金融工程習(xí)題及答案

—.習(xí)題

1、假定外匯市場(chǎng)美元兌換馬克的即期匯率是1美元換L8馬克，美元利率是8%,馬克利

率是4%,試問(wèn)一年后遠(yuǎn)期無(wú)套利的均衡利率是多少？

2、銀行希望在6個(gè)月后對(duì)客戶提供一筆6個(gè)月的遠(yuǎn)期貸款。銀行發(fā)現(xiàn)金融市場(chǎng)上即期利率

水平是：6個(gè)月利率為9.5%,12個(gè)月利率為9.875%,按照無(wú)套利定價(jià)思想，銀行為這

筆遠(yuǎn)期貸款索要的利率是多少？

3、假設(shè)英鎊與美元的即期匯率是1英鎊=1.6650美元，遠(yuǎn)期匯率是1英鎊=1.6600美元，6

個(gè)月期美遠(yuǎn)與英鎊的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率分別是6%和8%,問(wèn)是否存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)？如存

在，如何套利？

4、一只股票現(xiàn)在價(jià)格是40元，該股票一個(gè)月后價(jià)格將是42元或者38元。假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利

率是8%,用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利原那么說(shuō)明，執(zhí)行價(jià)格為39元的一個(gè)月期歐式看漲期權(quán)的價(jià)值

是多少？

5、條件同題4,試用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法計(jì)算題4中看漲期權(quán)的價(jià)值，并比擬兩種計(jì)算結(jié)果。

6、一只股票現(xiàn)在的價(jià)格是5()元，預(yù)計(jì)6個(gè)月后漲到55元或是下降到45元。運(yùn)用無(wú)套利

定價(jià)原理，求執(zhí)行價(jià)格為50元的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值。

7、一只股票現(xiàn)在價(jià)格是100元。有連續(xù)兩個(gè)時(shí)間步，每個(gè)步長(zhǎng)6個(gè)月，每個(gè)單步二叉樹預(yù)

期上漲10%,或下跌10%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率8%(連續(xù)復(fù)利)，運(yùn)用無(wú)套利原那么求執(zhí)行價(jià)

格為100元的看漲期權(quán)的價(jià)值。

8、假設(shè)市場(chǎng)上股票價(jià)格S=2O元，執(zhí)行價(jià)格X=18元，r=10%,T=l年。如果市場(chǎng)報(bào)價(jià)歐式

看漲期權(quán)的價(jià)格是3元，試問(wèn)存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利時(shí)機(jī)嗎？如果有，如何套利？

9、股票當(dāng)前的價(jià)格是1()()元，以該價(jià)格作為執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格分別是

3元和7元。如果買入看漲期權(quán)、賣出看跌期權(quán)，再購(gòu)入到期日價(jià)值為100的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債

券，那么我們就復(fù)制了該股票的價(jià)值特征(可以叫做合成股票)。試問(wèn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的投

資本錢是多少？如果偏離了這個(gè)價(jià)格，市場(chǎng)會(huì)發(fā)生怎樣的套利行為？

習(xí)題解答：

1、按照式子：(1+8%)美元=1.8X(1+4%)馬克，得到1美元=1.7333馬克。

2、設(shè)遠(yuǎn)期利率為i,根據(jù)(1+9.5%)X(l+i)=1+9.875%,i=9.785%.

3、存在套利時(shí)機(jī)，其步驟為：

(1)以6%的利率借入1655萬(wàn)美元，期限6個(gè)月；

(2)按市場(chǎng)匯率將1655萬(wàn)美元換成1000萬(wàn)英鎊；

(3)將1000萬(wàn)英鎊以8%的利率貸出，期限6個(gè)月；

(4)按1.6600美元/英鎊的遠(yuǎn)期匯率賣出1037.5萬(wàn)英鎊；

(5)6個(gè)月后收到英鎊貸款本息1040.8萬(wàn)英鎊(1000e008x0-5L剩余3.3萬(wàn)英鎊；

(6)用1037.5萬(wàn)元英鎊換回1722.3萬(wàn)美元(1037.5x1.66)；

(7)用1715.7美元(IGGSe。06、。，)歸還貸款本息，剩余6.6萬(wàn)美元；

(8)套利盈余=6.6萬(wàn)美元+3.3萬(wàn)英鎊。

4、考慮這樣的證券組合：購(gòu)置一個(gè)看漲期權(quán)并賣出△股股票。如果股票價(jià)格.上漲至42元,

組合價(jià)值是423；如果股票價(jià)格下降到38元，組合價(jià)值是38A。假設(shè)兩者相等，那

么42A-3=38A,A=075o可以算出一個(gè)月后無(wú)論股票價(jià)格是多少，組合的價(jià)值都是

008x()08333

28.5,今天的價(jià)值一定是28.5的現(xiàn)值，B|J28.31=28.5e-oR|J-f+40A=28.31,

f是看漲期權(quán)價(jià)格。f-1.69o

5、按照風(fēng)險(xiǎn)中性的原那么，我們首先計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性條件下股票價(jià)格向上變動(dòng)的概率p,它

滿足等式：42p+38(l-p)=40e°08x°08333,p=o.5669,期權(quán)的價(jià)值是：(3X0.5669+0X

0.4331)e-OO8xOO8333=l.69,同題4按照無(wú)套利定價(jià)原那么計(jì)算的結(jié)果相同。

6、考慮這樣的組合：賣出一個(gè)看跌期權(quán)并購(gòu)置八股股票。如果股票價(jià)格是55元，組合的

價(jià)值是55△；如果股票的價(jià)格是45元，組合的價(jià)值是45△-5。假設(shè)兩者相等，那么45△

-5=55AoA=-05o一個(gè)月后無(wú)論股票價(jià)格如何變化，組合的價(jià)值都是-27.5,今天的價(jià)值

那么一定是-27.5的現(xiàn)值，即-27.5e-°k8=-26.16。這意味著-p+50A=-26.16,p=l.16。p

是看跌期權(quán)的價(jià)值。

7、按照本章的符號(hào),u=1.1,d=0.9尸0.08,所以p=（e°°8x°5-0.9）/（1.1-0.9）=0.7041。這里p是風(fēng)

險(xiǎn)中性概率。期權(quán)的價(jià)值是：

（0.70412x21+2x0.7041xD.2959xO+O,29592xO）e-008=9.61?

8、此題中看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)該是S-Xe-"=20-18已°」二3.71。顯然題中的期權(quán)價(jià)格小于此數(shù)，

會(huì)引發(fā)套利活動(dòng)。套利者可以購(gòu)置看漲期權(quán)并賣空股票，現(xiàn)金流是20-3=17。17以10%投

資一年，成為17e°』==18.79。到期后如果股票價(jià)格高于18,套利者以18元的價(jià)珞執(zhí)行期

權(quán)，并將股票的空頭平倉(cāng)，那么可獲利18.79-18=0.79元。假設(shè)股票價(jià)格低于18元（比方

17元），套利者可以購(gòu)置股票并將股票空頭平倉(cāng)，盈利是18.79-17=1.79元。

9、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的投資本錢因該是100?7+3=96元，否那么，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)以下套利活動(dòng)。

第一，假設(shè)投資本錢低于96元（比方是93元），那么合成股票的本錢只有97元

（7-3+93）,相對(duì)于股票投資少了3元。套利者以97元買入合成股票，以100元賣空標(biāo)的

股票，獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益3元。

第二，假設(shè)投資本錢高于96元（比方是98元），那么合成股票的本錢是102元，高于

股票投資本錢2元。套利者可以買入股票同時(shí)賣出合成股票，可以帶來(lái)2元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。

