大一高數(shù)礎練習題

高等數(shù)學（理工類）

1.設y=/(x)的定乂域為(0,1],(p(x)=\-\nx9則復合函

數(shù)y=/[0(x)]的定乂域為；o<lnx<l,xw[l,e)

2.已知10+時，arctan3與，土是等價無窮小，則

COSX

?arctan3x3

a=；hm--------=—=1,。=3；

axa

3.函數(shù)y=邑,則dy=_______；

x6

-\r(2cos2x-sin2x)cbc；

X

4.函數(shù)y=Q的拐點為；

了="、0-2)=0,x=2,(2,2e")

7l_

5.設函數(shù)g)=皿"1當〃二時，/(幻在

a+x,x>—

2

處連續(xù)；1-^/2；

6.設>=y(x)是由方程4+孫—2=0所確定的隱函數(shù),則

7.函數(shù)/（加一?的跳躍間斷點是

1一萬

/(r)=o,/(i+)=i,%=i;

8,定積分J：(>/l-x2+sinx)dx=；2,Ji-fdx=兀!2

9.已知點空間三個點1),4221),5(2,1,2),則

_____________；萬/3；

10.已關口a=(2,3,1)b=(1,2,3),貝！］=(7,-5,1)

二、計算題(每小題6分，共42分)

1.求極限Hm則工」。

2°arcsin2x~2

limSim3sin2J"

2.求極限=6

.Dxy-_scinmxVKfO1-COSX

3.=,sinx,,o—=ex(2xsinx+cosx)

dxdx

4、設卜/帥求生以及學。

y=arctantdxdx-

1

解x=jn(l+/)，孚=過」，

2dxitdx2t3

1+產

5.計算不定積分伊等公

施隼JIn(lnx)dInx=Inxln(lnx)-j^-dx=Inx(ln(lnx)-1)+C

X

6、計算不定積分

sx

[-2dx=f——§=-J=[----；----J>/3tanx=^=a二——-+(C

"xcJ3~x-KV3J3tan~x+42V32

7計算定積分

|1-^y］(x-4)2dx=J；(1一x)(4-x)dx-J：(1-x)(4-x)dx

=-5x+^)dx-^{jc-5x+4)公=--—+4-(-^-)|2-4=3

?。?332

三、證明題(每小題8分，共16分)

1、設/(%)在區(qū)間［0,3］上連續(xù)，在區(qū)間(0,3)內可導，

且/(0)+/(1)+/(2)=3,/(3)=1,試證必存在六(0,3)使

/M)=0o

證明因為/(x)在［0,3］上連續(xù),所以/*)在［0,2］上連續(xù),

且在［0,2］上有最大值M和最小值機。于是

m</(0)<M,zn</(l)<M,m</(2)<M,

所以,"“(0)+?)+/(2)4M,由介值定理知至少存在

CG［0,2］,使/(C)=1o

因為/(c)=7(3)=1，且/(%)在fc,3］上連續(xù)，在(c,3)內可導,

由羅爾定理存在Je(c,3)u(0,3),使尸(J)=0o

2、證明不等式：當x>o時，l+x\n(x+\jl+x2)>\Jl+x2o

證明f(x)=1+xln(x+Jl+1」)-Jl+x2,

f\x)=ln(x+A/1+x2)>0,x>0

/(x)>/(0)=05貝！］當x>0時，l+xln(x+Jl+f)>J］+d

四、應用題(第1小題10分，第2小題12分)

1.要建造一個體積為展50川的圓柱形封?閉?的容

器，問怎樣選擇它的底半徑和高，使所用的材

料最省？

解設圓柱體的半徑為「，高屋當，表面積為

7ir

2.求曲線xy=a{a>0）直線”〃，行加及x軸所圍成

的圖形繞y軸旋轉一周所得到的旋轉體體積。

解V?=J2a兀a[°dx=ITVCT

《高等數(shù)學》（理工）

一、選擇題（每空3分，共15分）

1、下列變量在給定的變化過程中為無窮小量的

是()；。；

x

A、2~-l(x^+oo)；B、咄(xf0)

x

22

xx

C、.3(x-8)；D>-—(—0)。

yjx-2x+l%+l

2、設函數(shù)/)=尸a在.2處連續(xù)，則”

