教學(xué)設(shè)計-5.4 定積分的應(yīng)用

《高等數(shù)學(xué)（慕課版）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容：定積分的應(yīng)用完成時間：2025年2月授課信息授課內(nèi)容授課時長定積分的應(yīng)用2學(xué)時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內(nèi)容分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了定積分的概念與計算的基礎(chǔ)上，介紹定積分（在幾何上）的應(yīng)用，它是微積分解決初等數(shù)學(xué)問題的一個生動實例，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識解決問題的意識的重要體現(xiàn)。學(xué)情分析1、學(xué)生已有的知識與能力：(1)已掌握了定積分概念、定積分的幾何意義及相關(guān)數(shù)學(xué)思想；(2)已學(xué)習(xí)了定積分的計算的各種方法。2、學(xué)生可能存在的問題及困難：(1)學(xué)生對復(fù)雜函數(shù)定積分的計算有些畏難；(2)邏輯思維能力不夠強,不夠嚴(yán)密；空間想象能力差一些。教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：1、理解定積分的微元法；2、了解定積分的在幾何中的應(yīng)用；3、了解定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。能力目標(biāo)：會用定積分求平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積素質(zhì)目標(biāo)：1、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力；2、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力以及應(yīng)用定積分的基本思想解決問題的能力。教學(xué)重點重點1、微元法；2、定積分在幾何中的應(yīng)用。確立依據(jù)“微元法”思想是積分學(xué)中重要的思想方法，在實際生活中有非常廣泛的應(yīng)用；合理有效地利用微元法思想可以使原本復(fù)雜的問題變得簡單易行；而平面圖形的面積求解問題是微元法最常見的應(yīng)用。突出重點的策略明確教學(xué)目標(biāo)；針對學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和手段，由淺入深、循序漸進(jìn)的方式，突出重點內(nèi)容的教學(xué)環(huán)節(jié)、安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)等。教學(xué)難點難點平面圖形面積計算中積分變量的選擇問題確立依據(jù)對于平面圖形的面積計算，有時積分變量的選擇并不唯一，而選擇不同的積分變量將會導(dǎo)致積分算式的繁簡程度的不同?？紤]到學(xué)生現(xiàn)階段對這類問題的訓(xùn)練還不夠多，故確定該問題是本節(jié)課的難點。解決難點的策略基于學(xué)生的認(rèn)真規(guī)律，分層次設(shè)計例題和練習(xí)，講練結(jié)合，通過例題和練習(xí)加以練習(xí)和總結(jié)，逐步突破難點。教學(xué)方法引導(dǎo)探究法、講授法、問答法、練習(xí)法、演示法教學(xué)設(shè)計課前任務(wù)→回顧復(fù)習(xí)+導(dǎo)入新課（7min）→講授新課（55min）→鞏固提高（25min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設(shè)計微元法的思想是通過無限細(xì)分來逼近真實值，強調(diào)了“化整為零”的思維方式。這種思維方式可以類比到人生中的許多方面，比如面對困難和挑戰(zhàn)時，需要化整為零，逐個突破，啟發(fā)學(xué)生樹立正確的方法觀和人生觀。教學(xué)過程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖課前導(dǎo)學(xué)熟記基本積分公式。2、復(fù)習(xí)定積分的概念和幾何意義，預(yù)習(xí)新課。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過學(xué)習(xí)通觀測任務(wù)完成情況，及時督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點。按時完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個人學(xué)習(xí)難點。1、鍛煉自學(xué)能力：自主學(xué)習(xí)，掌握易點，發(fā)現(xiàn)難點；2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況，掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課【回顧復(fù)習(xí)】基本積分公式；定積分的概念。1、聽寫積分公式；2、帶領(lǐng)學(xué)生回顧定積分的概念，分析定積分的數(shù)學(xué)定義式的形成，然后嘗試定義的形成過程。從而引出微元法。1、認(rèn)真復(fù)習(xí)、認(rèn)真默寫公式。2、積極思考，再次體會定積分的核心思想。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務(wù)的目標(biāo)性與教學(xué)情境的創(chuàng)建，使學(xué)生帶著任務(wù)學(xué)習(xí)，有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲?！