三.習(xí)題：

1.某交易商擁有1億日元遠(yuǎn)期空頭，遠(yuǎn)期匯率為0.008美元/日元。如果合約到期時(shí)

匯率分別為0.0074美元/日元和0.0090美元/日元，那么該交易商的盈虧如何？

2.目前黃金價(jià)格為50。美元/盎司，1年遠(yuǎn)期價(jià)格為700美元/盎司。市場(chǎng)借貸年利率

為10樂假設(shè)黃金的儲(chǔ)藏本錢為0,請(qǐng)問(wèn)有無(wú)套利時(shí)機(jī)？

3.一交易商買入兩份橙汁期貨，每份含15000磅，目前的期貨價(jià)格為每磅1.60元，

初始保證金為每份6000元，維持保證金為每份4500元。請(qǐng)問(wèn)在什么情況下該交易

商將收到追繳保證金通知？在什么情況下，他可以從保證金賬戶中提走2000元？

4.一個(gè)航空公司的高級(jí)主管說(shuō)：“我們沒有理由使用石油期貨，因?yàn)閷?lái)油價(jià)上升和

下降的時(shí)機(jī)是均等的。”請(qǐng)對(duì)此說(shuō)法加以評(píng)論。

5.每季度計(jì)一次復(fù)利的年利率為14%,請(qǐng)計(jì)算與之等價(jià)的每年計(jì)一次復(fù)利的年利率和

連續(xù)復(fù)利年利率。

6.每月計(jì)一次復(fù)利的年利率為15%,請(qǐng)計(jì)算與之等價(jià)的連續(xù)復(fù)利年利率。

7.某筆存款的連續(xù)復(fù)利年利率為12%,但實(shí)際上利息是每季度支付一次。請(qǐng)問(wèn)1萬(wàn)元

存款每季度能得到多少利息？

8.假設(shè)連續(xù)復(fù)利的零息票利率如下：

期限（年）年利率（％〕

iiTo

213.0

313.7

414.2

514.5

請(qǐng)計(jì)算第2、3、4、5年的連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率°

9.假設(shè)連續(xù)復(fù)利的零息票利率分別為：

期限（月）年利率

38.0

68.2

98.4

128.5

158.6

188.7

請(qǐng)計(jì)算第2、3、4、5、6季度的連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率。

10.假設(shè)一種無(wú)紅利支付的股票目前的市價(jià)為20元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%,

求該股票3個(gè)月期遠(yuǎn)期價(jià)格。

11.假設(shè)恒生指數(shù)目前為10000點(diǎn)，香港無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%,恒生指數(shù)股

息收益率為每年3%,求該指數(shù)4個(gè)月期的期貨價(jià)格。

12.某股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后每股分別派發(fā)1元股息，該股票目前市價(jià)等于30,

所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為6%,某投資者剛?cè)〉迷摴善?個(gè)月期的遠(yuǎn)期合約空

頭，請(qǐng)問(wèn)：①該遠(yuǎn)期價(jià)格等于多少？假設(shè)交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，那么遠(yuǎn)期合約的初始值

等于多少？②3個(gè)月后，該段票價(jià)格漲到35元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率仍為6%,此時(shí)遠(yuǎn)期價(jià)格和該

合約空頭價(jià)值等于多少？

13.假設(shè)目前白銀價(jià)格為每盎司80元，儲(chǔ)存本錢為每盎司每年2元，每3個(gè)月初預(yù)

付一次，所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利率均為5%,求9個(gè)月后交割的白銀期貨的價(jià)格。

14.有些公司并不能確切知道支付外幣確實(shí)切日期，這樣它就希望與銀行簽訂一種在

一段時(shí)期中都可交割的遠(yuǎn)期合同。公司希望擁有選擇確切的交割日期的權(quán)力以匹配它的現(xiàn)

金流。如果把你自己放在銀行經(jīng)理的位置上，你會(huì)如何對(duì)客戶想要的這個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)？

15.有些學(xué)者認(rèn)為，遠(yuǎn)期匯率是對(duì)未來(lái)匯率的無(wú)偏預(yù)測(cè)。請(qǐng)問(wèn)在什么情況下這種觀點(diǎn)

是正確的？

16.一家銀行為其客戶提供了兩種貸款選擇，一是按年利率11%]一年計(jì)一次復(fù)利）

貸出現(xiàn)金，一是按年利率2%〔一年計(jì)一次復(fù)利）貨出黃金。黃金貸款用黃金計(jì)算，并需用

黃金歸還本息。假設(shè)市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為9.25%。儲(chǔ)存本錢為每年0.5%（連續(xù)復(fù)

利）。請(qǐng)問(wèn)哪種貸款利率較低？

17.瑞士和美國(guó)兩個(gè)月連續(xù)復(fù)利率分別為2%和7%,瑞士法郎的現(xiàn)貨匯率為0.6500

美元，2個(gè)月期的瑞士法郎期貨價(jià)格為0.6600美元，請(qǐng)問(wèn)有無(wú)套利時(shí)機(jī)？

18.一個(gè)存款賬戶按連續(xù)復(fù)利年利率計(jì)算為12%,但實(shí)際上是每個(gè)季度支付利息的，

請(qǐng)問(wèn)10萬(wàn)元存款每個(gè)季度能得到多少利息？

19.股價(jià)指數(shù)期貨價(jià)格大于還是小于指數(shù)預(yù)期未來(lái)的點(diǎn)數(shù)？請(qǐng)解釋原因。

習(xí)題答案：

1.假設(shè)合約到期時(shí)匯率為0.0075美元/日元,那么他贏利1億x（0.008-0.0075）

=5萬(wàn)美元。

假設(shè)合約到期時(shí)匯率為0.0090美元/日元，那么他贏利1億x（0.008-0.009]=70萬(wàn)

美元。

2.套利者可以借錢買入100盎司黃金，并賣空1年期的100盎司黃金期貨，并等到

1年后交割，再將得到的錢用于還本付息，這樣就可獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。

3.如果每份合約損失超過(guò)1500元他就會(huì)收到追繳保證金通知。此時(shí)期貨價(jià)格低于

1.50元/磅。當(dāng)每份合約的價(jià)值上升超過(guò)1000元，即期貨價(jià)格超過(guò)1.667元/磅時(shí)，

他就可以從其保證金賬戶提取2000元了。

4.他的說(shuō)法是不對(duì)的。因?yàn)橛蛢r(jià)的上下是影響航空公司本錢的重要因素之一，通過(guò)

購(gòu)置石油期貨，航空公司就可以消除因油價(jià)波動(dòng)而帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。

5.每年計(jì)一次復(fù)利的年利率二

(1+0.14/4)4-1=14.75%

連續(xù)復(fù)利年利率二

41n(1+0.14/4)=13.76%。

6.連續(xù)復(fù)利年利率二

121n(1+0.15/12)=14.91%。

7.與12%連續(xù)復(fù)利利率等價(jià)的每季度支付一次利息的年利率二

4(e003-l)=12.18%。

因此每個(gè)季度可得的利息=10000xl2.8%/4=304.55元。

8.第2、3、4、5年的連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率分別為：

第2年：14.0%

第3年：15.1%

第4年：15.7%

第5年：15.7%

9.第2、3、4、5、6季度的連續(xù)復(fù)利遠(yuǎn)期利率分別為：

第2季度：8.4%

第3季度：8.8%

第4季度：8.8%

第5季度：9.0%

第6季度：9.2%

10.期貨價(jià)格二20e02E=20.51元。

11.指數(shù)期貨價(jià)格二1000。1°"-°°5*〃2=]0125.78點(diǎn)。

12.(1)2個(gè)月和5個(gè)月后派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值二6?與2力+十風(fēng)5〃2二L96元。