1x<2

()；A；

A、-；B>0；C>-；D>1、

、42

3、設/(X)在他，切上可導，且八幻>0.若①(%)=］；/⑺力，則

下列說法正確的是()；C；

A、中(x)在向上單調減少；B、①(x)在［〃向上單調增

加；

C>①(%)在［a,句上為凹函數(shù)；D、C%)在江團上為凸函

數(shù)。

4、下列不定積分計算正確的是()；D；

23

A>fxdx=x+cjB、J［-^-dx=—+c；

Jxx

C>jsinAzZ￥=cosx+c；D>jcosAzZx=sinx+co

5、設/(力在.上連續(xù),則下列論斷不正確的

是()OA；

A、J：f(x心是f(x)的一個原函數(shù)；.B、［"⑺力在(”向內

是小)的一個原函數(shù).；

C、J：在(a,力內是-f(x)的一個原函數(shù)；D、f(x)在

（a向上可積。

二、填空題（每空3分，共15分）

6、若limf（?=2,貝!]lim心+i_7x2-l）/（x）=；

X—X?x—>00

21im.~7-----=0；

X^y/x2+l+y/x2-l

7、曲線y=GT在點（瘋2）的切線方程為：

；y-2=^-（x-y/3）；

8、曲線y=sinx在（0,2冗）內的拐點為;（乃,e）；

9、當.滿足條件時，反常積分『當收

A

斂；

10、微分方程（r）4+（y）3+2y-x=i的階數(shù)是

_________________■2；

三、計算題（共45分）

11、求下列函數(shù)極限（每題6分，共12分）：

⑴lim正壬1」

a。sin3x6

fX0；…2i

f/八9\\Josinrdt..sinx1

\L）vlim---------=hm-----=-

1。x3I。3x23

12、求下列函數(shù)導數(shù)（每題6分，共12分）:

⑴設函數(shù)），=jd+-L+ln5,求V；

A+1

解V=+xsec2幻——1_

（%+1）

（2）設函數(shù)y=/（x）由方程2G+17-3=0所確定，求

(5,1),

解了+工9將代入得4=|

y/x-yy551J）

13、求下列函數(shù)積分（每題7分，共21分）:

（1）[Xdx=^l-x2+C

JJl-x2

(2)^xXnxdx=\nxdx2=^(x2lnx|:-JJxtZr)=^-(e2-6b=；(/+i)

(3)(yll-X2+XCOS5x-\-x)dx=2|^VT-Txa,x--九

2

四、證明題（每小題8分，共16分）

14、證明：設>

1+X%0

證明設/(=X)+(X+1

/(x)=(14-Inx)+1---二>0

1+x

17111，/、、，/八、八,/八arctanx、八

火ij/(x)>/(0)=0,ln(x+l)>—----x>0

1+x

15、設y（x）在［o,i］上連續(xù)，在（o,i）上可導,且/（i）=o,

求證在（o,i）內至少存在一點g,使得3/c）+“4）=（成

立.

證.明設F（x）=x3/（x）在［0,1］上連續(xù),在（0,1）上可導，且

P（0）=F（I）=O,y由羅爾中值定理得

/（鄉(xiāng)=3"/《）+3廣4）=0,即有3〃鄉(xiāng)+“（1）=0

五、應用題（共9分）

16、求曲線y'x與過該曲線上的點（4,2）的切線及y

軸所圍成的圖形的面積S.

解2y/=l,y］（4,2）=；，切線萬程y-2=；（x-4）,y=；x+l

S=6-［y/xdx=6-—x2

Jo303

高等數(shù)學(上)

一、單項選擇題(本題共20分，每小題2分)

1、函數(shù)y」ln(2+x)的定義域為()；D；

x

A、…且xw-2；B、Bx>0；C、x>-2；D、x>-2且

XHOO

2、limxsin—=()；C；

KBx

A、8；B、不存在；C>1；D、0o

3、按給定的x的變化趨勢，下列函數(shù)為無窮小

量的是()；A；

A、-/-(X—>+<x))；B、fid-—1(尢->8)；

J--X+1kX)

C、l-2~x(x->0)；D、—(x.0)；

sinx

4、設f(x)=?e5x<°要使/(x)在x=0處連續(xù)，則a=()；

a+x.x>0

B；

A>2；B、1；C>0；D一1

5、設函數(shù)f(x)在(a,b)內恒有f\x)>OL(,則曲線

y=/(x)在(a,力內()A；A、單調上升，向上凸；B、

單調下降，向上凸；

C、單調上升，向上凹；“單調下降，向上凹。

6、設/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)優(yōu)-4),則方程八x)=O在實數(shù)范圍

