金融工程學(xué)(第三版)第05章久期和凸度

第5章

久期和凸度5.1久期

5.2凸度

5.1久期債券的價(jià)格變動(dòng)與利率是息息相關(guān)的，而且一般在金融市場(chǎng)上，市場(chǎng)利率上升，債券價(jià)格將下降；市場(chǎng)利率下跌，債券價(jià)格將會(huì)上漲。金融期貨中的利率期貨更是直接用債券做標(biāo)的物。那么，這是為什么呢?利率水平變化如何影響債券價(jià)格變化，這些我們都可以用久期做出解釋。同時(shí)，研究利率期貨也需要先對(duì)久期有一個(gè)認(rèn)識(shí)。5.1久期5.1.1久期概述1）久期表達(dá)式久期（duration），也叫持續(xù)期。它反映債券的平均到期期限，它也是債券所有現(xiàn)金流量發(fā)生時(shí)間的加權(quán)平均值。5.1久期（1）債券價(jià)格的計(jì)算運(yùn)用現(xiàn)金流貼現(xiàn)方法，可以得出債券價(jià)格的計(jì)算公式，債券價(jià)格是債券到期之前所有現(xiàn)金流量的現(xiàn)值總和。如果我們假設(shè)債券每年付息一次，則：其中，P表示債券的價(jià)格；CFt表示第t次現(xiàn)金流（cashflow）；r表示貼現(xiàn)率（一般為市場(chǎng)利率）；n表示剩余期限。（5-1）5.1久期（2）權(quán)重的概念久期計(jì)算需要用每期的現(xiàn)金流量現(xiàn)值做權(quán)重。權(quán)重Wt表示某一時(shí)刻現(xiàn)金流量的現(xiàn)值與債券價(jià)格（所有現(xiàn)金流量現(xiàn)值總和）之比。其中，PV表示現(xiàn)值。（5-2）5.1久期（3）久期的一般表達(dá)式由上所述，可得久期的一般表達(dá)式為：（5-3）5.1久期（4）久期概念的用途久期可用來表示不可提前贖回債券面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)。它考察債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的敏感性的衡量指標(biāo)。具體說，久期是債券價(jià)格變化與債券到期收益率變化的比例系數(shù)。所以D是反映收益變化影響債券價(jià)格變化的比例系數(shù)，公式負(fù)號(hào)表示利率上升，債券價(jià)格下跌。（5-4）（5-5）5.1久期2）修正（modified）久期這是實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用的一種久期形式。它是由麥考萊久期衍生出來的。3）久期與債券價(jià)格變化的關(guān)系（1）債券收益率的變動(dòng)引起債券價(jià)格的變化，而且收益率與價(jià)格的變動(dòng)方向相反，即收益率上升，債券的價(jià)格下降；反之，收益率下降，債券的價(jià)格上升。5.1久期（2）債券價(jià)格的變動(dòng)率與麥考萊久期或修正久期成正比，即麥考萊久期和修正久期對(duì)價(jià)格相對(duì)于收益率的變化具有杠桿作用。也就是說，不同的債券，在收益率變動(dòng)相同的情況下，久期大的債券，其價(jià)格的變化率越大。（3）債券的價(jià)格和修正久期的乘積是價(jià)格－收益率曲線切線的斜率，因此在收益率變動(dòng)大小確定的情況下，債券價(jià)格變化大小與債券的價(jià)格和修正久期的乘積成正比。5.1久期5.1.2幾種常見債券的久期1）零息債券零息債券的現(xiàn)金流只有一個(gè)，即債券到期的面值支付，這個(gè)現(xiàn)金流折現(xiàn)為：債券的價(jià)格5.1久期2）附息債券一張面值為F的附息債券，年息票額為C，一年支付一次，則同樣應(yīng)用上邊的一系列公式有：債券到期前每期現(xiàn)金流都為C，到期時(shí)還有本金支付，則現(xiàn)金流見表5-1：5.1久期表5-1 附息債券現(xiàn)金流量表時(shí)間第一期第二期第三期…最后一期現(xiàn)金流CCCCC+F現(xiàn)金流折現(xiàn)

5.1久期（5-6）P=+（5-7）（5-8）5.1久期3）等額分期償還債券這類債券每年償還的本息和相等，都為R，其他同前，則有：（5-9）（5-10）5.1久期5.1.3久期的計(jì)算方法1）列表法列表法便是上文所述計(jì)算久期的方法。2）封閉式久期計(jì)算法D麥=D麥=

（5-15）（5-16）5.1久期3）有效久期計(jì)算法（1）有效久期是1996年弗蘭克法波齊（FrankFabovi）提出的。（2）有效久期≈D修（條件：收益率發(fā)生很小變動(dòng)，收益率曲線平滑）。（3）計(jì)算公式為：D有效=（5-17）

5.1久期4）簡(jiǎn)便的久期計(jì)算公式D麥D麥=-S為剩余年限付息次數(shù)。對(duì)于零息債券，C=0，則：D麥=-

-

（5-18）（5-19）5.1久期5）利用MicrosoftExcel計(jì)算久期Duration==-

5.1久期5.1.4久期的性質(zhì)及應(yīng)用1）久期的性質(zhì)久期的性質(zhì)或特點(diǎn)有如下幾條：（1）久期值與債券期限長(zhǎng)度成正比。（2）久期值與息票額成反比，即票面利率越低，麥考萊久期和修正久期就越長(zhǎng)。（3）久期值與到期收益率成反比，即到期收益率越高，麥考萊久期和修正久期就越短。（4）每年付息次數(shù)越多，久期值就越短。