遠(yuǎn)期價(jià)格二(30T.96)e°06x0B=28.89元。

假設(shè)交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格，那么遠(yuǎn)期合約的初始價(jià)格為0。

(2)3個(gè)月后的2個(gè)月派發(fā)的1元股息的現(xiàn)值二e'06山口0.99元。

遠(yuǎn)期價(jià)格=(35-0.99)?！憬?〃2=34.52元。

此時(shí)空頭遠(yuǎn)期合約價(jià)值二(28.89-34.52)e"網(wǎng)箱2=_5.55元。

13.9個(gè)月儲(chǔ)藏本錢的現(xiàn)值=0.5+0.5e005x3/12+0.5eaoM/l2=l.48元。

白銀遠(yuǎn)期價(jià)格=(80+1.48)e°陶小巾蟲59元。

14.銀行在定價(jià)時(shí)可假定客戶會(huì)選擇對(duì)銀行最不利的交割日期。我們可以很容易證明，

如果外幣利率高于本幣利率，那么擁有遠(yuǎn)期外幣多頭的客戶會(huì)選擇最早的交割日

期，而擁有遠(yuǎn)期外幣空頭的客戶那么會(huì)選擇最遲的交割口期。相反，如果外幣利率

低于本幣利率，那么擁有遠(yuǎn)期外幣多頭的客戶會(huì)選擇最遲的交割日期，而擁有遠(yuǎn)期

外幣空頭的客戶那么會(huì)選擇最早的交割日期。只要在合約有效期中，外幣利率和本

幣利率的上下次序不變，上述分析就沒問(wèn)題，銀行可按這個(gè)原那么定價(jià)。

但是當(dāng)外幣利率和本幣利率較為接近時(shí)，兩者的上下次序就有可能發(fā)生變化。

因此，客戶選擇交割日期的權(quán)力就有特別的價(jià)值。銀行應(yīng)考慮這個(gè)價(jià)值。

如果合約簽訂后，客戶不會(huì)選擇最有利的交割日期，那么銀行可以另賺一筆。

15.只有當(dāng)外幣的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)等于0時(shí)，上述說(shuō)法才能成立。

16.將上述貸款利率轉(zhuǎn)換成連續(xù)復(fù)利年利率，那么正常貸款為10.44%,黃金貸款為

1.98%。

假設(shè)銀行按S元/盎司買了1盎司黃金，按1.98%的黃金利率貸給客戶1年，

同時(shí)賣出e。。198盎司1年遠(yuǎn)期黃金，根據(jù)黃金的儲(chǔ)存本錢和市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，我

們可以算出黃金的1年遠(yuǎn)期價(jià)格為元/盎司。也就是說(shuō)銀行1年后可以收到

=Se°g元現(xiàn)金。可見黃金貸款的連續(xù)復(fù)利收益率為11.73%。顯然黃金貸

款利率高于正常貸款。

17.瑞士法郎期貨的理論價(jià)格為：

0.65e01467X(007H)02-0.06554

可見，實(shí)際的期貨價(jià)格太高了。投資者可以通過(guò)借美元，買瑞士法郎，再賣瑞

士法郎期貨

來(lái)套利。

18.與12%連續(xù)復(fù)利年利率等價(jià)的3個(gè)月計(jì)一次復(fù)利的年利率為：

4X(eow-l)=12.18%

因此，每個(gè)月應(yīng)得的利息為：

10萬(wàn)X0.1218/4=3045.5元。

19.由于股價(jià)指數(shù)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)為正，因此股價(jià)指數(shù)期貨價(jià)格總是低于預(yù)期未來(lái)的指數(shù)

值。

四.習(xí)題：

1.A公司和B公司如果要在金融市場(chǎng)上借入5年期本金為2000萬(wàn)美元的貸款，需支

付的年利率分別為:___________________________________________________________

固定利率浮動(dòng)利率

A公司12.0%LIBOR+0.1%

_________B公司13.4%LIBOR+0.6%

A公司需要的是浮動(dòng)利率貸款，B公司需要的是固定利率貸款。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)利率互換,

其中銀行作為中介獲得的報(bào)酬是0.1%的利差，而且要求互換對(duì)雙方具有同樣的吸引力。

2.X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金

用即期匯率計(jì)算價(jià)值很接近。市場(chǎng)對(duì)這兩個(gè)公司的報(bào)價(jià)如下：

日元美元

X公司5.0%9.6%

Y公司6.5%10.0%

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)貨幣互換，銀行作為中介獲得的報(bào)酬是是個(gè)基點(diǎn)，而且要求互換對(duì)雙方具

有同樣的吸引力，匯率風(fēng)險(xiǎn)由銀行承當(dāng)。

3.一份本金為1()億美元的利率互換還有1()月的期限。這筆互換規(guī)定以6個(gè)月的LIBOR

利率交換12%的年利率(每半年計(jì)一次復(fù)利)。市場(chǎng)上對(duì)交換6個(gè)月的LIBOR利率的所有

期限的利率的平均報(bào)價(jià)為10%(連續(xù)復(fù)利)。兩個(gè)月前6個(gè)月的LIBOR利率為9.6%。請(qǐng)

問(wèn)上述互換對(duì)支付浮動(dòng)利率的那一方價(jià)值為多少？對(duì)支付固定利率的那一方價(jià)值為多少？

4.一份貨幣還有15月的期限。這筆互換規(guī)定每年交換利率為14%、本金為2000萬(wàn)英

鎊和利率為10%、本金為3000萬(wàn)美元兩筆借款的現(xiàn)金流。英國(guó)和美國(guó)現(xiàn)在的利率期限結(jié)

構(gòu)都是平的。如果這筆互換是今天簽訂的，那將是用8%的美元利率交換11%的英鎊利率。

上述利率是連續(xù)復(fù)利。即期匯率為1英鎊=1.650()美元。請(qǐng)問(wèn)上述互換對(duì)支付英鎊的那一

方價(jià)值為多少？對(duì)支付美元的那一方價(jià)值為多少？

5.解釋互換的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)的區(qū)別。

6.X公司和Y公司的各自在市場(chǎng)上的的年期500萬(wàn)美元的投資可以獲得的收益率為:

固定利率浮動(dòng)利率_______

X公司8.0%LIBOR

Y公司8.8%LIBOR

X公司希望以固定利率進(jìn)行投資，而Y公司希望以浮動(dòng)利率進(jìn)行投資。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)利

