2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式41-50-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

變式訓(xùn)練設(shè)函數(shù)方程的兩個(gè)實(shí)根滿足則（）A.B.C.D.【評(píng)注】本題可能以另一形式出現(xiàn)：設(shè)函數(shù)，若導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí).【例2】設(shè)函數(shù)方程的兩個(gè)根滿足若函數(shù)的最小值是，求證【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，要證明，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，即證明恒成立，由知，又恒成立，所以恒成立，即當(dāng)時(shí)綜上，成立.【例3】設(shè)函數(shù),.（1）若求集合;（2）若試討論集合中元素的個(gè)數(shù).【解析】由得所以,即，得,由，得或，.的兩根，由上題結(jié)論知分別有兩解，故中共有4個(gè)元素.【例4】設(shè)均為常數(shù)為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,滿足（1）求證：；（2）若，試比較與的大小.【解析】(1)因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,滿足,所以，所以.(2)因?yàn)?所以,所以因?yàn)?，所以所?所以.【例5】設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),且.（1）用表示，求出的取值范圍,并證明；（2）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)且時(shí)，.【解析】（1）因?yàn)?，所?因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)實(shí)根,因?yàn)?，所?所以所以，所以，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?，則,由，得，由，得,所以，即.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)實(shí)根,所以,【例6】設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).(1)若，求的取值范圍；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：.【解析】（1）（2）因?yàn)?所以由,得,所以式，即.【例7】已知方程的兩個(gè)根為(1)若，求證：;(2)若，求證：存在整數(shù)，使.【解析】（1）因?yàn)?，所?所以.（2）故只要取,即有.【例8】已知二次函數(shù)方程有兩個(gè)小于1的不等正根，求的最小值.【解析】解法1：由于方程有兩個(gè)小于1的不等正根,故設(shè),又，所以由于，所以?xún)纱畏趴s等號(hào)不能同時(shí)取到，所以又故解法2：極端原理法要讓拋物線開(kāi)口盡可能大，則盡可能小，拋物線頂點(diǎn)往上抬高到與軸相切，此時(shí)，有故，【例9】設(shè)，若（1）求證：方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；（2）若都為正整數(shù)，求的最小值.【解析】（1）①，②，③，由①③得：，即④.由②③得：，即⑤.由①⑤得：⑥.因?yàn)閹擘诘?，所以，所以由⑤?因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸,又且所以方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)是的兩根.則有.又,且,,所以,又為正整數(shù)，所以，所以，若取，早上面⑥式得.因?yàn)闉檎麛?shù),所以,的兩根都在區(qū)間內(nèi)，故的最小估為6.【例10】已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.【解析】解法1：線性規(guī)劃法.因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值.點(diǎn).所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，即目標(biāo)函數(shù)為，畫(huà)出可行域，如圖所示，在點(diǎn)處達(dá)最大值，，在點(diǎn)處達(dá)最小值，.從而有.解法2:用零點(diǎn)式，將簡(jiǎn)捷很多.因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)極值點(diǎn).所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根設(shè)為.則.而.又.所以從而.所以.變式訓(xùn)練若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的范圍.【例11】已知恒成立，求的最小值【解析】由得即恒成立,或恒成立，古式得①+②得；由式得③+④得.所以的最小值為1.【例12】已知函數(shù)與軸相切于處，且極小值為，則____________.【解析】解法1：由題設(shè)知有兩個(gè)實(shí)根，一根為，設(shè)另一根為，則街,所以由于函數(shù)的兩個(gè)極值為所以即解得從而.解法2：用零點(diǎn)式，將簡(jiǎn)捷許多由圖象分析，知極值點(diǎn)是的重根，則設(shè)的另一根為,則所以.【例13】設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足（1）求證：也是方程的兩個(gè)根；（2）若是方程的另兩個(gè)根,且,試按大小排列四個(gè)根的順序?！窘馕觥浚?）,所以也是方程的兩個(gè)根.（2）令，則是方程的兩個(gè)根.由于,，所以.【例14】已知函數(shù)和其中且若和是方程的兩根，且滿足，求證：當(dāng)時(shí)，【解析】由題意可知,因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，，即,又，所以，即,綜上可得，【例15】已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，則的值等于A.0 B.1 C. D.25【答案】【解析】由已知三點(diǎn)的特征將的圖象下移，則必有零點(diǎn)2,3,4.設(shè)所以,所以,故選【解析】當(dāng)時(shí),取，取,所以方程在區(qū)間上有一個(gè)解.考慮函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上，不存在使的實(shí)數(shù)；對(duì)于集合中的任一個(gè)元素，假設(shè)其為，當(dāng)時(shí)，取，??；又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以方程在區(qū)間上各有一個(gè)解依次記這3個(gè)解為,從而不等式的解集是，故得所有區(qū)間長(zhǎng)度的總和為①對(duì)進(jìn)行通分處理，分子記為，若將展開(kāi)，其最高項(xiàng)系敕為一1，的項(xiàng)系教為.設(shè)②對(duì)比②中的項(xiàng)系數(shù)，由韋達(dá)定理得可得【例17】定義函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)，并求不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和.【解析】對(duì)于集合中的任一個(gè)，當(dāng)時(shí)，取，?。挥忠?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,所以方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)解;依次記這個(gè)解為從而不等式的解集是，故得所有區(qū)間長(zhǎng)度的總和①對(duì)進(jìn)行通分處理,分子記為,若將展開(kāi),其最高次項(xiàng)系數(shù)為一1，的項(xiàng)系數(shù)為設(shè)②又有③對(duì)比②③中的項(xiàng)系數(shù)，由韋達(dá)定理得，可得所以不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和為.變式訓(xùn)練已知函數(shù)求證：不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和是定值.【例18】已知數(shù)列定義函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn),并求不等式解集區(qū)間的長(zhǎng)度總和.【解析】對(duì)于集合中的任一個(gè)元素,設(shè)為，當(dāng)時(shí)，取取又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以方程在區(qū)間上各有一個(gè)解;依次記這個(gè)解為從而不等式的解集是故得所有區(qū)間長(zhǎng)度的邊①對(duì)進(jìn)行通分處理,分子記為,…