2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與不等式231-240-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

故在(-1,0)上存在唯一零,點(diǎn).故選B.【例3】已知函數(shù)設(shè)且函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間上,則的最小值為.【答案】9.【解析】當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，故在(1,2)上存在唯一的零點(diǎn)在(4,5)上存在唯一零點(diǎn).由例2知的唯一零點(diǎn)在(-1,0)上,則在(-4,-3)上存在唯一零點(diǎn),由,得故的最小值為9.已知函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(九)分式函數(shù)型零點(diǎn)【例1】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A.0 B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】A【解析】故即無(wú)零點(diǎn),故選【例2】設(shè)均為正數(shù),則函數(shù)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間( )A.)和內(nèi)B.和內(nèi)C.和內(nèi)D.和內(nèi)【答案】B【解析】設(shè)則則函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間和內(nèi).故選.【例3】已知函數(shù)為實(shí)常數(shù)且(1)當(dāng)時(shí),設(shè)判斷函數(shù)的奇偶性,并說(shuō)明理由;求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；(2)設(shè)集合，若求的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)樗?$因?yàn)?又因?yàn)榈亩x域?yàn)榍宜允桥己瘮?shù).設(shè)且因?yàn)榍宜?，綜上得即,所以,函數(shù)在上是增函數(shù).(2)因?yàn)樗院瘮?shù)與的圖象無(wú)公共點(diǎn),即方程無(wú)實(shí)數(shù)解，也即方程且無(wú)實(shí)數(shù)解.(1)當(dāng)時(shí)（*）式無(wú)解，顯然符合題意;(2)當(dāng)時(shí),令變形得.又令得.于是當(dāng)即時(shí),有.所以,要使式無(wú)實(shí)數(shù)解,只要解得.綜上可得.拓展提升已知函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn)則的取值范圍是.（十）根式函數(shù)型零點(diǎn)【例1】若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是( )A.B.C.(0,1)D.(0,1)【答案】D【解析】令得,令則表示半徑為,圓心在原點(diǎn)的圓的上半部分表示以為轉(zhuǎn)折點(diǎn)的折線,在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出它們的圖象,如圖.根據(jù)圖象知，由于兩曲線沒(méi)有公共點(diǎn),故圓心到折線的距離小于1，或者圓心到折線的距離大于，故的取值范圍為，故選D.【例2】設(shè)函數(shù),若其定義域內(nèi)不存在實(shí)數(shù),使得則的取值范圍是.【答案】【解析】若定義域內(nèi)不存在實(shí)數(shù)，使得則恒成立，則當(dāng)漸近線即時(shí)滿足要求.綜上得變式訓(xùn)練若函數(shù)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