內根的個數(shù)是()；B；

A、4；3、3；c、2；。、1。

7、設，貝廿法()；B；

x2-4x+5,x<2

/一2)=

產"，x>2

8、設函數(shù)小)在向上是連續(xù)的，下列等式中正

確的是();C;

f{x}dx)f=/(x)；(J/(xW=/(x)+C；

C、(f=/(x)；D；\ff(x)dx=f(x)o

9、當〃-00時，sir?n1與4n為等價無窮小，貝!h二()；

C；

A、-；B、1；C、2；D；-2。

10、已知/（o）=l,41）=2,/⑴=3,則%〃刎=。B；

A、1；B、2；C>3；D>4o

二、填空題（本題共10分，每空2分）

1、設〃x）=J:等<*,（0<°<幻,則r店）=°苧；

2、極限lim⑵DO:"4I]；4;

3、設丫=…嗚，則g|,=o=。-i;

2ax

x,x<1

4、函數(shù)/（x）=?x-l,14x<2的不連續(xù)點為。x=l

3-x,x>2

5、設/（口=尤，則r（x）=o-4

\xJx

三、計算題

1.（8lim（3x--12x+l）=lim-------1==2

…'>…3%+回”12%+1

2、（7分）lim上0Jim%=2

x->°xsinx2a。x

dxcostdy_eycost

3、（7分）設卜”，嗎?-=----9

[y-esin/=1atsintdt1-eysint

dy_eysint

dx1-eysint

4、（8分）設y=（sin工產，求*o

解設1尸exO：,兩邊同時求導得

—=(sinx)8sx(一smxlnsinx+COSX)

dxsin尤

5、（7分）f-^cos-dr=-fcos-J-=-sin-+C

JrxJXXX

n￡乃兄

6、（7分）Px2cosxcbc=|2x2Jsinx=x2sinxJ-2jJxsinAzZr

JoJ0

」1冗_2n_2

71_fTF兀_fTF7C_

=——+22AZZcosx=----2-cosAm:=----2

4Jo4Jo4

i

7、（8分）■(^令~x=3secr,-9=3tanr,公=3secftanf力,

xvx2-9

COSZ=-39

X

f—.*dx=-+C=-arccos—+C

JxyJx2-933X

四、綜合題

1、（9分）求由曲線y=",y=e,x=0所圍平面圖形繞x

軸旋轉的旋轉體的體積。

V=4/一4j：e2vdr=萬/-l）=-^（e2+1）

2、（9分）證明方程八X=C°SX只有一個正根.

證明設函數(shù)f（t）=z3+r-cosr在￡￡[0,幻，x>0連續(xù)，

/(0)=-1<0,

令f(t)=3產+1+sinC0,f(t)為單調遞增函數(shù),

3

又lim/(x)=lim(x+x-cosx)=+oo9由零點定理可知f(t)在

Xf+00X->-KX)

f(t)只存在一點在(e[0,x],使在"4)=0,則方程

x3+x=cos/只有一'個正根o

理工《高等數(shù)學》

一、填空題（本題共15分，每小題3分）

1.函數(shù)4）=——的連續(xù)區(qū)間是（-）（―U）（1.也）

X-1

2.若lim-^—-ax+b=0,a9h均為常數(shù)，貝I〃=,b=

r(%?八(l-a)x2-(a-b)x+b八一1.

lim--------ax-\-b=lrim-----------------------------=0,a=l,b=l；

x->g(x+lJxtbx+\

3.設函數(shù)y=/(x)由萬程孫+21nx=y4所確定，則曲線

y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是

2

y+母，+二=4)、，,y'=19y=x

x(L1)

?2

4y=In(Inx)-sec(2x)5則y'=?---------4sec2^tanx

-xlnx

5.設在…可導，貝ij11m但上/@

10x

二.求下列各題極限(共28分)

1Vl+x-V1-x12x1

i.rlim-------------------=—lvim—=I

x->oex—I2—0x

―112?*mx+cosx-I

O—-lim---------------------)

乙.lim(2sinx+cosx)r=lim[l4-(2sinx+cosx-l)]v=尸°*=e

XTOxf0

..tanx-sinx-tanx(l-cosx)3

3.lim------1-----=lim--------------------=—

^^?(Vl+sin^-l)a。x.lx22

3

4.--------=lim^——=-

〃T8(3)W+1+4向”T83(3)"+44

4

三.計算題(共32分)

5.設y=xarctan3x求），,?.

