高中數(shù)學(xué)高考解答題突破(四) 立體幾何中的證明與計(jì)算

考試注意事項(xiàng)

1.進(jìn)入考場時(shí)攜帶的物品。

考生進(jìn)入考場，只準(zhǔn)攜帶準(zhǔn)考證、二代居民身份證以及2B鉛

筆、0.5毫米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無封套橡

皮、小刀、空白墊紙板、透明筆袋等文具。嚴(yán)禁攜帶手機(jī)、無線

發(fā)射和接收設(shè)備、電子存儲(chǔ)記憶錄放設(shè)備、手表、涂改液、修正

帶、助聽器、文具盒和其他非考試用品?？紙鰞?nèi)不得自行傳遞文

具等物品。

由于標(biāo)準(zhǔn)化考點(diǎn)使用金屬探測儀等輔助考務(wù)設(shè)備，所以提醒

考生應(yīng)考時(shí)盡量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場時(shí)間。

2.準(zhǔn)確填寫、填涂和核對個(gè)人信息。

考生在領(lǐng)到答題卡和試卷后，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)、規(guī)定位置處填

寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)。填寫錯(cuò)誤責(zé)任自負(fù)；漏填、錯(cuò)填或字跡不清

的答題卡為無效卡；故意錯(cuò)填涉嫌違規(guī)的，杳實(shí)后按照有關(guān)規(guī)定

嚴(yán)肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考生必須核對所貼條形碼與自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否一致，如發(fā)現(xiàn)不一致，立即報(bào)告監(jiān)考員

要求更正。

3.考場面向考生正前方的墻壁上方懸掛時(shí)鐘，為考生提供時(shí)間

參考。

考場時(shí)鐘的時(shí)間指示不作為考試時(shí)間信號(hào)，考試時(shí)間一律以

考點(diǎn)統(tǒng)一發(fā)出的鈴聲信號(hào)為準(zhǔn)。

高考解答題突破(四)立體幾何中的證明與計(jì)算

突破“一建”——建模

［思維流程］

立體幾何解答題

［技法點(diǎn)撥］

立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合,以某個(gè)

幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深.解決這類題目的原則是建模.

將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等

的計(jì)算模型.考向一證明線、面平行與垂直

1.證明平行關(guān)系

(1)證明線線平行的常用方法

①利用三角形中位線定理證明：即遇到中點(diǎn)時(shí)，常找中位線，利用

該定理證明.

②利用平行四邊形對邊平行證明：即要證兩線平行，以兩線為對

邊構(gòu)造平行四邊形證明.

③利用平行公理證明：即要證兩線平行，找第三條線并證明其分

別與要證兩線平行即可.

(2)證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明線線平

行.

②利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平

行.

(3)證明面面平行的方法

證明面面平行，依據(jù)判定定理,只要找到一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線

與另一個(gè)平面平行即可,從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再

轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

2.證明垂直關(guān)系

(1)證明線線垂直的常用方法

①利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、

等腰三角形等得到線線垂直.

②利用勾股定理的逆定理.

③利用線面垂直的性質(zhì)，即要證明線線垂直，只需證明一線垂直于

另一線所在平面即可.

(2)證明線面垂直的常用方法

①利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線

垂直.

②利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明面面垂

直.

③利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一

條也垂直于這個(gè)平面等.

(3)證明面面垂直的方法

證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過另一個(gè)

面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直,一般先從現(xiàn)有直

線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線

解決.

【例1】(2018?北京卷)如圖.在四梭錐P-ABC?D+JgffiABCDjy

矩形.平面平面AIUD.PA±PD.PA=Pl).廠>切入點(diǎn)：確定基本的線、面位置關(guān)系.

AD.PB的中點(diǎn).

(1)求證/在_1取‘：關(guān)鍵點(diǎn)：在平面PCQ內(nèi)確定一條與平面

；垂立的直線.

(2)求證：千面?APL手而△〃；->PA8

r>關(guān)健點(diǎn)：在平面PCD內(nèi)尋找一條與EF平

(3)求證:EF〃平面PCD.

行的直線.

1解題指導(dǎo)］(1)|江PEJAD|-:黑器證

(2)|證A3J■平面PAD|-*|ABLPD|-|PDL平而P詞

平面PABJ■平面PCD|

(3)|取PC中點(diǎn)G|-*|證四邊形EFGD為平行四龍羽一

|EF〃GD|->|EF〃平面PC6)

［證明］(D?.?PA=PD,且E為AD的中點(diǎn)，.??PEJ_.?.FG〃3c,且FG=^BC.