率互換，其中銀行作為中介獲得的報(bào)酬是（）.2%的利差，而且要求互換對(duì)雙方具有同樣的吸

引力。

7.A公司和B公司如果要在金融市場(chǎng)上借款需支付的利率分別為：

A公司B公司

美元浮動(dòng)利率LIBOR+0.5%LIBOR+l.O%

加元固定利率5.0%6.5%

假設(shè)A公司需要的是美元浮動(dòng)利率貸款，B公司需要的是加元固定利率貸款。一家銀

行想設(shè)計(jì)一個(gè)互換，并從希望中獲得的0.5%的利差如果互換對(duì)雙方具有同樣的吸引力，A

公司和B公司的利率支付是怎么安排的？

8.為什么說(shuō)貨幣互換可以分解為一系列遠(yuǎn)期外匯協(xié)議？

習(xí)題答案

I.A公司在固定利率貸款市場(chǎng)上有明顯的比擬優(yōu)勢(shì)，但A公司想借的是浮動(dòng)利率貸款。

而B公司在浮動(dòng)利率貸款市場(chǎng)上有明顯的比擬優(yōu)勢(shì)，但A公司想借的是固定利率貸款。這

為互換交易發(fā)揮作用提供了根底。兩個(gè)公司在固定利率貸款上的年利差是1.4%,在浮動(dòng)利

率貸款上的年利差是0.5。如果雙方合作，互換交易每年的總收益將是1.4%—0.5%=0.9%。

因?yàn)殂y行要獲得（）.1%的報(bào)酬，所以A公司和B公司每人將獲得（）.4%的收益。這意味著A

公司和B公司將分別以LIBOR-0.3%和13%的利率借入貸款。適宜的協(xié)議安排如下圖。

12.3%12.4%

LIBORLIBOR

2.X公司在日元市場(chǎng)上有比擬優(yōu)勢(shì)但想借入美元，Y公司在美元市場(chǎng)上有比擬優(yōu)勢(shì)但

想借入日元。這為互換交易發(fā)揮作用提供了根底。兩個(gè)公司在日元貸款上的利差為1.5%,

在美元貸款上的利差為0.4%,因此雙方在互換合作中的年總收益為1.5%—0.4%=1.1%。因

為銀行要求收取0.5%的中介費(fèi)，這樣X公司和Y公司將分別獲得0.3%的合作收益。互換

后X公司實(shí)際上以9.6%—0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y實(shí)際上以6.5%—0.3%=6.2%借

入FI元。適宜的協(xié)議安排如下圖。所有的匯率風(fēng)險(xiǎn)由銀行承當(dāng)。

日元5%日元6.2%

美元9.3%美元10%

3.根據(jù)題目提供的條件可知，LIBOR的收益率曲線的期限結(jié)構(gòu)是平的，都是10%（半

年計(jì)一次復(fù)利）?；Q合約中隱含的固定利率債券的價(jià)值為

613333加0663333m=103.33百萬(wàn)美元

互換合約中隱含的浮動(dòng)利率債券的價(jià)值為

（100+4.8）-°3333如=10136百萬(wàn)美元

因此，互換對(duì)支付浮動(dòng)利率的一方的價(jià)值為103.33-101.36=1.97百萬(wàn)美元，對(duì)支付固

定利率的一方的價(jià)值為-1.97百萬(wàn)美元。

4.我們可以用遠(yuǎn)期合約的組合來(lái)給互換定價(jià)。英鎊和美元的連續(xù)復(fù)利年利率分別為

10.43%和7.70%。3個(gè)月和15個(gè)月的遠(yuǎn)期匯率分別別16//如由=1.6388和

1.6513。.⑵3=1.5946。對(duì)支付英鎊的一方，遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為

(3-2.8x1.6388)56白萬(wàn)美元

(3-2.Xx].5946)*°77KL25=_].33百萬(wàn)美元

本金交換對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為

(30-20x1.5946)1皿25=<61百萬(wàn)美元

所以互換合約的價(jià)值為-1.56-1.33-1.72=4.61百萬(wàn)美元。

5.信用風(fēng)險(xiǎn)源于交易對(duì)方違約的可能性，而市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)源于利率、匯率等市場(chǎng)變量的波動(dòng)。

6.X公司在固定利率投資上的年利差為0.8%,在浮動(dòng)利率投資上的年利差為0。因此

互換帶來(lái)的總收益是0.8%。其中有0.2%要支付給銀行，剩下的X和Y每人各得0.3%。

換句話說(shuō)，X公司可以獲得8.3%的回報(bào)，Y公司可以獲得LIBOR+0.3%的回報(bào)。互換流

程如下圖。

8.3%，8.5%

LIBOR^?金融—

LIBORLIBOR

7.A公司在加元固定利率市場(chǎng)上有比擬優(yōu)勢(shì)，而B公司在美元浮動(dòng)利率市場(chǎng)上

有比擬優(yōu)勢(shì)，但兩個(gè)公司需要的借款都不是自己有比擬優(yōu)勢(shì)的那一種，因比存在互

換的時(shí)機(jī)。

兩個(gè)公司在美元浮動(dòng)利率借款上的利差是0.5%,在加元固定利率借款上的利

差是1.5%,兩者的差額是1%,因此合作者潛在的收益是1%或100個(gè)基點(diǎn)，如果

金融中介要了50個(gè)基點(diǎn)，A、B公司分別可得25個(gè)基點(diǎn)。因此可以設(shè)計(jì)一個(gè)互換，

付給A公司LIBOR+0.25%的美元浮動(dòng)利率，付給B公司6.25%的加元固定利率。

加元5%加元6.25%

麗麗喇

美元LIBOR+0.25%美元LIBOR+1%

本金的支付方向在互換開始時(shí)與箭頭指示相反，在互換終止時(shí)與箭頭指示相

同。金融中介在此期間承當(dāng)了外匯風(fēng)險(xiǎn)，但可以用外匯遠(yuǎn)期合約抵補(bǔ)。

8.貨幣互換的福一項(xiàng)支付都可以看作一份遠(yuǎn)期合約，因此貨幣互換等價(jià)與于遠(yuǎn)

期合約的組合。

五.習(xí)題:

1.某投資者買進(jìn)一份看漲期權(quán)同時(shí)賣出一份相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同期限相同協(xié)議價(jià)格的看跌期權(quán)，

請(qǐng)描述該投資者的狀況。

2.甲賣出1份A股票的歐式看漲期權(quán)，9月份到期，協(xié)議價(jià)格為20元。現(xiàn)在是5月

份，A股票價(jià)格為18元，期權(quán)價(jià)格為2元。如果期權(quán)到期時(shí)A股票價(jià)格為25元，請(qǐng)問(wèn)甲

在整個(gè)過(guò)程中的現(xiàn)金流狀況如何？

3.為什么交易所向期權(quán)賣方收保證金而不向買方收保證金？

4.請(qǐng)解釋為什么相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同期限、相同協(xié)議價(jià)格的美式期權(quán)的價(jià)值總是大于等于歐式期

權(quán)。

5.設(shè)某一無(wú)紅利支付股票的現(xiàn)貨價(jià)格為30元，連續(xù)復(fù)利無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%,求該股息協(xié)議價(jià)格為

27元，有效期3個(gè)月的看漲期權(quán)價(jià)格的下限。

6.某一協(xié)議價(jià)格為25元，有效期6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)價(jià)格為2元，標(biāo)的股票價(jià)格為24元，該

股票預(yù)計(jì)在2個(gè)月和5個(gè)月后各支付0.50元股息，所有期限的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率均為服，請(qǐng)問(wèn)該

股票協(xié)議價(jià)格為25元，有效期6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格等于多少？

7.假設(shè)你是一家負(fù)債率很高的公司的唯一股東。該公司的所有債務(wù)在1年后到期。如果到時(shí)公司

的價(jià)值高于債務(wù)，你將歸還債務(wù)。否那么的話，你將宣布破產(chǎn)并讓債權(quán)人接管公司。

(1)請(qǐng)將你的股權(quán)表示為公司價(jià)值的期權(quán)；

(2)請(qǐng)將債權(quán)人的債權(quán)表示為公司價(jià)值的期權(quán)：

(3)你有什么方法來(lái)提高股權(quán)的價(jià)值？

8.設(shè)6、6和心分別表示協(xié)議價(jià)格為X|、X2、X3的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，其中X3>X?X|且七一X?=X2-

