí)根r1,r2,

,rn(2)

特征根是等實(shí)根(3)特征根是成對(duì)共軛復(fù)根特解：（參考p20最后一段)自由項(xiàng)為的多項(xiàng)式 則特解為自由項(xiàng)含有且不是齊次根，則特解自由項(xiàng)含有且是單次齊次根， 則特解自由項(xiàng)含有且是K次重齊次根 則特解特解：自由項(xiàng)為正弦或余弦表達(dá)式

則特解為是差分方程的特征方程的m次重根時(shí)，

則特解是常用激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)的特解形式

ak

(a是特征根)ak

(a不是特征根)完全解=齊次解+特解代入邊界條件求出待定系數(shù)，于是得到完全解的閉式下面對(duì)上次課討論的p39、7-22題的差分方程進(jìn)行求解2已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程

初始條件y[0]=0,y[1]=2,輸入信號(hào)f[k]=2k

u[k]，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]。

特征根為齊次解yh[k]解

(1)求齊次方程y[k]+3y[k-1]+2y[k-2]=0的齊次解yh[k]特征方程為解得

C1=1/3，C2=

-1由輸入f[k]的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)D=1/33)求方程的全解討論1)若初始條件不變，輸入信號(hào)

f[k]=sin

0ku[k]，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？2)若輸入信號(hào)不變，初始條件y[0]=1,y[1]=1,則系統(tǒng)的完全響應(yīng)y[k]=？經(jīng)典法不足之處若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。

若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。

這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。二.離散時(shí)間系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子：1.定義a.E算子：又稱超前算子，它表示將序列向前（向左）移一位的運(yùn)算。2.離散系統(tǒng)的算苻方程式b.因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)對(duì)于差分方程來(lái)說(shuō)，激勵(lì)的最高序號(hào)不能大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號(hào),即m<n,否則系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。Ef(k)Y(k)=f(k+1)c.遞歸系統(tǒng)和非遞歸系統(tǒng)存在著輸出對(duì)輸入的反饋(遞歸)b-ae(k)Y(k)Y(k-1)三.離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)*下面結(jié)合本例說(shuō)明把初值y(0)分別理解為起始和初始樣值時(shí)求解差分方程的具體過(guò)程。方法一,迭代法z.I.rz.s.r已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y[-1]=2，

y[-2