AD.?.?四邊形ABCD為矩形.且E為人D的中點(diǎn)，

底面ABCD為矩形.BC//AD.：.

VPE±BC..,.ED〃BC,DE=4BC,

(2)V底面ABCD為矩形，AB_LAD.

V平面PAD1.平面ABCD,平面PADD平面A次、”=:.ED//FG.且ED=FG,二四邊形EFGD為平行四邊形

AD.，A3_L平面PAD.?-EF//GD.

又PDU平面PAD.：.AB1PD.又PAA.PD.PA(}AB=又S?2V而PCD.GDU平面....................

A,*Pw*SC?<SDZS?.>建模：由線線平行建立

:.甥亙尤能?又”仁士................、1.EF〃平面PCD.:線百平行的橫型

面PCD.平面PAB平面J?模：由線百尊宜建立；

PCD.:百而蹙直的模嵬

|名師點(diǎn)撥A

證明空間平行與垂直關(guān)系的步驟

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

1.如圖，在三棱柱ABC-AiBxCi中平面BBCC,BBi=

2BC,D,E,F分別是CG,AQ,8G的中點(diǎn),G在BB\上，且BG=3GB-

(1)求證：平面A8O；

(2)求證：平面GM〃平面ABD

⑴取8所的中點(diǎn)為M,連接M2如圖所示.

因?yàn)?向=23C,且四邊形BBC1C為平行四邊形，

所以四邊形CDMB和四邊形DMBiCi均為菱形.

故ZCDB=ZBDM,ZMDB、=/B、D3,

所以ZBDM+NMDBi=90。,

即BDLBQ.

又A3_L平面3SGC,8]0U平面BBiCC

所以A8_LBD

又48080=8,所以8]O_L平面ABD.

（2）如圖，連接MG,可知G為M3的中點(diǎn)，又尸為BC的中點(diǎn)，所以

GF〃MC\.

又MB觸CQ,所以匹邊形BMCQ為平行四邊形，所以MQ//BD,

故GF//BD.

又3OU平面A8Q,所以G/〃平面ABD.

又E7"4]B|,Ai3|〃A5/BU平面ABD,

所以所〃平面A8D

又E尸AGF=F,故平面GE/〃平面ABD.

考向二求空間幾何體的體積

1.等積法：等積法包括等面積法和等體積法.等積法的前提是

幾何圖形（或幾何體）的面積（或體積）通過已知條件可以得到，等積法可

以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高,特別是在求三角形的高和三

棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形或三棱錐的高,

而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值.

2.割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí),常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已

知體積公式的幾何體進(jìn)行解決.

【例2】(2017?全國卷ID)如圖.囚面體A3CD中.：

斂照蜒當(dāng)整細(xì)工出

(D證明:AC_LBD；

(2)已知小02是豆蝮鯉二純;且2度互力

接理逼^逛國至

而體ABCE與四而體ACDE的體積比.

［解題指導(dǎo)］(1)取AC的中點(diǎn)O-AC±DO/

AC，平面DOB

(2)|證明DO，BO|f證明EO=^BD^E為BD中點(diǎn)

乙

VE-ABC=~2~VD-ABC

［解］(1)證明：取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO.

因?yàn)锳D=CD,所以AC±DO.

又由于△ABC是正三角形，所以AC.LBO.BOADO=a

從而AC_L平面DOB,又BDCZ：建模：由線面垂直建立

平面DOB,故ACLBD.；線線垂直的模型

\______________________

(2)連接EO.

由(1)及題設(shè)知NADC=90°,

所以DO=AO.

在RtAAOB中，BO2+\&=

AB2.

又AB=BD,所以

A

BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故NOOB=90°.

由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO=^-AC.

乙

又AABC是正三角形，且AB=BD,所以EO=-yBD.

故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平

面A3C的距離的J■，四面體A3CE的體積為四面體AB-

C。的體積的J■，即四面體ABCE與四面體ACDE的體

積之比為1:1.

|名師點(diǎn)撥A

在體積計(jì)算中都離不開空間幾何體的“高”這個(gè)幾何量（球除

外），因此體積計(jì)算中的關(guān)鍵一環(huán)就是求出這個(gè)量.在計(jì)算這個(gè)幾何量

時(shí)要注意多面體中的“特征圖”.一些不規(guī)則的幾何體，求其體積多

采用分割或補(bǔ)形的方法，從而轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

2.（2018?山東濟(jì)南一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

為等腰梯形產(chǎn)分別為線段的中點(diǎn).

