2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式31-40-專項訓(xùn)練【含答案】

（六）單調(diào)與值域綜合問題【例1】已知函數(shù)，若，，則（）A.B.C.D.與的大小不能確定【答案】B【解析】因為，所以，.而的對稱軸為,故知，即離對稱軸的距離大于離對稱軸的距離，從而有，故選B．【例2】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的最大值為．【答案】【解析】由得得，則，故的最大值為.【例3】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由得，單調(diào)遞增，則，即恒成立，則，得．故選．【例4】已知函數(shù)，．設(shè)，，（表示，中的較大值，表示，中的較小值）記的最小值為，的最大值為，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解出交點，即兩個頂點處取得最值，如圖：令，得，即解得，，則，由題意知的最小值是，的最大值為.故故選.【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，則稱為上的“調(diào)函數(shù)”．如果定義域是的函數(shù)為上的“調(diào)函數(shù)”，那么實數(shù)的取值范圍是．【例5】已知函數(shù)的圖象過點，是否存在常數(shù)使不等式對一切實數(shù)都成立？【解析】令得，所以，由得，，，即，，，則，與聯(lián)立得.【變式訓(xùn)練】已知二次函數(shù)滿足條件：（1）當(dāng)時，，且；（2）當(dāng)時，；（3）在上的最小值為．求最大的，使得存在，只要，就有.【例6】設(shè)函數(shù)的定義域為，若所有點構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則的值為（）A.B.C.D.不能確定【答案】B【解析】，，，解得（舍去）或，故選.【例7】已知二次函數(shù)，記，若數(shù)列的前項和單調(diào)遞增，則下列不等式總成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，即，由對稱軸的橫坐標(biāo)小于得．故選．【例8】已知函數(shù)，，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分類討論即可：或（時的圖象開口向下，不可能），以下略．【例9】設(shè)函數(shù)，，其中，若對任意，和至少有一個為非負(fù)值，則實數(shù)的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，所以當(dāng)，即時，而因為，所以恒成立，即恒成立，故．結(jié)合選項可知，A正確，故選A．【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)，已知不論為何實數(shù)，恒有，.（1）求的值；（2）求實數(shù)的取值范圍；（3）規(guī)定：對于區(qū)間，若最小時，稱區(qū)間最小，求函數(shù)在的值域區(qū)間最小時的解析式．【拓展提升】設(shè)函數(shù)，點和點都在的圖象上，且，設(shè)，求的取值范圍．【例10】已知.（1）若，，試確定兩點，使的圖象永遠不過這兩點；（2）若，函數(shù)在上至少有一個零點，求的最小值．【解析】（1），由得定點，．只要在圖形，上任取兩點，都能滿足要求．（2）由題意知在上有解．改變主元，把看成平面內(nèi)的動點，的最小值即為原點到直線的距離的平方的最小值．，令，，求其最小值即可.令，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以的最小值為．【例11】已知函數(shù)，．若在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是.（填序號）；；有最小值．【答案】【解析】圖象可上下平移，故不定；所以結(jié)論不對；因為，所以條件即在時恒成立，于是得到結(jié)論錯誤，結(jié)論正確．判斷結(jié)論有以下思路：思路1：，，利用線性規(guī)劃即得．記，考慮拋物線，如圖中情形，取到最小值.思路2：令，，注意到，而，再利用即得．也即當(dāng)恰好為的兩個零點時，有最小值.思路3：注意到的開口大小固定（因為前系數(shù)固定），而的最小值為，所以結(jié)論等價于“的最小值有最大值”，這顯然是對的，當(dāng)是的兩個零點時，位置達到最高（不能再往軸正方向平移)，此時的最小值取到最大值．二、對稱與對偶【例1】已知函數(shù)，，，求的值．【解析】由于，故關(guān)于對稱軸對稱，而與也關(guān)于對稱軸對稱，所以．【例2】已知函數(shù)，是方程的兩根，且，則的大小順序是什么？【解析】結(jié)合圖象（圖略）分析即得．【例3】已知函數(shù)，若，求的取值范圍．【解析】，，，解得.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是.【例4】，若，則實數(shù)取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意知在上是增函數(shù)，則，解得，故選C．【引申1】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【引申2】已知函數(shù)，若，則的取值范圍是.【答案】【拓展提升】已知函數(shù)，則使成立的的取值范圍為.【例5】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)，關(guān)于的方程的解集都不可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由于的圖象關(guān)于直線對稱，故的根必具有對稱性，如：或，則四個根必關(guān)于直線對稱．故選．也可令，用兩個圖象分析．【變式訓(xùn)練】已知定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)有8個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是.【例6】設(shè)二次函數(shù)，存在實數(shù)，使得．對任何，總有.求證：關(guān)于直線對稱；求證：當(dāng)時，.【解析】（1）函數(shù)滿足條件，令，得，即拋物線關(guān)于直線對稱，即，.（2）由（1）得，方程的兩個根為因為，所以由于，，所以.因為在上遞增，所以.又因為所以.【變式訓(xùn)練】已知，，且方程有實根，若是方程的根，判斷的符號并證明．【例7】已知二次函數(shù)圖象上有兩點，，且滿足，.（1）求證：；（2）能否保證中至少有一個為正數(shù)？證明你的結(jié)論．【解析】即，得或即或是方程的一個實根，故有.因為，所以且，所以，，所以，即，也就是，得.(2)能保證，證明如下：由，知的兩根為1和又由，，，，得，而，不妨設(shè)，如圖，所以，則因為在上單調(diào)遞增，所以.【例8】已知二次函數(shù).（1）對于，且，，求證：方程有不等的兩個實根，且必有一個實根在上；（2）若方程在上的根為，且成等差數(shù)列，設(shè)是的對稱軸方程，求證：.【解析】（1）令，則有從而所以方程有兩個不等實根，且必有一個實根在上．（2）當(dāng)時，由，得.當(dāng)時，易得，所以.綜上，得證．【例9】已知函數(shù)（且）．（1）若，試求的解析式；（2）令，若，又的圖象在軸上截得的弦長為，且，試確定的符號.【解析】（1）由，，得，并且不能同時等于1或，所以所有可能的解析式為：或或或或或.由于，所以或.由得，由得，所以，所以.【例10】設(shè)為實數(shù)，函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）求的最小值；（3）設(shè)函數(shù)，直接寫出（不需給出演算步驟）不等式的解集．【解析】（1）若，則，即得.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述，.（3）當(dāng)時，，即，由得此時有由得或，此時.從而可得不等式的解集為：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.【拓展提升】設(shè)函數(shù).已知對于任意的，若滿足，，則，求正實數(shù)的最大值.三、零點式威力二次函數(shù)常見四種形式:1.標(biāo)準(zhǔn)式（定義式）：；2.頂點式：，頂點為；3.零點式：；4.三點式：.每種形式在一定的場合下都有其特定的作用，解題時如果抓住題設(shè)特征，選用相應(yīng)的二次函數(shù)形式，其威力將遠勝于其他幾種形式.如遇到與零點分布有關(guān)的問題時，零點式的威力往往不可小視．若二次函數(shù)有兩個零點，則一定可表示為零點式：.通過下面幾例你將看到它有多么強大的威力.【例1】設(shè)函數(shù)，方程的兩個根滿足.（