X),所有期權(quán)的到期日相同，請(qǐng)證明：

9、請(qǐng)用看漲期權(quán)看跌期權(quán)平價(jià)證明用歐式看跌期權(quán)創(chuàng)造蝶式差價(jià)組合的本錢等于用歐式看漲期權(quán)

創(chuàng)造蝶式差價(jià)組合的本錢。

10、箱型差價(jià)組合(BoxSpread)由看漲期權(quán)的牛市差價(jià)組合和看跌期權(quán)的熊市差價(jià)組合組成。

兩個(gè)差價(jià)組合的協(xié)議價(jià)格都是X.和X?。所有期權(quán)的期限都一樣。請(qǐng)分析該箱型差價(jià)組合的結(jié)果。

習(xí)題答案：

1、該投資者最終的結(jié)果為；

max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X

可見，這相當(dāng)于協(xié)議價(jià)格為X的遠(yuǎn)期合約多頭。

本習(xí)題說(shuō)明了如下問(wèn)題：

(1)歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭可以組成遠(yuǎn)期合約多頭；歐式看漲期權(quán)空頭和歐

式看跌期權(quán)多頭可以組成遠(yuǎn)期合約空頭。

(2)遠(yuǎn)期合約多頭可以拆分成歐式看漲期權(quán)多頭和歐式看跌期權(quán)空頭；遠(yuǎn)期合約空頭可以拆

分成歐式看漲期權(quán)空頭和歐式看跌期權(quán)多頭。

(3)當(dāng)X等于遠(yuǎn)期價(jià)格時(shí)，遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為0。此時(shí)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值相等。

2、他在5月份收入2元，9月份付出5元(=25-20)o

3、期權(quán)買方在支付了期權(quán)費(fèi)后，其最糟糕的結(jié)果是0,他永遠(yuǎn)不必再付出，因此他無(wú)需再

繳保證金。

4、美式期權(quán)的持有者除了擁有歡式期權(quán)持有者的所有權(quán)力外，還有提前執(zhí)行的權(quán)力，因此美式期權(quán)的

價(jià)值至少應(yīng)不低于歐式期權(quán),

5、下限為：

30-27e006xo-25=3.40元。

6、看跌期權(quán)價(jià)格為：

p=c+Xe，T+D_SO

=2+25e。眈?！恪?0.5e°',C&7><OOG+0.5e°-4,07X00a-24

=3.00元。

7、(1)假設(shè)公司價(jià)值為V,到期債務(wù)總額為D,那么股東在1年后的結(jié)果為：

max(V-D,0)

這是協(xié)議價(jià)格為D,標(biāo)的資產(chǎn)為V的歐式看漲期權(quán)的結(jié)果。

(2)債權(quán)人的結(jié)果為：

min(V,D)=D-max(D-V,0)

由于max(D-V,0)是協(xié)議價(jià)格為D、標(biāo)的資產(chǎn)為V的歐式看跌期權(quán)的結(jié)果。因此該債權(quán)可以分

拆成期末值為1)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)貸款，加上歐式看跌期權(quán)空頭。

(3)股東可以通過(guò)提高V或V的波動(dòng)率來(lái)提高股權(quán)的價(jià)誼。第一種方法對(duì)股東和債權(quán)人都有利。

第二種方法那么有利于股東而不利于債權(quán)人。進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)投資顯然屬于第二種方法。

8、考慮一個(gè)組合由一份協(xié)議價(jià)格為尤的歐式看漲期權(quán)多頭、一份協(xié)議價(jià)格為先的歐式看漲期權(quán)多頭和

2份協(xié)議價(jià)格為X2的歐式看漲期權(quán)空頭組合。在4種不同的狀態(tài)下，該組合的價(jià)值分別為：

當(dāng)SWXi時(shí)，組合價(jià)值=0：

當(dāng)XKS區(qū)X?時(shí)，組合價(jià)值=//〉0；

當(dāng)XXSMG時(shí),組合價(jià)值=5廠32(3先)=*2/-(5曰2)20;

當(dāng)ST>X3時(shí)，組合價(jià)值=ST「2(ST-X2)+ST-X3=X2-XI-(X3-X2)=0.

以上分析說(shuō)明，在期權(quán)到期時(shí)，該組合價(jià)值一定大于等于0,那么在無(wú)套利條件下，該組合現(xiàn)

在的價(jià)值也應(yīng)大于等于0,這意味著：

Ci+e.3-2c2>(),或者說(shuō)：

CL<0.5(ci+c3).

9、令CI、C2、C3分別表示協(xié)議價(jià)格為X】、X?和X：,的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，Pl、P2、P3分別表示協(xié)議價(jià)

格為X1、X2和X：,的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。根據(jù)看漲期權(quán)看跌期權(quán)平價(jià)：

Ci+Xie-rr=p)+S

C2+X2e'r=p2+S

C3+X:M”=P3+S

因此，

CI+C3-2C2+(XI+X3-2X2)e"=pi+p廠2P2

由于X「X產(chǎn)XLXZ,因此,XMXL2X/=0。這樣，

C|+C3-2C2=Pl+p3-2p2

證畢。

10、看漲期權(quán)的牛市差價(jià)組合由一份協(xié)議價(jià)格為X.的歐式看漲期權(quán)多頭和一份協(xié)議價(jià)格為X2的

歐式看漲期權(quán)空頭組成?？吹跈?quán)的熊市差價(jià)組合由一份協(xié)議價(jià)格為X?的歐式看跌期權(quán)多頭和一份

協(xié)議價(jià)格為X的歐式看跌期權(quán)空頭組成。其結(jié)果為：

期末股價(jià)范圍看漲期權(quán)的牛市差價(jià)組合看跌期權(quán)的熊市差價(jià)組合總結(jié)果

ST>X2X2-Xt0X2-X1

X><ST<X2ST-X.X2-STX2-X1

ST<X10X2-XiX2-X1

從上表可以看出，在任何情況下，該箱型組合的結(jié)果都是在不存在套利時(shí)機(jī)的情況下，該組

合目前的價(jià)值應(yīng)該等于X2-X1的現(xiàn)值。

六.習(xí)題：

1.假設(shè)某不付紅利股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其預(yù)期年收益率16樂年波動(dòng)率30席,該股票當(dāng)

天收盤價(jià)為50元，求：①第二天收盤時(shí)的預(yù)期價(jià)格，②第二天收盤時(shí)股價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)差，③在量信度為95%

情況下，該股票第二天收盤時(shí)的價(jià)格范圍。

2.變量X1和凡遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)，漂移率分別為內(nèi)和中，方差率分別為和o-。請(qǐng)問(wèn)在以下兩種

情況下，X1+X2分別遵循什么樣的過(guò)程？

(1)在任何短時(shí)間間隔中Xi和X?的變動(dòng)都不相關(guān)：

(2)在任何短時(shí)間間隔中Xi和X2變動(dòng)的相關(guān)系數(shù)為p。

3.假設(shè)某種不支付紅利股票的市價(jià)為50元，風(fēng)險(xiǎn)利率為10樂該股票的年波動(dòng)率為30席,求該股

票協(xié)議價(jià)格為50元、期限3個(gè)月的歐式看跌期權(quán)價(jià)格.