5.1久期2）久期的應(yīng)用（1）久期是考察債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)敏感性的指標(biāo)，是債券價(jià)格變化與債券到期收益率變化的比例系數(shù)。（2）預(yù)測(cè)利率下跌，買入較長(zhǎng)久期的債券，因?yàn)檩^長(zhǎng)久期的債券比較短久期的債券上漲幅度大（原因是期限越長(zhǎng)的債券對(duì)利率變動(dòng)越敏感，期限越短，炒作空間越小，到期價(jià)格向價(jià)值回歸）。

5.1久期（3）預(yù)測(cè)利率上漲，買入久期較短、息票利率較高的債券，因?yàn)閭瘍r(jià)格下跌較少（因?yàn)榭煲狡跁r(shí)，價(jià)格向價(jià)值回歸，沒有下跌空間）。（4）一個(gè)債券組合的久期為組合中各個(gè)債券久期的加權(quán)平均值，具體含義看下一個(gè)內(nèi)容。

5.1久期5.1.5資產(chǎn)組合的久期資產(chǎn)組合的久期同樣可以用公式推導(dǎo)出來。假設(shè)兩個(gè)資產(chǎn)的組合M，由N1份債券B1，N2份債券B2組成，債券組合、債券的現(xiàn)價(jià)分別為PM、P1、P2，有如下價(jià)格關(guān)系：PM=N1P1+N2P2假設(shè)兩個(gè)債券的到期收益率相同都為r，有：

5.1久期

（5-21）5.1久期5.1.6風(fēng)險(xiǎn)免疫（riskimmunization）1）投資債券的風(fēng)險(xiǎn)種類（1）價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)（利率上升，價(jià)格下跌）。（2）再投資風(fēng)險(xiǎn)（利率下降，價(jià)格上升，資本收益，但所得利息不得不以較低利率進(jìn)行再投資）。2）風(fēng)險(xiǎn)免疫的原理價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)與再投資風(fēng)險(xiǎn)對(duì)投資回報(bào)的影響都與投資組合的久期有關(guān)，可以選擇適當(dāng)?shù)木闷谄谙尥瑫r(shí)防止上述兩種風(fēng)險(xiǎn)。

5.1久期3）風(fēng)險(xiǎn)免疫策略（1）有特定目標(biāo)期限的風(fēng)險(xiǎn)免疫。（2）資產(chǎn)負(fù)債管理的風(fēng)險(xiǎn)免疫。4）風(fēng)險(xiǎn)免疫的本質(zhì)使資產(chǎn)組合的久期與負(fù)債組合的久期期限相等，從而使凈資產(chǎn)值不受利率變化的影響。

5.1久期5.1.7基于久期的套期保值策略加權(quán)系數(shù)有三種：轉(zhuǎn)換系數(shù)模型、回歸模型、久期值模型。

（5-22）（5-23）5.1久期（1）轉(zhuǎn)換系數(shù)模型現(xiàn)貨債券如果恰恰是最便宜可交割債券，用這種方法較為理想。因?yàn)槠谪浭袌?chǎng)價(jià)格變動(dòng)與最便宜可交割債券價(jià)格變動(dòng)一致。缺點(diǎn)有兩點(diǎn)：①現(xiàn)貨需要保值的債券恰恰是最便宜可交割債券，偶然性大，不被廣泛使用。②最便宜可交割債券隨時(shí)都在變化，用CF作系數(shù)不實(shí)用。

5.1久期（2）回歸模型將期貨價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)格變化的歷史數(shù)據(jù)作回歸分析，以回歸線的斜率β作為對(duì)沖系數(shù)，此方法可以作為套期保值比率系數(shù)的一個(gè)補(bǔ)充和參考。缺點(diǎn)有兩點(diǎn)：①新發(fā)行債券沒有歷史數(shù)據(jù)。②衍生債券也沒有歷史數(shù)據(jù)。

5.1久期（3）久期值模型ΔPs=–Ds修·Ps·ΔrΔPf=–Df修·Pf·ΔrΔPs=ΔPf·HR將第一、第二個(gè)式子代入第三個(gè)式子得：–Ds修·Ps·Δr=–Df修·Pf·Δr·HRHR=

（5-24）5.2凸度5.2.1凸度（convexity）的定義凸度用于描述久期的變化率或價(jià)格——收益率曲線的彎曲程度。在數(shù)學(xué)上，凸度是價(jià)格對(duì)收益率的二階導(dǎo)數(shù)除以債券的價(jià)格。仍假設(shè)一個(gè)債券，剩余期限為n年，到期收益率為r，面值為F，票面利息為C，則：（5-25）5.2凸度證明如下：由于單純地利用持續(xù)期在收益率變化相對(duì)較大時(shí)誤差較大，對(duì)于債券價(jià)格的變化率，可以用泰勒級(jí)數(shù)求出其值。dP=·dr+·dr2+Δ （5-26）5.2凸度（5-27）（5-28）5.2凸度（5-29）（5-30）5.1久期5.2.2凸度的性質(zhì)（1）凸度大于零。（2）凸度和收益率是反方向變動(dòng)的，即隨著收益率的上升，債券的凸度減小。（3）凸度與期限成正向變動(dòng)關(guān)系。（4）凸度與票面利率也呈反方向變動(dòng)關(guān)系，即隨著票面利率的上升，債券的凸度減小。

5.1久期5.2.3凸度的應(yīng)用1）凸度在計(jì)算債券價(jià)格變化中的應(yīng)用由上知，≈-D修·Δr+·凸度·Δr2

（5-31）2）凸度在套利中的應(yīng)用無論將來市場(chǎng)利率是上升還是下降，投資者都將獲得資金盈利。

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5.1久期5.2.4資產(chǎn)組合的凸度資產(chǎn)組合的凸度定義為：資產(chǎn)組合的凸度等于資產(chǎn)組合中的各個(gè)證券凸度的加權(quán)