疽胄轮?、定積分的概念與幾何意義；2、牛頓-萊布尼茨公式。探究新知一、微元法1、定義2、核心思想基于定積分的定義和幾何意義，通過分析簡化定積分定義的形成步驟：（1）選變量；（2）求微元；（3）求積分。指出像這樣處理和解決問題的方法稱為微元法(元素法)。認(rèn)真聆聽，思考換元積分法在不定積分與定積分中的不同。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。平面圖形的面積1.直接坐標(biāo)系下平面圖形的面積（1）X型（2）Y型*2.極坐標(biāo)系下平面圖形的面積1、帶領(lǐng)學(xué)生直觀地分析X型區(qū)域下的圖形面積如何求解，再從微元法的角度來求解；Y型區(qū)域同理；(1)在平面直角坐標(biāo)系中求由曲線,和直線,圍成圖形的面積，其中函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且，求得平面圖形面積為 .(2)由曲線,和直線，（）圍成圖形(如圖所示)的面積為： ．2、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積設(shè)曲線由表示，求由曲線及射線，所圍圖形的面積為3、通過例題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用微元法求平面圖形的面積?！纠?.21】-【例5.24】認(rèn)真聆聽，積極思考，在教師的引導(dǎo)下學(xué)會求解平面圖形的面積。三、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積（1）繞X軸旋轉(zhuǎn)（2）繞Y軸旋轉(zhuǎn)*2.平行截面面積為已知的立體的體積1、介紹旋轉(zhuǎn)體的定義由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.2、講解如何用微元法求解旋轉(zhuǎn)體的體積(1)由連續(xù)曲線,直,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為.(2)由連續(xù)曲線,直線,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積為．3、講解如何用微元法求解平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)該立體在過點,且垂直于軸的兩個平行平面之間，并設(shè)過任意一點的截面面積為，這里是連續(xù)函數(shù)，該立體體積為.4、通過例題引導(dǎo)學(xué)生練習(xí)求解體積【例5.25】-【例5.27】認(rèn)真聆聽，調(diào)動空間想象能力，積極思考教師的問題和新知識的講授。四、經(jīng)濟(jì)問題1.已知變化率求總量問題可利用定積分計算.設(shè)總產(chǎn)量的變化率為,則由到時間內(nèi)生產(chǎn)的總產(chǎn)量為.2.講解例題【例5.28】認(rèn)真聆聽，積極思考教師的問題和新知識的講授。鞏固提高1、平面圖形的面積計算2、旋轉(zhuǎn)體的體積求解【練習(xí)1】【練習(xí)2】1、引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)新知進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果；2、留一定時間給學(xué)生做習(xí)題練習(xí)，并講評學(xué)生的做題情況。認(rèn)真聆聽教師對例題的講解；獨立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設(shè)置練習(xí)，循序漸進(jìn)地使學(xué)生及時鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點、要點內(nèi)容總結(jié)：微元法，定積分在幾何中的應(yīng)用（計算公式）。和學(xué)生一起回顧與強調(diào)本節(jié)課重點知識，強化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖拓展任務(wù)【書面作業(yè)】課后習(xí)題1、2、5題【預(yù)習(xí)】反常積分1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評價（1）評價構(gòu)成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學(xué)生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，側(cè)重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學(xué)習(xí)通平臺，完成課前、課中和課后全過程學(xué)習(xí)軌跡記錄和評價。主要包括：課前任務(wù)完成、課堂學(xué)習(xí)活動、課后任務(wù)完成情況等要素。（3）評價標(biāo)準(zhǔn)在評價學(xué)生時注重“三個結(jié)合”：學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合、理論知識與實踐能力結(jié)合、課程學(xué)習(xí)成績與學(xué)生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學(xué)反思微元法是數(shù)學(xué)中的一種很重要的思想方法，與前面所學(xué)的定積分的概念和幾何意義有著密切的關(guān)系，一定要先讓學(xué)生們理解這種方法，然后再進(jìn)入定積分的應(yīng)用?？梢栽偻?/p>