二、分段函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【例1】已知若存在實(shí)數(shù)使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是.【答案】【解析】分析題意可知,問(wèn)題等價(jià)于方程與方程的根的個(gè)數(shù)和為2，若兩個(gè)方程各有一個(gè)根,則可知關(guān)于的不等式組有解，從而;若方程無(wú)解,方程有2個(gè)根,則可知關(guān)于的不等式組有解,從而;綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是【評(píng)注】本題考查：（1）函數(shù)與方程；（2）分類討論的數(shù)學(xué)思想。變式訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)若則關(guān)于的方程解的個(gè)數(shù)為( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【例2】設(shè)函數(shù)(1)若則的最小值為;(2)若恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】 (2)或【解析】時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí)取得最小值為1;(2)eq\o\ac(○,1)若函數(shù)在時(shí)與軸有一個(gè)交,點(diǎn),則并且當(dāng)時(shí)，則函數(shù)與軸有一個(gè)交點(diǎn),所以且則eq\o\ac(○,2)若函數(shù)與軸無(wú)交,點(diǎn),則函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí)與軸無(wú)交點(diǎn),在時(shí)與軸無(wú)交點(diǎn),不合題意;當(dāng)即,兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均滿足;綜上所述,的取值范圍為或.綜上所述,的取值范圍為或.【評(píng)注】考點(diǎn)：（1）函數(shù)的圖象；（2）函數(shù)的零點(diǎn)；（3）分類討論思想.【例3】已知函數(shù)函數(shù)其中若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是( )A. B. 【答案】D【解析】由得所以即所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有4個(gè)不同的解,即函數(shù)與函數(shù)的圖象有4個(gè)公共點(diǎn),由圖象可知2.故選D.【評(píng)注】考點(diǎn)：（1）求函數(shù)解析式；（2）函數(shù)與方程；（3）數(shù)形結(jié)合。【例4】已知函數(shù)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】單調(diào)遞減且值域?yàn)閱握{(diào)遞增且值域?yàn)?1)有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(0,1).變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.3.已知定義在上的奇函數(shù)當(dāng)時(shí)則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為( )A. B. C. 4.對(duì)于實(shí)數(shù)和定義運(yùn)算”*”:設(shè)且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是.【例5】函數(shù)其中若動(dòng)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為則是否存在最大值?若存在，在橫線處填寫(xiě)其最大值;若不存在,直接填寫(xiě)“不存在".【答案】存在,最大值為1【解析】由得即解得或.設(shè)所以要使直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交,點(diǎn),則有即實(shí)數(shù)的取值范圍是不妨設(shè)則由題意可知所以,由得所以,因?yàn)樗约创嬖谧畲笾?最大值為1.變式訓(xùn)練若函數(shù)圖象上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有對(duì),則的值為( )A.4 B.3 C.5 D.無(wú)窮多【例6】設(shè)其中表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù),若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)綜上,當(dāng)時(shí)作出函數(shù)的圖象如圖，直線與圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),則或，即【例7】已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)若關(guān)于的函數(shù)有5個(gè)不同的零點(diǎn)則等于( )A. B.16 C.5 D.15【解析】由題意知方程當(dāng)時(shí)有3個(gè)不同的根,當(dāng)且時(shí)有2個(gè)不同的根.要使關(guān)于的函教有5個(gè)不同的零點(diǎn),則關(guān)于的方程有2個(gè)不同的根,一個(gè)根為此時(shí)另一個(gè)根為由得到由得到故選【例8】已知函數(shù)則函數(shù)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為.【答案】【解析】本題即求方程所有根的集合，先解方程其中即或，得或再解方程,即或，得或解方程即或得或.拓展提升已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A.(2.8] B.(2.9] C.（8.9) D.(8,9]【例9】已知定義在上的函數(shù)滿足:eq\o\ac(○,1)圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)當(dāng)時(shí)則函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè)【答案】A【解析】由知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,又圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,故畫(huà)出在[-3,3]上的圖象,以及的圖象,由圖可知,零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè),故選A.【例10】設(shè)是定義在上的偶函數(shù)對(duì)于任意的有且當(dāng)[-1,0]時(shí)若在區(qū)間(-1,3]內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是( )A.(1,3) B.(2,4) C.(3,5) D.(4,6)【答案】C【解析】因?yàn)榍沂嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù),令則又即則有所以是周期為2的偶函教.又當(dāng)時(shí)且函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間(-1,3]上的圖象如圖所示.若在區(qū)間(-1,3]內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則解得故選變式訓(xùn)練1.已知函數(shù)若則的取值范圍是( )A. B. C.[-2,1] D.[-2,0]2.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)滿足其中則的取值范圍是( )A.(16,21) B.(16,24) C.(17,21) D.(18,24)3.已知函數(shù)設(shè)方程的四個(gè)不等實(shí)根從小到大依次為則下列判斷中一定成立的是(多選)( )A.B.C.D.【例11】設(shè)是定義在上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,其中集合則方程的解的個(gè)數(shù)是個(gè).【答案】8【解析】由于則需考慮的情況.在此范圍內(nèi)時(shí),設(shè)且互質(zhì)，若則由可設(shè)且互質(zhì)，因此則此時(shí)左邊為整數(shù),右邊為非整數(shù),矛盾,因此,因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個(gè)周期內(nèi)的部分的交點(diǎn).畫(huà)出函數(shù)圖象,除點(diǎn)(1,0)外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù),屬于每個(gè)周期內(nèi)的部分,且在處，則在附近僅有一個(gè)交點(diǎn).因此方程解的個(gè)數(shù)為8個(gè).【評(píng)注】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和圖象確定其中參數(shù)的范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等。

三、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【例1】設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若曲線上存在使得則的取值范圍是( )A.B.C.D.【答案】【解析】用反函數(shù)思想.在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,故存在反函數(shù),由于互為反函數(shù),且圖象關(guān)于直線對(duì)稱,故則設(shè)則為的極小值,且所以單調(diào)謙增,所以故選【例2】若函數(shù)有極值點(diǎn)且則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是( )A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)【答案】A【解析】令則令解得有兩個(gè)根,故也有兩個(gè)根，不妨設(shè)由圖象可知為極大值且是故直線與