2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份） （含解析）

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)川沙中學(xué)高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（5月份）一．填空題（每題3分，共36分）1．若成等比數(shù)列，則．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為．3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，若，，則通項(xiàng)．4．已知無窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，則．5．已知復(fù)平面上有點(diǎn)和點(diǎn)，向量與向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為與，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．6．若復(fù)數(shù)，，則實(shí)數(shù)．7．已知，若與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．8．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根為，，若，則實(shí)數(shù)的值為．9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．10．“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊．若正六邊形的邊長為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為．11．已知函數(shù)，，（其中、為常數(shù)，且有且僅有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是．12．已知數(shù)列滿足：，若對任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．二．選擇題（每題3分，共12分）13．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題錯誤的是A． B．為純虛數(shù) C． D．14．已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為A． B． C． D．15．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定成立的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中為假命題的是A．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列” B．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列” C．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列” D．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”三．解答題（8分+8分+10分+12分+14分）17．已知，，．（1）求與的夾角；（2）求．18．已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．已知函數(shù)，，（1）若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，，求函數(shù)在上的值域；（3）若，函數(shù)在，內(nèi)沒有對稱軸，求的取值范圍21．已知數(shù)列滿足，，，為正整數(shù)．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

參考答案題號13141516答案BCCC一．填空題（每題3分，共36分）1．若成等比數(shù)列，則．解：由等比中項(xiàng)定義可得：，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．故答案為：．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為2．解：由題意知，，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2．故答案為：2．3．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，若，，則通項(xiàng)．解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是等差數(shù)列，得，由，解得或，又，得，所以，，所以，所以．故答案為：．4．已知無窮等比數(shù)列中，首項(xiàng)，公比，則．解：是無窮等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則．故答案為：．5．已知復(fù)平面上有點(diǎn)和點(diǎn)，向量與向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為與，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．解：，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．6．若復(fù)數(shù)，，則實(shí)數(shù)．解：，則，解得．故答案為：．7．已知，若與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．解：已知，當(dāng)時，有，此時與方向相同，若與夾角為銳角，則且與不同向，即，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．故答案為：，，．8．已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根為，，若，則實(shí)數(shù)的值為．解：關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個虛根為，所以，所以，解得．故答案為：．9．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則20．解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，因?yàn)椋?，所以，則．故答案為：20．10．“燕山雪花大如席”，北京冬奧會開幕式將傳統(tǒng)詩歌文化和現(xiàn)代奧林匹克運(yùn)動聯(lián)系在一起，天衣無縫，讓人們再次領(lǐng)略了中國悠久的歷史積淀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化恒久不息的魅力．順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊．若正六邊形的邊長為1，點(diǎn)是其內(nèi)部一點(diǎn)（包含邊界），則的取值范圍為，．解：如圖：由正六邊形的性質(zhì)可知，，故，所以，所以點(diǎn)的位置在直線的右側(cè)的六邊形內(nèi)（包括邊界）或落在線段上，又表示的是與在上的投影的乘積，故當(dāng)落在線段上時，在上的投影最小為0，當(dāng)落在線段上時，在上的投影最大為，故，故答案為：，．11．已知函數(shù)，，（其中、為常數(shù)，且有且僅有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是，．解：函數(shù)在，上為偶函數(shù)，且函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn)，故必有一個零點(diǎn)為，所以，解得，所以函數(shù)，則函數(shù)在，上有且僅有三個零點(diǎn)，等價(jià)于的圖象與直線在，上有且僅有三個交點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)與在，上有且僅有一個交點(diǎn)，故；當(dāng)時，函數(shù)與在，上恰有3個交點(diǎn)，如圖所示，故，當(dāng)時，函數(shù)與在，上恰有5個交點(diǎn)，如圖所示，故．綜上所述，的取值范圍是，．故答案為：，．12．已知數(shù)列滿足：，若對任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．解：因?yàn)楫?dāng)時，，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以不等式，可化為，當(dāng)為正奇數(shù)時，，由已知，當(dāng)為正偶數(shù)時，，由已知，所以的取值范圍為，．故答案為：，．二．選擇題（每題3分，共12分）13．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則下列命題錯誤的是A． B．為純虛數(shù) C． D．解：設(shè)，則，對于，，故正確；對于，，當(dāng)時，，故錯誤；對于，，故正確；對于，，，故正確．故選：．14．已知常數(shù)，如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么的最小值為A． B． C． D．解：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，，，即，，當(dāng)，，即的最小值為，故選：．15．已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論一定成立的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則解：對于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列1，，1，，，顯然滿足，但，故錯誤；對于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列，1，，，顯然滿足，但，故錯誤；對于選項(xiàng)，因?yàn)樗裕?，所以，?dāng)公比時，任意，故有；當(dāng)公比時，，故，，仍然有，故正確；對于選項(xiàng)，可列舉公比的等比數(shù)列，1，，，顯然滿足，但，故錯誤．故選：．16．若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得，，則稱數(shù)列為數(shù)列的“數(shù)列”．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中為假命題的是A．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列” B．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列” C．存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列” D．存在等比數(shù)列，使得是的“數(shù)列”解：對于，例如，則是等差數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，，即，成立，所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；對于，例如，則是等比數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，，即，成立，所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；對于，存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，都是?yán)格增數(shù)列，所以，，所以，取，滿足，可知必存在，使得成立，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，則有；對任意正整數(shù)，則有；故不存在正整數(shù)使得，所以為假命題；對于；例如，則是等比數(shù)列，，都是嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，，即，成立，所以是的“數(shù)列”，所以為真命題，所以正確；故選：．三．解答題（8分+8分+10分+12分+14分）17．已知，，．（1）求與的夾角；（2）求．解：（1）因?yàn)?，，，展開后整理得：，化簡得，所以．設(shè)，則，由于，，所以；（2）由（1）知，，，則．18．已知是復(fù)數(shù)，與均為實(shí)數(shù)．（1）求復(fù)數(shù)；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，則為實(shí)數(shù)，．為實(shí)數(shù)，，解得．則；（2）在第一象限，，解得．19．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，，，又，可得，；（2）由（1）可得，，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以為首項(xiàng)、公比為的等比數(shù)列，，數(shù)列的前項(xiàng)和為：．20．已知函數(shù)，，（1）若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，，求函數(shù)在上的值域；（3）若，函數(shù)在，內(nèi)沒有對稱軸，求的取值范圍解：（1）時，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，，則，解得，所以的取值范圍為；（2）若，，，時，，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋唬?）若，函數(shù)，因?yàn)樵?，?nèi)沒有對稱軸，則，由，得，所以，，因?yàn)樵冢瑑?nèi)沒有對稱軸，且，，所以或，因?yàn)椋獾没蛩缘娜≈捣秶鸀椋?1．已知數(shù)列滿足，，，為正整數(shù)．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列中的任意三項(xiàng)，，都不成等差數(shù)列；（3）若關(guān)于正整數(shù)的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；