/=arctan3K++3-kR_

l+9x2l+9x2(l+9x2)2=(1+9/>

smxf

6.設1y=x-arcsin(Inx)9求^y.

yf=xs,nA[(sinxInx)rarcsinx+—.]

Xyji-(\nx)2

sinxr/isinx.1i

=x[(cosxInx+-----)arcsinx+—,：]

xXyji-Onx)2

7.求由參數(shù)方程上=皿"")所確定的函數(shù)的導數(shù)

[v=r-arctanr

dyd2y

dx'dx2

辦=1-1+，J?，),二(5)i+產

dx2t2'dx22i4/

1+r21+r2

8.設函數(shù)y=y(x)是由方程x-y+」siny=。確定的求電，學.

2dxdx~

解萬程兩邊同時求導得1-y+；cosyy=0)/=—,

22-cosy

〃-2sinyy'4siny

y=--------:=--------:——

(2-cosy)2(2-cosy)3

四.綜合題(共27分)

9.求常數(shù)“力的值，使函數(shù)作)=心：<在.0處

ln(l+x)x>0

一階可導.

lim/(x)=lim(ax+b)=b=/(0)9lim/(x)=limln(l+x)=0,0=0；

x^0-x->0-x->0+XT。'

、rax,ln(l+x)I.

f_(x)=lim—=a9f+(x)=lim----------=1,a=lo

XT。-XA—>0~~X

10.求函數(shù)的所有間斷點，并指出其

x-3x+2

類型.

\x-2\

fM=1,hm/(x)=oo,hm/(x)=-l,hmf(x)=1

(x-2)(x-l)7I

1L設小）=而士學』為連續(xù)函數(shù)，求“力

…X4-1

一、填空題（每空3分，共15分）

1、已知/（X）的定義域是［0』,則函數(shù)/（inx）的定義

域為;口刈;

2、設/（幻連續(xù)可導，則Jf（2x）dx=；gf（2x）+c；

3、積分/,=\\nxdx與I2=\\\n-xdx的大小關系是

___________;>I2;

4、設曲線"加+加以點（1,3）為拐點則數(shù)組3與=.；

39

?2）；

解/"(x)=6ax+2匕/⑴=6a+2Z?=0fa=~^b

又a+A=3na,力=2時(⑶為曲線/(%)=?+/2的

點

1

貝7-

-8

8-

二、選擇題(每空3分，共15分)

1、曲線“+”=1在(0,0)點的切線斜率是()；D；

A、1；B、e''；C>0；D、-1o

2、設八?=2，+3—2,則當x-0時，有()；B；

A、/(x)與x是等價無窮??；B>/(%)與x是同階但

非等價無窮小；

C、f(x)是比x高階的無窮小;。、/(x)是比x低階

無窮小。

3、設函數(shù)個)在[a句上具有連續(xù)的導函數(shù)，且

廠產㈤公=1,f(a)=/?=0,則r?(x)/'(x)公=()；A；

JaJa

A、—；B、—；C>0；D、1o

22

4、下列積分發(fā)散的有()；A；

r+ooInYe+?1r1nxr+?

A、f—dx；B>[—^dx；C、.f.；D>[e-xdxo

JixJo1+x2JoJ]_爐Jo

%4

5、設f\x)=cosX,P(x)=1-能使極限式

lim八幻一.）=0成立,貝U正整數(shù)〃的最大值是（）。Co

Z%"

A.〃=6；B、〃=4；C、〃=5；D〃=3；

三、計算下列各題（共52分）

1、（7分）已知求y的導數(shù)。

八兼唱用T罪唱?…（二廣

C/r八、「sinyftdt

2、(7分)計算極限limy一公--------

J2(l+cos")ln(l+?)力

rs_ix2xsinx「sinx..1

原式=lvim---------------------=-lim---------lim--------

Mio,-2x(1+cosx)ln(l+x)x->o+ln(l4-x).—。+1+cosx

3、（7分）已知參數(shù)方程：…『叫（?氏皿）,

y=tz（l-cosr）

求所確定的函數(shù)尸y（x）的二階導數(shù)。

立

5力

^而asintsinr/

—=、

---------=-------\tH2n冗,neZ)

一afl-cost)1-cos/

力

?(l-cos/)2

4、(7分)已知?管)“'(…帚,求警

解:令3x-2

5x4-2

則)』“了⑷=3(5,2；第-2),史"4arctan1=,

5、(8分)計算不定積分心心.了公.