（1）證明：尸?！ㄆ矫鍯EF；

---------二

(2)若PE_L平面ABCD,PE=AB=2,求四面體P-DEF的體積.

［解］(1)證明：連接BE,8。,3。交CE于點(diǎn)0,連接OF.

:E為線段A。的中點(diǎn),BC=)O=項(xiàng)九4?！˙C,???BC〃ED

.??四邊形BCDE為平行四邊形，

：.0為的中點(diǎn)，

又???尸是5尸的中點(diǎn),

:.OF//PD.

?.?0FU平面CEF,PDG平面CEF,

二.尸?！ㄆ矫鍯EF.

(2)；尸為線段P3的中點(diǎn)，

?e?Vp-DEF=VB-DEF=BDE=豆義^Vp-ABCD,

1BC+ADI~~(BC\.12+4r

「VP-ABCD=qPE?-2----7AB~一(jyJ2=gX2XX班=

25.

??yP-DEF-3?

考向三立體幾何中的探索性問題

1.條件追溯型

解決此類問題的基本策略是執(zhí)果索因.其結(jié)論明確，需要求出使

結(jié)論成立的充分條件，可將題設(shè)和結(jié)論都視為已知條件，即可迅速找出

切入點(diǎn).

2.存在判斷型

解決此類問題的策略：通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成

立)，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)

或事實(shí)，則說明假設(shè)成立，即存在；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾

的結(jié)論，則說明假設(shè)不成立，即不存在.

【例3】(2018?全國卷IH)如圖哽紇4終12更杳生典?學(xué)典辿也區(qū)2切入點(diǎn)：基本的線、而位置關(guān)系.

1...........................;

在平面垂直.M是⑶上異于的點(diǎn).

(1)證明：平面AMD_L平面BMC：B關(guān)鍵點(diǎn):f合線面平行的判定定理.先猜出

(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P.更得MC〃平面P8D?說明理由.二〉點(diǎn)尸的位置.

［解題指導(dǎo)］又BC：ClCM-C,所以

BMC.「建模：空之用線:

＞而垂直還百舌冬!

而DMU平面AMD,故平而/\MD±S：

BBMC.'、..............；

(2)當(dāng)尸為AM的中點(diǎn)時(shí)?MC〃平面PBD.

先猜出點(diǎn)P借助中位戰(zhàn)近證明如下：連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形?所以

(2)-*“線面平行|

為AM的中點(diǎn)明埃埃平行O為AC中點(diǎn).連接OP?因?yàn)镻為AM中點(diǎn).所以絲弘

OP.

［解］(D讓明：由題設(shè)知,平面CMD...........................

_L平面A3CD,交線為CD.因?yàn)?C_L:建模：建立用我:MCU平面PHD.OPU平面

CD.3CU平面人BCD,所以3cL平面［證線線手：P3D.所以MC〃平面P3D./建模：碇立用及線平行：

、證我而平行的模型:

、-------------------

故

*Cw**Mw*w/?Dw,3cLDM.'............................'

因?yàn)镸為昂上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM

_LCM.

|名師點(diǎn)撥A

解決線、面關(guān)系的探索性問題的兩策略

⑴通過觀察確定點(diǎn)或直線的位置(如中點(diǎn)，中線),再進(jìn)行證明.

(2)把要得的平行當(dāng)作已知條件，用平行的性質(zhì)去求點(diǎn)、線.

［對點(diǎn)訓(xùn)練］

3.(2018?鄭州二模)

如圖，已知四邊形ABCD是正方形,E4，平面AB3FDHEARD

=PO=2E4=2,F,G,H分別為BP,BE,PC的中點(diǎn).

(1)求證：/G〃平面PDE；

(2)求證：平面/GHJ■平面ABE；

(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M使尸8,平面EFM?若存在，求

出線段PM的長；若不存在,請說明理由.

［解］(1)證明：因?yàn)镕,G分別為尸氏BE的中點(diǎn)，所以尸G〃尸E

又尸GQ平面PDE,PEU平面PDE,

所以尸G〃平面PDE.

(2)證明：因?yàn)镋4,平面48CQ,所以E4LCA

又CBLABABAAE=A^C5J_平面ABE.

由已知F,H分別為線段PB,PC的中點(diǎn)，

所以產(chǎn)〃〃3c.則平面ABE.

而尸"U平面/G”,所以平面/G”J_平面ABE.

