2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉當(dāng)提分?jǐn)?shù)列121-130-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

由得,累加得令則單調(diào)遞增，所以令有所以解法所以，又所以十?dāng)?shù)列積式之分式放縮姐妹不等式:和,記憶口慶："小者小,大者大".注意:看,若小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之則是大于號(hào).例1證明姐妹不等式：:(1)(2)這兩個(gè)不等式也可以表示為利用可得錯(cuò)位排列)得,即同理得，即例2.求證:解析：運(yùn)用兩次分式放縮分子分母都加1)分子分母都加2)相乘得，則有所以有.十一數(shù)列和式之二項(xiàng)式放縮例1已知函數(shù)滿足:(1)對(duì)任意,都有(2)對(duì)任意都有(1)求證:為上的單調(diào)增函數(shù)(2)求的值;(3)令，求證.解析本題的亮,點(diǎn)很多，是一道考查能力的好題.(1)運(yùn)用抽象函數(shù)的性質(zhì)判段單調(diào)性:因?yàn)?所以,也就是,不妨設(shè)則即為上的單調(diào)增函數(shù).（2）此問的難度較大，要完全解決需要一定的能力.首先我們發(fā)現(xiàn)條件不是很充足，嘗試探索按(1)中的不等式是否能得到有用的結(jié)論.由(1)可知,令則有又所以,又所以接下來運(yùn)用迭代的思想:因?yàn)樗?2).在此比較有技巧的方法就是：,所以可以判斷（3）（當(dāng)然，在這里可能不容易一下子發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論,可以把項(xiàng)數(shù)盡可能多地列出來，然后就可以得到結(jié)論.綜合(1)(2)(3)有(3)則所以數(shù)列的通項(xiàng)為,從而,一方面,另一方面,所以綜上有十二數(shù)列和式之加強(qiáng)放縮（1）同側(cè)加強(qiáng):對(duì)所證不等式的同一側(cè)(可以是左側(cè),也可以是右側(cè))進(jìn)行加強(qiáng).如要證明,只要證明,其中通過尋找、分析、歸納完成.（2)雙向加強(qiáng):有些不等式,往往是某個(gè)一般性命題的特殊情況，這時(shí),不妨”返僕歸真”,通過雙向加強(qiáng)還原其本來面目，從而順利解決原不等式.其基本原理為:欲證明只要證明例1求證:對(duì)一切,都有解析1解法1：從而解法所以[例2]已知數(shù)列滿足求證解析從而所以有所以又所以所以有所以綜上有.(例3]已知數(shù)列滿足求證.(解析由例2可知又所以,從而,又當(dāng)時(shí),,綜上有[例4)已知在數(shù)列中記求證:(1)(2)(3)(解析(1)由題意知猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:⑴當(dāng)時(shí),,結(jié)論成立;⑵假設(shè)當(dāng)時(shí),則時(shí),因?yàn)?從而所以,綜上有又故從而(2)因?yàn)閯t,累加得所以所以即(3)因?yàn)閺亩?所以有,所以,綜上有(1)對(duì)任意的(2).解析(1)解法1:依題意,容易得到,要證明對(duì)任意即證明即證明設(shè)，即證明,從而即這是顯然成立的.綜上,有對(duì)任意的解法所以原不等式成立.(2)由(1)知，對(duì)任意的,有取則所以原不等式成立。十三數(shù)列和式之放縮等比本節(jié)題目是把通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列后再求和.解析.求證例2.若數(shù)列滿足，求證：,C解析評(píng)注可有多種放縮方法,如：=設(shè)取得則不動(dòng)或設(shè)則不動(dòng).讀者可自己嘗試.(例3)若數(shù)列滿足求證.解析時(shí),例4若數(shù)列滿足求證解析：時(shí),由，得,所以例5若數(shù)列滿足求證解析設(shè)則時(shí)取則又即證明，[例6]若數(shù)列滿足求證解析原命題得證.[例7]已知(1)求的最小值;(2)求證:當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以,所以的最小值是1.(2)由,得由又由(1)知的最小值為1,即所以從而有求證.例8可已知為實(shí)數(shù),且數(shù)列的前項(xiàng)和滿足(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列,并求出公比;(2)若對(duì)任意正整數(shù)成立,求證:當(dāng)取到最小整數(shù)時(shí),對(duì)任意都有解析1即所以,即數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知?jiǎng)t,令下面求最大