4.請(qǐng)證明布萊克―舒爾斯看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)公式符合看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價(jià)公式。

5.某股票市價(jià)為70元，年波動(dòng)率為32%,該股票預(yù)計(jì)3個(gè)月和6個(gè)月后將分別支付1元股息，

市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%o現(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價(jià)格為65元，有效期8個(gè)月。請(qǐng)證明在

上述兩個(gè)除息口提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請(qǐng)計(jì)算該期權(quán)價(jià)格。

6.某股票目前價(jià)格為4()元，假設(shè)該股票I個(gè)月后的價(jià)格要么為42元、要么38元。連續(xù)復(fù)利無(wú)

風(fēng)險(xiǎn)年利率為8筑請(qǐng)問(wèn)1個(gè)月期的協(xié)議價(jià)格等于39元?dú)W式看漲期權(quán)價(jià)格等于多少？

習(xí)題答案：

11、由于△--S--。(/心/,。JZ7)

S

在此題中，S=50,>1=0.16,CT=0.30,At=l/365=0.00274.因此，

△S/50?M0.16x0.00274,0.3x0.OO2740-5)

寸(0.0004,0.0157)

AS~0(0.022,0.785)

x0.785至50.022+1.96x0.785,即48.48元至51.56元之間。

12、(1)假設(shè)『和L的初始值分別為小和.。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間T后，處的概率分布為：

X2的概率分布為：

根據(jù)獨(dú)立的正態(tài)分布變量之和的性質(zhì)，可求*和X2的概率分布為：

這說(shuō)明，尤和Xz遵循漂移率為4+外，方差率為的普通布朗運(yùn)動(dòng)。

(2)在這種情況下，X1和刈在短時(shí)間間隔At之內(nèi)的變化的概率分布為：

如果必、.、外巴和夕都是常數(shù)，那么片和X2在較長(zhǎng)時(shí)間間隔T

之內(nèi)的變化的概率分布為：

這說(shuō)明，Xi和X2遵循漂移率為從+4,方差率為。：+8+2/7。區(qū)的普通布朗運(yùn)動(dòng)。

13、在此題中，S=50,X=50,r=0.1,o=0.3,T=0.25,

因此，

這樣，歐式看跌期權(quán)價(jià)格為，

14、根據(jù)布萊克-舒爾斯看跌期權(quán)定價(jià)公式有：

由于N(-d.)=1-N(dJ,上式變?yōu)椋?/p>

同樣，根據(jù)布萊克―舒爾斯看漲期權(quán)定價(jià)公式有：

可見，〃+S=C+X-",看漲期權(quán)和看跌期權(quán)平價(jià)公式成立。

15、D,=D2=1,tFO.25,T=0.6567,r=0.1,X=65

可見，

顯然，該美式期權(quán)是不應(yīng)提早執(zhí)行的。

紅利的現(xiàn)值為：

該期權(quán)可以用歐式期權(quán)定價(jià)公式定價(jià)：

S=70-l.9265=68.0735,X=65,T=0.6667,r=0.1,o=0.32

N(d])=O.7131,N(d2)=0.6184

因此，看漲期權(quán)價(jià)格為：

16、構(gòu)造一個(gè)組合，由一份該看漲期權(quán)空頭和△股股票構(gòu)成。如果股票價(jià)格升到42元，該組合價(jià)

值就是42△-3。如果股票價(jià)格跌到38△元，該組合價(jià)值就等于384。令：

42A-3=38A

得：A=().75元。也就是說(shuō)，如果該組合中股票得股數(shù)等于0.75,那么無(wú)論1個(gè)月后股票價(jià)格

是升到42元還是跌到38元，該組合的價(jià)值到時(shí)都等于28.5元。因此，該組合的現(xiàn)值應(yīng)該等于：

28.5e?-=28.31元。

這意味著:

-c+40A=28.31

c=40X0.75-28.31=1.69元。

七.習(xí)題

1,布萊克―舒爾斯定價(jià)模型的主要缺陷有哪些？

2.交易本錢的存在對(duì)期權(quán)價(jià)格有什么影響？

3.怎樣理解下面這個(gè)觀點(diǎn)：組合中一份衍生證券合約的價(jià)值往往取決于該組合中其他合約

的價(jià)值？

4.什么是波動(dòng)率微笑、波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率矩陣？它們的作用何在？

5.當(dāng)波動(dòng)率是隨機(jī)的且和股票價(jià)格正相關(guān)時(shí)，人們?cè)谑袌?chǎng)上可能會(huì)觀察到怎樣的隱含波動(dòng)

率？

6.假設(shè)一個(gè)股票價(jià)格遵循復(fù)合期權(quán)模型，隱含波動(dòng)率會(huì)是怎樣的形狀？

7.如果我們對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率的概念進(jìn)一步深入下去，使得波動(dòng)率的波動(dòng)率也是隨機(jī)的，結(jié)果

會(huì)如何？

8.設(shè)前一天收盤時(shí)S&P500為1040,指數(shù)的每天波動(dòng)率為1%,GARCH(1,1)模型中的參

數(shù)為a=0.06,P=0.92,O=0.000002。如果當(dāng)天收盤時(shí)S&P500為1060,那么新的

波動(dòng)率估計(jì)為多少？(設(shè)"=0)

9.不確定參數(shù)模型的定價(jià)思想是什么？

10.如何理解跳躍擴(kuò)散模型和崩盤模型？

11.期權(quán)交易者常常喜歡把深度虛值期權(quán)看作基于波動(dòng)率的期權(quán)，為什么？

答案：

1.(1)交易本錢的假設(shè)：BS模型假定無(wú)交易本錢，可以連續(xù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)的套期保值，但事

實(shí)上交易本錢總是客觀存在的。(2)波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)：實(shí)際上波動(dòng)率本身就是一個(gè)

隨機(jī)變量。(3)不確定的參數(shù)：BS模型假設(shè)波動(dòng)率、利率、股利等參數(shù)都是的常數(shù)(或

是確實(shí)定函數(shù))。但事實(shí)上它們都不是一個(gè)常數(shù)，最為典型的波動(dòng)率甚至也不是一個(gè)時(shí)

間和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格確實(shí)定函數(shù)，并且完全無(wú)法在市場(chǎng)觀察到，也無(wú)法預(yù)測(cè)。(4)資產(chǎn)價(jià)

格的連續(xù)變動(dòng)：在實(shí)際中，不連續(xù)是常見的，資產(chǎn)價(jià)格常常出現(xiàn)跳躍。

2.交易本錢的存在，會(huì)影響我們進(jìn)行套期保值的次數(shù)和期權(quán)價(jià)格：交易本錢一方面會(huì)使得

調(diào)整次數(shù)受到限制，使基于連續(xù)組合調(diào)整的BS模型定價(jià)成為一種近似；另一方面，交

易本錢也直接影響到期權(quán)價(jià)格本身，使得合理的期權(quán)價(jià)格成為一個(gè)區(qū)間而不是單個(gè)數(shù)

值。同時(shí)，不同的投資者需要承當(dāng)?shù)慕灰妆惧X不同，具有規(guī)模效應(yīng)，即使是同一個(gè)投資

者，處于合約多頭和空頭時(shí)，期權(quán)價(jià)值也不同。

3.在放松布萊克―舒爾斯模型假設(shè)之后，常常出現(xiàn)非線性的偏微分方程，這意味著同一個(gè)

