安徽省淮南市北京師范大學淮南實驗學校2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題

安徽省淮南市北京師范大學淮南實驗學校2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題考試時間：90分鐘?總分：100分?年級/班級：高一年級一、選擇題（每題5分，共20分）要求：在下列各題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其選出并填寫在答題卡上。1.若函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+a^2$的圖象的對稱軸為$x=1$，則實數(shù)$a$的值為（）A.0B.1C.2D.-12.在平面直角坐標系中，若點A（3，2）關于直線$y=-x+2$的對稱點為B，則點B的坐標為（）A.（-1，-2）B.（-2，1）C.（2，-1）D.（1，-2）3.若函數(shù)$f(x)=|x|-|x-2|$，則$f(3)$的值為（）A.1B.2C.3D.04.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若$\frac{a}=\frac{3}{4}$，$\frac{c}=\frac{4}{5}$，則$\frac{a}{c}$的值為（）A.$\frac{12}{5}$B.$\frac{15}{4}$C.$\frac{9}{4}$D.$\frac{8}{3}$5.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n-1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$為（）A.$n^2$B.$n^2-n$C.$n^2+n$D.$n^2+2n$6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為3，公差為2，則該數(shù)列的第三項與第六項的和為（）A.14B.15C.16D.17二、填空題（每題5分，共20分）要求：把答案填寫在答題卡上相應題號的橫線上。1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0），則函數(shù)$f(x)$的解析式為______。2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，角B的度數(shù)為60°，則三角形ABC的周長為______。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=2n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和$S_{10}$為______。4.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，則該數(shù)列的第n項$a_n$為______。5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(-1)$的值為______。三、解答題（共60分）（一）解答題（每題10分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的對稱軸方程；（2）函數(shù)$f(x)$的零點。2.在平面直角坐標系中，已知點A（2，1）和點B（4，-3），求直線AB的斜率。3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=3n-2$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前5項；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$。（二）解答題（每題20分，共40分）4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為2，公差為3，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和$S_{10}$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的第n項$a_n$。5.已知函數(shù)$f(x)=|x-2|+|x+1|$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）函數(shù)$f(x)$的值域；（3）函數(shù)$f(x)$的圖象。三、解答題（每題10分，共20分）3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$的極值點。4.在平面直角坐標系中，已知圓心C（1，2）和半徑r=3的圓，求：（1）圓的標準方程；（2）圓心到直線$x+2y-5=0$的距離。五、解答題（每題10分，共20分）6.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=6$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$。六、解答題（每題10分，共20分）7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）函數(shù)$f(x)$的值域；（3）函數(shù)$f(x)$的圖象。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：對稱軸方程為$x=-\frac{2a}$，代入得$x=1$，解得$a=1$。2.A解析：點A關于直線$y=-x+2$的對稱點B，其坐標滿足$x_B=2-(x_A-1)$，$y_B=2-(y_A-2)$，代入A點坐標得B點坐標為（-1，-2）。3.C解析：$f(3)=|3|-|3-2|=3-1=2$。4.C解析：由$\frac{a}=\frac{3}{4}$，$\frac{c}=\frac{4}{5}$，得$\frac{a}{c}=\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$。5.B解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+(2n-1))}{2}=n^2-n$。6.D解析：等差數(shù)列的第三項$a_3=a_1+2d=3+2\times2=7$，第六項$a_6=a_1+5d=3+5\times2=13$，和為$7+13=20$。二、填空題1.$f(x)=x^2-2x+1$解析：由交點坐標得$f(-1)=0$，$f(3)=0$，代入得$a=1$，$b=-2$，$c=1$。2.10解析：等腰三角形ABC中，AB=AC，角B的度數(shù)為60°，則BC=AC，且BC=AB，由正弦定理得$BC=AC=\frac{AB}{\sin60°}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，周長為$2\times\frac{4}{\sqrt{3}}+2=\frac{10}{\sqrt{3}}$。3.$S_{10}=110$解析：數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=\frac{10(2+(2\times10-1))}{2}=110$。4.$a_n=3n-1$解析：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入得$a_n=2+(n-1)\times3=3n-1$。5.0解析：$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$。三、解答題（一）解答題1.解析：（1）對稱軸方程為$x=-\frac{2a}=-\frac{-2}{2\times1}=1$。（2）令$f(x)=0$，得$x^2-2x+1=0$，解得$x=1$。2.解析：斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-3-1}{4-2}=-2$。3.解析：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前5項為1，4，7，10，13。（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(3+(3n-2))}{2}=\frac{3n^2+n}{2}$。（二）解答題4.解析：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=\frac{10(2+(2\times10-1))}{2}=110$。（2）數(shù)列$\{a_n\}$的第n項$a_n=a_1+(n-1)d=2+(n-1)\times3=3n-1$。5.解析：（1）函數(shù)$f(x)$的定義域為所有使$x-2\neq0$的實數(shù)，即$x\neq2$。（2）函數(shù)$f(x)$的值域為所有使$|x-2|+|x+1|\geq0$的實數(shù)，即$[0,+\infty)$。（3）函數(shù)$f(x)$的圖象為兩個絕對值函數(shù)的圖象拼接而成，分別對應$x\geq2$和$x<2$的情況。三、解答題（每題10分，共20分）3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）函數(shù)$f(x)$的極值點。解析：（1）求導數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$得$x=0$和$x=2$。通過測試點法判斷單調(diào)性，當$x<0$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；當$0<x<2$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當$x>2$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增。因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間為$(-\infty,0)$。（2）極值點出現(xiàn)在導數(shù)等于0的點或導數(shù)不存在的點。由于$f'(x)=3x^2-6x$，在$x=0$和$x=2$處導數(shù)為0，因此這兩個點可能是極值點。通過二階導數(shù)檢驗，$f''(x)=6x-6$，在$x=0$時，$f''(0)=-6$，為負，所以$x=0$是極大值點；在$x=2$時，$f''(2)=6$，為正，所以$x=2$是極小值點。4.在平面直角坐標系中，已知圓心C（1，2）和半徑r=3的圓，求：（1）圓的標準方程；（2）圓心到直線$x+2y-5=0$的距離。解析：（1）圓的標準方程為$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圓心的坐標，$r$是半徑。代入得$(x-1)^2+(y-2)^2=3^2$。（2）點到直線的距離公式為$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中直線的一般方程為$Ax+By+C=0$。代入得$d=\frac{|1\times1+2\times2-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|1+4-5|}{\sqrt{5}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0$。五、解答題（每題10分，共20分）6.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=6$，求：（1）數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$；（2）數(shù)列$\{a_n\}$的前n項和$S_n$。解析：（1）等比數(shù)列的公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{2}=3$。（2）等比數(shù)列的前n項和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-3^n)}{1-3}=\frac{2(3^n-1)}{2}=3^n-1$。六、解答題（每題10分，共20分）7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）函數(shù)$f(x)$的值域；（3）函數(shù)$f(x)$的圖象。解析：（1）函數(shù)的定義域為所有使分母不為0的實數(shù)，即$x-2\neq0$，所以$x\neq2$。因此，函數(shù)$f(x)$的定義域為$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$。（2