第一章第05講 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線（3類熱點題型講練）-北師大版八年級數學下冊

PAGE1第05講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】 15【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】 29【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】模型解析：等腰三角形中底邊有中點，連中線直接用“三線合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原則。連中線用“三線合一”，若AB=AC,BD=CD.則AD⊥BC，∠1=∠2.例題：（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，在中，，，為邊的中點，點、分別在射線、上，且，連接．(1)如圖1，當點、分別在邊和上時，連接，①證明：．②直接寫出，和的關系是：(2)探究：如圖2，當點E、F分別在邊、的延長線上時，，和的關系是：(3)應用：若，，利用上面探究得到的結論，求的面積．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)或17【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定【分析】本題為三角形的綜合應用，涉及知識點有等腰三角形的性質、全等三角形的判定及其性質及三角形的面積等，根據圖形構造全等三角形求解即可。（1）①連接，即可證明；②根據，看圖即可得出結論；（2）連接，即同（1）可證明，根據看圖即可得出結論；（3）根據（1），（2）中的結論，代入求解即可?！驹斀狻浚?）證明：①如圖，連接在中，，為邊的中點，∴,,∴,∴是等腰直角三角形，∴,∴,∵,∴,∵,∴,在和中，,∴.②∵,∴,根據圖中所示，,∵為邊的中點，∴.∴.（2）解：如圖，連接在中，，為邊的中點，∴,,∴,∴是等腰直角三角形，∴,∴,∴,即,∵,∴,∵,∴,在和中，,∴.∵,∴,根據圖中所示，,∵為邊的中點，∴.∴.（3）如（1）中結論，∵，，∴,,∵,∴.②如（2）中結論，∵，，∴,,∵,∴【變式訓練】1．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，根據下列已知條件，寫出你能得到的結論．（1）已知，，則；（2）已知，則；（3）已知，則．【答案】【知識點】三線合一【分析】本題主要考查了三線合一定理：（1）由等腰三角形的性質“三線合一”可求解；（2）由等腰三角形的性質“三線合一”可求解；（3）由等腰三角形的性質“三線合一”可求解．【詳解】解：（1）∵，，，∴，故答案為：；（2）∵，∴，故答案為：；（3）∵，∴，故答案為：．3．（2024八年級上·全國·專題練習）如圖，在中，，，為的中點，于點，，求的長．【答案】．【知識點】等邊對等角、含30度角的直角三角形、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三線合一和含的特殊直角三角形的性質．連接，利用等邊對等角得，在中，得，在中，得，即可求出的長，熟練運用三線合一的性質是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵，，為的中點，∴，平分，，∴，∵，∴，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，∴．4．（24-25八年級上·四川綿陽·期中）如圖，是等腰直角三角形，，D為斜邊的中點，E，F分別為邊上的點，且．若，．求的長．【答案】【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據三線合一證明、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；連接，根據等腰直角三角形的性質，易證，得到，得到，然后利用勾股定理，即可求出．【詳解】解：如圖，連接AD．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．5．（24-25八年級上·福建廈門·期中）如圖，在中，，點P為邊的中點，于點D．(1)求的度數；(2)求證：．【答案】(1)(2)見解析【知識點】三線合一、含30度角的直角三角形、三角形內角和定理的應用、等邊對等角【分析】本題考查等邊對等角，三線合一，含30度角的直角三角形的性質：（1）根據等邊對等角，利用三角形內角和定理進行求解即可；（2）連接，根據三線合一，以及含30度角的直角三角形的性質，進行求解即可?！驹斀狻浚?）解：∵，∴；（2）證明：連接，則，由（1）知，．∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即．6．（24-25八年級上·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，點是的中點，點在的延長線上，點在的延長線上，．(1)求證：；(2)連接，若，求的值．【答案】(1)見解析(2)40【知識點】根據三線合一證明、利用二次根式的性質化簡、用勾股定理解三角形、全等的性質和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質：（1）連接，根據題意可得，再由等腰三角形的性質可得，從而得到，再由，可得，可證明，即可求證；（2）在中，利用勾股定理解答，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∴，∵點是的中點，∴，即，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，∵，，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，∴，∵，∴，在中，．7．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）如圖，是等腰直角三角形，，是的中點，，點，在，上．(1)求證：．(2)連接，則、、之間有什么數量關系？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊對等角、用勾股定理解三角形【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識點，證得成為解題的關鍵．（1）如圖：連接，根據等腰直角三角形的性質可得，進而證明，最后根據全等三角形的性質即可證明結論；（2）由全等三角形的性質可得，進而得到；由勾股定理可得，最后根據等量代換即可解答．【詳解】（1）證明：如圖：連接，∵是等腰直角三角形，，，，是的中點，，，，，，，，，在和中，，，．（2）解：，理由如下：，，，，，．8．（23-24七年級下·山東·期末）【探究1】如圖①，在中，，AD是中線，若，則的度數為_______；【探究2】如圖②，在和中，，，AD，分別為和的中線，若，，則的度數為______；【探究3】如圖③，在和中，，，AD，分別為和的中線，AD與交于點，若，則的度數為_______．