組合中的期權(quán)頭寸可能出現(xiàn)互相對(duì)沖和保值，減少了保值調(diào)整本錢，從而使得整個(gè)組合

的價(jià)值并不等于每個(gè)期權(quán)價(jià)值之和，因此組合中一份衍生證券合約的價(jià)值往往取決于該

組合中其他合約的價(jià)值。

4.應(yīng)用期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格和BS公式推算出來(lái)的隱含波動(dòng)率具有以卜兩個(gè)方面的變動(dòng)規(guī)律：

(1)“波動(dòng)率微笑”：隱含波動(dòng)率會(huì)隨著期權(quán)執(zhí)行價(jià)格不同而不同；(2)波動(dòng)率期限結(jié)

構(gòu)：隱含波動(dòng)率會(huì)隨期權(quán)到期時(shí)間不同而變化。通過(guò)把波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)放

在一起，可以構(gòu)造出一個(gè)波動(dòng)率矩陣，它是我們考察和應(yīng)用波動(dòng)率變動(dòng)規(guī)律的根本工具

之一。波動(dòng)率微笑和波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)的存在，證明了BS公式關(guān)于波動(dòng)率為常數(shù)的根本

假設(shè)是不成立的，至少期權(quán)市場(chǎng)不是這樣預(yù)期的。實(shí)際從業(yè)人員常常從隱含波動(dòng)率矩陣

中獲取市場(chǎng)對(duì)資產(chǎn)價(jià)格分布的信息和預(yù)期，從而為衍生證券尤其是那些交易不活潑的期

權(quán)定價(jià)。

5.當(dāng)股票價(jià)格與波動(dòng)率正相關(guān)時(shí)，隱含分石的左尾較小而右尾較大。當(dāng)股票價(jià)格上升時(shí)，

波動(dòng)率上升，較高的股票價(jià)格出現(xiàn)的概率變大(比波動(dòng)率為常數(shù)時(shí))，當(dāng)股價(jià)下跌，波

動(dòng)率下降，較低的價(jià)格出現(xiàn)的概率較小。因此，隱含波動(dòng)率將是股票價(jià)格的增函數(shù)。正

好呈現(xiàn)與圖7.3相反的形狀。

6.復(fù)合期權(quán)模型下，股票價(jià)格分布右尾較對(duì)數(shù)正態(tài)分布小而左尾較大。波動(dòng)率微笑就會(huì)呈

現(xiàn)如圖7.3的形狀。實(shí)值看漲期權(quán)和虛值看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率較高，而虛值看漲期權(quán)

和實(shí)值看跌期權(quán)的隱含波動(dòng)率較低。

7.隨機(jī)波動(dòng)率的一般模型為：

其中，我們可以再進(jìn)一步為q建模：

dq=adt+bdz3,

然后可以再為b建模，一直下去。從理論上說(shuō)，這樣當(dāng)然會(huì)越來(lái)越接近現(xiàn)實(shí)，精確度

更高。隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，只有精確度提高才能獲得更高的利潤(rùn)。但是這也同時(shí)要求更

高的計(jì)算能力，即使計(jì)算能力許可，還需要考慮本錢效益問(wèn)題。這需要在模型的拓展和現(xiàn)

實(shí)應(yīng)用方面作一定的權(quán)衡。

8.=20/1040=0.01923,cr；=0.000002+0.06x0.019232+0.92x0.012=0.0001342,因U匕

cr,（=0.01158。

9.不確定性參數(shù)模型的定價(jià)思想為：我們不再假設(shè)己經(jīng)知道參數(shù)的精確價(jià)值，而是假設(shè)我

們知道的這些參數(shù)位于某個(gè)特定的區(qū)間之內(nèi)（我們選擇的區(qū)間代表了我們對(duì)期權(quán)或期權(quán)

組合的參數(shù)值在有效期間上下限范圍的預(yù)測(cè)），之后考慮最悲觀的情況下我們的期權(quán)至

少值多少。這樣，只要我們的參數(shù)區(qū)間不被突破，就可以保證永遠(yuǎn)不會(huì)損失。

10.跳躍擴(kuò)散模型除了使用原先的連續(xù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)反映連續(xù)擴(kuò)散過(guò)程之外，還引入了泊松過(guò)

程來(lái)描述資產(chǎn)價(jià)格的跳躍，這時(shí)過(guò)程中包括兩個(gè)局部，一是確定的局部，二是每隔一段

時(shí)間常常會(huì)發(fā)生的非確定的跳躍。為了得到期權(quán)價(jià)值，Merton提出了一個(gè)重要的思想:

即如果資產(chǎn)價(jià)格變化過(guò)程中的跳躍成分與整個(gè)市場(chǎng)無(wú)關(guān)的話，就不應(yīng)該獲得期望收益。

盡管跳躍擴(kuò)散模型更接近現(xiàn)實(shí)，但是由于參數(shù)預(yù)測(cè)的困難、方程難以求解和完全保值的

不叮能性，使得它在現(xiàn)實(shí)中應(yīng)用不太廣泛。向崩盤模型的主要思想是：假設(shè)最糟糕的情

況確實(shí)發(fā)生，度量標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化可能導(dǎo)致的最大損失，之后使用數(shù)值方法中的二叉

樹模型，根據(jù)可能獲得的最低收益來(lái)為期權(quán)定價(jià)。從而彌補(bǔ)了價(jià)格出現(xiàn)極端運(yùn)動(dòng)時(shí)保值

失效的缺陷。這樣，除非我們非常不幸，最糟的情況確實(shí)發(fā)生了，否那么我們就可以獲

得更多的收益。同時(shí)崩盤模型沒有對(duì)崩盤發(fā)生的時(shí)間和規(guī)模分布作任何假設(shè)，減少了參

數(shù)預(yù)測(cè)的問(wèn)題，也沒有便用預(yù)期的概念。因而能夠更有效的考察巨幅變動(dòng)發(fā)生的情景。

11.一個(gè)深度虛值期權(quán)價(jià)值很低。波動(dòng)率的降低進(jìn)一步降低了它的價(jià)值。然而，這個(gè)下降程

度很小，因?yàn)槠跈?quán)價(jià)值不可能小于零。另一方面，波動(dòng)率的提高可能導(dǎo)致期權(quán)價(jià)值的大

幅（百分比）上升。因此，這樣的期權(quán)和基于波動(dòng)率的期權(quán)具有一些相同的性質(zhì)。

習(xí)題

1.如何理解二叉樹數(shù)值定價(jià)方法？

2.一個(gè)無(wú)紅利股票的美式看跌期權(quán)，有效期為3個(gè)月，目前股票價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格均為50

美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年10%,波動(dòng)率為每年30%,請(qǐng)按時(shí)間間隔為一個(gè)月來(lái)構(gòu)造二

叉樹模型，為期權(quán)定價(jià)。并應(yīng)用控制方差技術(shù)對(duì)這一估計(jì)進(jìn)行修正。

3.如何構(gòu)造有紅利情況下的二叉樹圖？

4.一個(gè)兩個(gè)月期基于某股票指數(shù)的美式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為500,目前指數(shù)為495,無(wú)

風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%,指數(shù)紅利率為每年4%,波動(dòng)率為每年25%。構(gòu)造一個(gè)四步（每