解：f(arcsinx)2dx—x(arcsinx)2-2(，：心山入公

JJ7i-x2

=x(arcsinx)2+2jarcsinxd(\/l-x2)~x(arcsinx)2+2y11-x2arcsinx-2^dx

=x(arcsinx)2+271—x2arcsinx-2x+c.

6、(8分)計算定積分J：&.

解：令G=t則x=t\dx=2tdt,且當x=l時,t=l當x=4時t=2

4

午旦rdxr22tdtr219

=2j((1-—)6/r=2[r-ln(l+z)]2=2-ln-

7、求由曲線y=l+sinx與直線y=O,x=O,x=^圍成的曲邊

梯形繞X軸旋轉所成的旋轉體的體積.(8分)

V="Jo(l+sinx)26ir(l+2sinx+sin2x)dx

sin2x3,

=，^-2cosx=—7T+44

24o2

四、證明題(每小題9分，共18分)

1、(9分)當0<、<工時，sinx+tanx>2x.

2

證：令/(X)=sinx+tanx-2x,/z(x)=cosx+sec2x-2>cos2x+sec2x-2

=(cosx-secx)2>0,當0<x<工時，f(x)在(0,當內單調增力口.

而

f(x)>f(0)=0xe(0-)即當0<%<工時，sinx+tanx>2x

i22

2、(9分)設函數(shù)/'(X)和g(x)在［a,司上存在二階導數(shù),

且g"(x)H0,

/(a)=fib)=g(a)=g(b)=0,證明⑴在((3,b)內g(x)#0；(2)

在(a,b)內至少存在一點g,使嚕=4螺.

g?s(幼

證：(1)反證法.設(a,6)內存在一點匹使g(%)=0,

則在［a,%］上有g(a)=g(￥)=C,由羅爾定理知在(a,xj內

至少存在一點4，使/d)=0,同理在舊㈤內也至少

存在一點統(tǒng)使婷C)=o，則gG)=g，($)=o,?.?由羅爾定

理，在《4)內至少存在一點&使g"?)=o,這與

g"(x)R。矛盾,故在(a,b)內g(x)*0o

(2)令F(x)=f(x)g'(x)-g(x)/(x)

由題設條件可知，F(xiàn)3在用上連續(xù)，在3與內可

導，且尸(a)=尸(力=0,由羅爾定理可知，存在＜e(a,b)使

得尸⑷=0,即〃9g〃⑶--⑷g(9=o,

由于g⑷H0,g〃⑶H。，故得=需。

一、填空題(每空3分，共24分)

1、要使小)=卜+5m/＜：在…處連續(xù)，則

a+x+x,x＞0

〃=；5；

2、設/(X)的一個原函數(shù)為x3-x,則

J/(sxjcn(xs/=______________________；sin3x-sinx+C\

g、設y=32?'~貝'd?=______；41n3.32r2xdx；

4、函數(shù)/(x)=x-sinx是sin尤3當工-0時的同階無窮小

量。(填等價，同階或高階)。

5、=；0；

"(1+X2)2--------------------

6、若lim”+—+4=4,貝＞]〃=,b=；3,6

x"X+1

7、函數(shù)尸4的單調增加區(qū)間為____________

inx

?+8）

、求極限（每小題5分，共10分）。

1、(5分)］河」--，］=小三13=扁七駕母」

Iln(l+x)xJ)xln(l+x)*-＞。x2

,3

AL3

2、（5分）liin-----------------=lim—X2—=12

*「(-sin/)"J。'Mx-sin尤)

三、求導數(shù)（每小題6分，共18分）。

1、（6分）求由方程孫+lnx+lny=l所確定的隱函數(shù)

尸.的一階導數(shù)多和會。

axax

解：方程兩邊同時對X求導，得y+W+LX=o,整

%y

理得V=”,

Xdx1x2

x=f+2+sint

2、（6分）設函數(shù)y=y（x）的參數(shù)方程為

y=t+cost

求？，

axdx2

(1-sinr^

解：布=-J-sin/d2y_1k1+cosr)_-cosr

13

dxx't1+cosrdx1+cosr(1