【答案】【探究1】；【探究2】；【探究3】【知識點】三角形內角和定理的應用、三線合一【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理和三線合一性質，[探究1]根據等腰三角形的性質得，由三角形內角和定理求得，利用“三線合一”性質即可求得答案；[探究2]由等腰三角形的性質和三線合一性質得和，結合角度之間的關系即可求得答案；[探究3]由等腰三角形的性質和三線合一性質得和，結合三角形內角和定理得和，再次結合三角形內角和定理得到即可求得答案．【詳解】解：[探究1]∵，∴，∴，∵是中線，則是的角平分線∴，故答案為：．[探究2]，，、分別為和的中線，，，，；故答案為：．[探究3]∵，，∴和是等腰三角形，∵、分別為和的中線，∴，，，∵，∴，∴，又，，∵，∴．故答案為：．9．（24-25八年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，已知銳角中，、分別是邊、上的高，M、N分別是線段、的中點．(1)求證：；(2)連接、，猜想與之間的關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的性質和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內角和定理，（1）連接、，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，從而得到，再根據等腰三角形三線合一的性質證明；（2）根據三角形的內角和定理可得，再根據等腰三角形兩底角相等表示出，然后根據平角等于180°表示出，整理即可得解；【詳解】（1）證明：如圖，連接、，∵、分別是、邊上的高，是的中點，∴，，∴又∵為中點，∴；（2）解：在中，，∵，∴∴；10．（23-24七年級下·四川成都·階段練習）在中，，且的頂點E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點M，N，(1)當且M與A重合時，求證：(2)當E為中點時，連接，求證：【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】三角形的外角的定義及性質、全等三角形綜合問題、根據三線合一證明【分析】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，（1）根據等腰直角三角形的性質可得，利用三角形外角的性質與等量代換可得，在根據全等三角形的判定即可證明；（2）連接，在上截取，根據等腰直角三角形的性質可得，，證得，可得，，利用等量代換可得，證得，可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，又∵，∴，又∵，∴；（2）證明：連接，在上截取，∵，，E為中點，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點在邊上，，點在邊上，，若，求的長．

【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質、含角的直角三角形的性質．作交于，由等腰三角形的性質可得，由含角的直角三角形的性質得出，計算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，作交于，

，，，，在中，，，，，，，，．【變式訓練】1．（23-24八年級上·吉林·階段練習）有一個等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為，腰長為12m，則底邊上的高是m．【答案】6【知識點】三線合一、含30度角的直角三角形、等邊對等角【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理，含30度角的直角三角形的性質等．作于點D，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理可得，再根據含30度角的直角三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：如圖，作于點D，在中，，∴，又∵，∴，故答案為：6．2．（22-23九年級上·四川成都·階段練習）如圖，在中，，D為上一點，連接，且，則為．【答案】/【知識點】用勾股定理解三角形、三線合一【分析】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．作于．設，則有：，由此構建方程求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，作于．，，，設，則有：，，解得：，，故答案為：．3．（24-25八年級上·重慶長壽·階段練習）如圖，已知，，與的面積和為10，則的平方．【答案】76【知識點】三線合一、用勾股定理解三角形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．作，，證明，推出，設，，利用完全平方公式求出，可得結論．【詳解】解：如圖，過點A作于點H，過點D作于點K．，，，，．，．，，又，，，設，．與的面積和為10，即，，在中，，即，，，．故答案為：76．4．（23-24九年級下·四川遂寧·階段練習）如圖，等腰三角形中，，，點P是底邊上一動點，、分別與、兩邊垂直，垂足分別為D、E，則的值為．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、三線合一【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質，根據題意畫出圖形，然后過A點作于F，連接，根據等腰三角形三線合一的性質和勾股定理可得的長，由圖形得代入數值，解答出即可．【詳解】如圖所示，過A點作于F，連接，∵在中，，，∴，∴在中，，∴，即∴故答案為：．5．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）（1）如圖1所示，在中，，，，求證．（2）如圖2所示，在中，，，延長至使，求．【答案】（1）見解析；（2）【知識點】全等三角形綜合問題、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質和判定、根據三線合一證明【分析】（1）作交于，過點作交的延長線于，過點作，由題意得和，利用等角對等邊可得，利用三線合一的性質得，結合含30°角的直角三角形性質得，可證明，即可證得結論；（2）在上取，連接，作平分，交于，交于，根據題意得，利用等腰三角形兩腰上的高相等得，結合含角的直角三角形性質得，由題意得，即可求得，即可求得答案．【詳解】解：（1）作交于，過點作交的延長線于，過點作，如圖，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，．（2）在上取，連接，作平分，交于，交于，如圖，平分，，，，，，即是等腰三角形，作，則（等腰三角形兩腰上的高相等），，，，∴，∵，∴，，∵，∴，【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質、三線合一的性質、全等三角形的判定和性質和含角的直角三角形性質，解題的關鍵是添加輔助線并找到對應邊角之間的關系．6．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，點，在的邊上，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當時，過點作于點，如果，求的值．