步為半個(gè)月）的二叉樹圖，為期權(quán)定價(jià)。

5.如何理解蒙特卡羅模擬方法？其主要優(yōu)缺點(diǎn)是什么？

6.假設(shè)無(wú)紅利股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，股票當(dāng)前價(jià)格為100美元，執(zhí)行價(jià)格為

105美元，波動(dòng)率為20%,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為5%,一年后到期。時(shí)間步長(zhǎng)選擇為().01,運(yùn)

用Excel軟件計(jì)算出股票價(jià)格的一條模擬路徑。

7.假設(shè)用蒙特卡羅模擬方法為一個(gè)波動(dòng)率是隨機(jī)的無(wú)紅利歐式看漲期權(quán)定價(jià)？這時(shí)如何

用控制方差法和對(duì)偶變量技術(shù)提高蒙特卡羅方法的效率？

8.有限差分方法的主要特點(diǎn)是什么？

9.一個(gè)無(wú)紅利股票的美式看漲期權(quán)還有四個(gè)月到期，執(zhí)行價(jià)為21美元，股票現(xiàn)價(jià)為20美

元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10%,波動(dòng)率為30%。運(yùn)用顯性有限差分法為該期權(quán)定價(jià)。股票價(jià)

格區(qū)間為4美元，時(shí)間區(qū)間為1個(gè)月。

10.有紅利的情況下，如何應(yīng)用有限差分法？

答案：

1.二叉樹圖模型的根本出發(fā)點(diǎn)在于：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)

成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬及產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。同時(shí)運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)中

性定價(jià)原理獲得每個(gè)結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值，從而為期權(quán)定價(jià)。其中，模型中的隱含概率〃是

風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率。當(dāng)二叉樹模型相繼兩步之間的時(shí)間長(zhǎng)度趨于零的時(shí)候，該模型

將會(huì)收斂到連續(xù)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型，即布萊克―舒爾斯定價(jià)偏微分方程。

看跌期權(quán)總

△tUdP1-P

0.08331.09050.91700.52660.47342.71

運(yùn)用二叉樹方法得到歐式看跌期權(quán)力為2.62美元，由布萊克-舒爾斯公式計(jì)算可得

4=2.38,因此美式看跌期權(quán)的更優(yōu)估計(jì)值為以=八+人-￡=2.47美元。

3.(1)連續(xù)紅利率的情形：

將風(fēng)險(xiǎn)中性概率修正為〃------色,其他條件不變，應(yīng)用倒推法為期權(quán)定價(jià)。

u-d

(2)紅利率5的情形：

只要調(diào)整除權(quán)日之后各結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格為：

其他條件不變。

(3)確定數(shù)額紅利的情形：

假設(shè)有效期內(nèi)只有一次紅利，除權(quán)日為把時(shí)刻證券價(jià)格S分為兩個(gè)局部：

一局部是不確定的S’,而另一局部是期權(quán)有效期內(nèi)所有未來(lái)紅利。的現(xiàn)值。用通常的

方法構(gòu)造出S'的二叉樹(其中使用的波動(dòng)率/為S*的標(biāo)準(zhǔn)差)，之后應(yīng)用

S+(zAr)=S(/A/)當(dāng)時(shí)

S"3)=S(N)-時(shí)

把S*的二叉樹圖轉(zhuǎn)化為S的二叉樹。

△tudP1-P期權(quán)價(jià)格

0.04171.05240.95020.51180.488219.66

5.蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，預(yù)測(cè)期權(quán)的平均回報(bào)，并由

此得到期權(quán)價(jià)格的一個(gè)概率解。蒙特卡羅模擬的主要優(yōu)點(diǎn)包括：易于應(yīng)用；適用廣泛，尤

其適用于復(fù)雜隨機(jī)過(guò)程和復(fù)雜終值的計(jì)算，如路徑依賴期權(quán)，多個(gè)標(biāo)的變量的期權(quán)等。同

時(shí)，在運(yùn)算過(guò)程中蒙特卡羅模擬還能給出估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差。蒙特卡羅模擬的缺點(diǎn)主要是：

只能為歐式期權(quán)定價(jià)，難以處理提前執(zhí)行的情形；為了到達(dá)一定的精確度，一般需要大量

的模擬運(yùn)算。

6.使用的公式為S（/+AT）=Sa）exp+注意從Excel軟件中可

以得到取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)的函數(shù)。

7.在波動(dòng)率是隨機(jī)的情況下，一次模擬過(guò)程需要兩組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，一組用于

模擬波動(dòng)率的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，一組那么用于在波動(dòng)率的條件下產(chǎn)生資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

當(dāng)使用控制方差法時(shí)，會(huì)表示波動(dòng)率隨機(jī)情況下進(jìn)行模擬得到的期權(quán)價(jià)值，會(huì)表示波

動(dòng)率為常數(shù)時(shí)運(yùn)用相同的隨機(jī)數(shù)流獲得的期權(quán)價(jià)格估訐，用啟代表波動(dòng)率為常數(shù)時(shí)的應(yīng)用

布萊克-舒爾斯公式得到的期權(quán)價(jià)值，期權(quán)的較優(yōu)估計(jì)值為：A=

當(dāng)使用對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，每個(gè)波動(dòng)率和資產(chǎn)價(jià)格還要分別采用兩組對(duì)稱的隨機(jī)數(shù)。用

｛乂｝和化｝來(lái)表示用于估計(jì)波動(dòng)率時(shí)的兩組隨機(jī)數(shù)，化｝中的每個(gè)數(shù)正好與｛匕｝中的每個(gè)

數(shù)關(guān)于零對(duì)稱，同樣關(guān)于零對(duì)稱的設(shè)｝和⑸｝那么表示估計(jì)股票價(jià)格時(shí)的隨機(jī)數(shù)。這樣需

要平行地進(jìn)行六次模擬：

模擬1：波動(dòng)率為常數(shù)條件下用｛SJ進(jìn)行；

模擬2：波動(dòng)率為常數(shù)條件下用｛S?｝進(jìn)行：

模擬3：用｛S｝和化｝進(jìn)行模擬；

模擬4：用設(shè)｝和｛匕｝進(jìn)行模擬;

模擬5：用⑸｝和化｝進(jìn)行模擬；

模擬5：用｛S?｝和｛%｝進(jìn)行模擬；

用上表示第i次模擬得到的價(jià)格，那么0.5（力+力）得到一個(gè)｛SJ條件下的期權(quán)價(jià)格，

。?5（兵十九）那么得到｛S2｝條件下的期權(quán)價(jià)格，總的期權(quán)價(jià)格估計(jì)為

0.5[0.5（八+6）+0.5（%+八）]。如果再結(jié)合控制方差技術(shù)，那么期權(quán)價(jià)格估計(jì)為

0.5[0.55+￡）-/；+/+0.55+.幻-人+/打。

8.有限差分方法和樹圖方法是相當(dāng)類似的。實(shí)際上很多人認(rèn)為樹圖方法就是解出一個(gè)

偏微分方程的一種數(shù)值方法，而有限差分方法其實(shí)是這個(gè)概念的一個(gè)擴(kuò)展和一般化。這兩

種方法都用離散的模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)，主要差異在于樹圖方法中包含了資產(chǎn)價(jià)

格的擴(kuò)散和波動(dòng)率情形，而有限差分方法中的格點(diǎn)那么是固定均勻的，相應(yīng)地參數(shù)進(jìn)行了

相應(yīng)的變化，以反映改變了的擴(kuò)散情形。其中三叉樹方法和顯性有限差分法就非常類似。

9.根據(jù)題意，r=0.10,Ar=