(3)在線段PC上存在一點(diǎn)M使P3J■平面證明如下:

如圖，在PC上取一點(diǎn)M,連接EF,EM,FM.

在直角三角形中，因?yàn)锳E=1,48=2,所以BE=y[5.

在直角梯形E4DP中，

因?yàn)锳E=l,

4O=PO=2,所以PE=g

所以PE=BE.又尸為P8的中點(diǎn)，

所以EFVPB.

要使尸8_1_平面EFM,只需使PBLFM.

因?yàn)镻OJ_平面ABCD,所以PDLCB,

又Q?J_CD,PDACD=D,

所以平面PCD而PCU平面尸CD,所以尸C

PMPF

若尸8，尸〃,則△尸產(chǎn)MS/\PC8,可得1鋪U'=斤￡.

3啦

由已知可求得PB=2小,PF=小,PC=2也，所以PM=

2.

專題跟蹤訓(xùn)練(二十三)

1.如圖，過底面是矩形的四棱錐F-ABCD的頂點(diǎn)/作EF//AB,

使且平面平面A8CQ,若點(diǎn)G在CO上且滿足DG

=GC.求證：

(1)/G〃平面AED.

(2)平面D4F_L平面BAF.

［證明］(1)因?yàn)镈G=GCAB=CD=2EFAB//EF//CD.

所以EF〃DG,EF=DG.

所以四邊形。EFG為平行四邊形，

所以FG//ED.

又因?yàn)橐赃^平面平面AEQ,

所以產(chǎn)G〃平面AED.

(2)因?yàn)槠矫?8FEL平面A3CQ,平面AMEA平面ABCD=

AB,AOJ_A民且ADU平面ABCD,

所以4?_L平面BAF.

又因?yàn)锳OU平面DAF.

所以平面D4凡L平面BAF.

2.(2018?河北衡水中學(xué)二模)如圖，在底面為梯形的四棱錐5-

ABCD中，已知AD//BC,ZASC=60\AD=DC=y/2,SA=SC=SD=2.

(1)求證：AC1SD；

(2)求三棱錐B-SAD的體積.

［解］(1)證明:設(shè)。為AC的中點(diǎn)，連接OS,OD?.?SA=SC,???OS

LAC.

9：DA=DC,：.DO±AC.

又TOSOQU平面SOD,且OSCDO=O,

.'AC，平面SO。且SOU平面SOD,

S.AC-LSD.

(2)連接3Q,在△ASC中,???SA=SC,NASC=60。,點(diǎn)。為AC的中

點(diǎn).

/.△ASC為正三角形，且AC=2QS=6

???在△ADC中,為AC的中點(diǎn),

???NAOC—90。,且OD-1.

???在△SO。中OH+ODnS。2

ZSOD=90°.：.SOLOD.

又,；OSJ_A。，且ACQDO=O,SOJL平面ABCD.

二?力-SAD=%-&w=gszx6AD?SO=gx；AD?CO?SO=gx；X也義也

又小=

3?

3.(2018?遼寧遼陽一模)如圖，在直角梯形ABCD中小。〃8cAe

L8C,且5c=2AO—4,￡1分別為線段A8QC的中點(diǎn)，沿EFAEFD

折起，使AELCR得到如圖所示的立體圖形.

(1)證明：平面AEFQ_L平面EBCB

⑵若3￡)_1_石。,求點(diǎn)尸到平面ABCD的距離.

［解］(1)證明：由題意可得E尸〃AQ,

???A3，EE將梯形由題意折起后，結(jié)論依然成立,

：.AELEF,

又AEA.CF,EFACF=F,

平面EBCF.

?.?AEU平面AE尸D

???平面AEFD,平面EBCF.

⑵過點(diǎn)D作DGLEF交EF于點(diǎn)、G,連接3G，則DG，平面EBCF.

TECU平面EBCF,：,DG.LEC.

又BD工EC,BDCDG=D,

??.EC_L平面BDG.

又BGU平面BDG

：.EC±BG,

EGEB

可得AEGBsABEC,：.m=訴

匕bnc

???Ba=EGBC=ADBC=8,：.EB=2也

設(shè)點(diǎn)尸到平面ABC。的距離為h.

■:BCLAE.BCLEB.AEHEB=E,

.?.3C_L平面AE8,

,\AB.LBC.

又?.?再訴=4,

???SAABC=3*AB?BC=8.

又,/S^BCF=\x4X2吸=4小AE=EB=2隹

由VF-ABC=VA-BCF可^-^S