【答案】(1)見解析(2)4【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據三線合一證明【分析】（1）過作于點，根據三線合一可得：，，即可證明；（2）過作于點，易證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖過作于點，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：過作于點，在和中，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．7．（24-25八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在等邊中，點在邊上，點在延長線上，且．(1)求證：；(2)若等邊的邊長為6，求的長；(3)求證：；(4)如圖，當點在的延長線上，點在延長線上時，其它條件不變，（3）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析(4)（3）中的結論仍然成立，證明見解析【知識點】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質、三線合一、含30度角的直角三角形【分析】（1）根據等邊三角形的性質，等邊對等角，結合三角形的外角，即可得出結論；（2）過作于，利用等邊三角形的性質，含度角的直角三角形的性質，以及三線合一，進行求解即可；（3）過作交于點，易得是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結論；（4）過作交的延長線于，證明是等邊三角形，得到，證明，得到，等量代換即可得出結論．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，；（2）如圖，過作于，，．等邊的邊長為6，，，，，，．．；（3）證明：如圖2，過作交于點．，又，是等邊三角形．，，，又，，．由（1）得，，又．．．，；（4）（3）中的結論仍然成立．證明如下：如圖，過作交的延長線于，則，，是等邊三角形．，．，，，∴，，∴，．又，，，．．．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，等邊對等角，三線合一，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造全等三角形和等邊三角形，是解題的關鍵．8．在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．

(1)如圖1，當點E與點C重合時，與的位置關系是，若，則的長為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當點E與點C不重合時，連接．①用等式表示與之間的數量關系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見解析；②，證明見解析【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據三線合一證明【分析】（1）根據三角形內角和定理可得與的位置關系是互相垂直，過點A作于點M，根據等腰三角形性質得到，利用證明，根據全等三角形性質即可得出；（2）當點E與點C不重合時，①過點A作于點M、于點N，利用證明，根據全等三角形性質即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據全等三角形性質得到，，根據角的和差得到，再利用證明，根據全等三角形性質及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當點E與點C重合時，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關系是互相垂直，若，過點A作于點M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當點E與點C不重合時，用等式表示與之間的數量關系是：，證明如下：過點A作于點M、于點N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理、垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質并作出合理的輔助線是解題的關鍵．【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構造等腰三角形】模型解析：：如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD?△ACD,從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對的角平分線重合，易得這個三角形是等腰三角形.例題：（24-25八年級上·廣東肇慶·期中）（1）【問題情境】利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，求證：．（2）【問題探究】如圖2，在（1）的條件下，過點作，垂足為交于點．若，試探究和的數量關系，并證明你的結論．（3）【拓展延伸】如圖3，中，，點在線段上，且于交于，試探究和之間的數量關系，并證明你的結論．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）；見解析【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識，（1）根據“”證明即可得出結論；（2）先證，再證得出，進而即可得解；（3）如圖：過點作，交的延長線于點，與相交于，證出和，然后進行線段的等量代換即可得解；解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．【詳解】（1）在和中，，；（2），理由如下：由（1）得，，，即，，，，在和中，，，，；（3）．理由如下：如圖：過點作，交的延長線于點，與相交于，，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，即，．【變式訓練】1．（23-24七年級下·陜西西安·期末）利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，可證得，則，．【問題提出】（1）如圖，在中，平分，于點，若，，通過上述構造全等的辦法，求的度數；【問題探究】（2）如圖，在中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數量關系；【問題解決】（3）如圖是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，他進行了如下操作：作的平分線；再過點作交于點已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見解析；（）．【知識點】角平分線的有關計算、三角形的外角的定義及性質、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對等角【分析】（）延長交于點，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質即可得出結論；（）延長交于點，證，得，再由已知可知，即可得出結論；（）延長交于，由已知可知，，則再由三角形面積關系得，即可得出結論．【詳解】（）如圖，延長交于點，由已知可知，∴，∵，∴；（），證明如下：如圖，延長交于點，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由