2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何61-70-專項訓(xùn)練【含答案】

由得.于是故.于是，所以.【評注】用常規(guī)方法解本題難度特別大，這里巧妙地用阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，輕松破解.【變式訓(xùn)練】1.在中，已知內(nèi)角邊.求面積的最大值.2.在直角坐標(biāo)平面上，已知點為線段AD上的動點，若恒成立，則正實數(shù)的最小值為.3.已知點A，B，C在圓上運動，且若點的坐標(biāo)為則的最大值為 A.6 B.7 C.8 D.9【拓展提升】 在中，已知內(nèi)角A，B，C滿足且邊求面積的最大值.【解析】因為，所以，即，故從而.所以點在阿波羅尼斯圓上，當(dāng)BC邊上的高為圓半徑時，三角形面積最大，即六、點與圓的位置判定【例9】若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由解得.【變式訓(xùn)練】已知圓點在直線上，若圓上存在兩點A，B，使得則點的橫坐標(biāo)的取值范圍為A. B. C.[-1，0] D.[-2，0]七、直線與圓位置關(guān)系【例10】已知圓直線若圓上恰有兩點到直線的距離為1，求的取值范圍.【解析】如圖1，圖2，設(shè)圓O到直線l的距離為d，則.已知所以.【評注】運動直線，用極端原理，考慮特殊位置，計算邊界值.【規(guī)律探索】（1）研究直線與圓的位置關(guān)系一律用圓心到直線的距離公式；（2）已知圓圓心到直線的距離為.①若圓上恰有一個點到直線的距離為h，則；②若圓上恰有兩個點到直線的距離為h，則；③若圓上恰有三個點到直線的距離為h，則；④若圓上恰有四個點到直線的距離為h，則此類題型有多種形式，應(yīng)重視.【變式訓(xùn)練】已知圓直線若圓上恰有兩點到直線的距離為1，求的取值范圍.八、圓的光線反射問題【例11】一束光線從點出發(fā)經(jīng)軸反射后與圓相切于點，則光線的最短路程是.【答案】【解析】點關(guān)于軸的對稱點為由反射定理知，光線的最短路程是切線長則.【評注】光線反射問題，一般先求已知點關(guān)于反射面的對稱點.【規(guī)律探索】切線長公式及意義:過圓外一點所引圓的切線的（T為切點) 過圓外一點所引圓的切線為.【變式訓(xùn)練】一束光線從點出發(fā)經(jīng)軸反射到圓上的最短路程是.【拓展提升】一束光線從點出發(fā)經(jīng)軸反射后與圓相切，求入射和反射光線所在直線的方程.【解析】入射和反射光線所在直線的方程分別為或九、動點分圓比例問題【例12】直線分圓周長的比為，則圓心到直線的最大距離為.【答案】1【解析】提示:用極端原理，考慮兩種情形.【變式訓(xùn)練】1.把直線按向量平移后，恰與相切，則實數(shù)的值為A.或 B.或C.或 D.或2.直線與直線的交點在 A.直線上 B.圓上 C.粗圓上 D.雙曲線上3.過點的直線與圓交于A，B兩點，C為圓心，當(dāng)最小時，直線的方程是.【例13】與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有條.【答案】四【解析】在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①，②中的四條切線互不相同.十、點與圓距離的最值【例14】已知滿足條件.(1)若點的軌跡形成圖形的面積為1，則，(2)的最大值為.【答案】(1)2；(2)(1)略(2)如圖1所示，易知【評注】含參問題需進行分類討論.【變式訓(xùn)練】 已知動點滿足為坐標(biāo)原點，若線段PO的最大值的取值范圍為則實數(shù)的取值范圍是.【拓展提升】 已知圓圓分別是圓上的動點，為軸上的動點，則的最小值為 A. B. C. 【答案】A【解析】圓關(guān)于軸的對稱圓為，則.所以的最小值為【評注】求圓上兩個動點的最值問題，一般都先轉(zhuǎn)化為其中一個動點到圓心的最值問題.十一、圓上動點系列最值【例15】點是曲線上的動點，求下列各式的取值范圍：(1).【解析】（1）轉(zhuǎn)化為點到點的距離問題，如圖1.因為，，所以.（2)設(shè)直線如圖2.圓心到直線的距離為解得. 當(dāng)過點時，有，結(jié)合圖象可知.(3)令將點代入得.又由得.圓心(1，2)到直線的距離為1，即即化簡并整理得解得.由圖3可知，取故.(4)如圖4，令化簡得即由得.令即，由得，化簡并整理得解得.由圖4可知故【變式訓(xùn)練】若則上述四個問題將怎樣?（讀者自己嘗試)【拓展提升】已知點是曲線上的動點.若求的取值范圍；若求的取值范圍；(3)若A(-3，0)，B(1，0)，求的取值范圍.【解析】*（1）由三角形中線長定理得又.設(shè)為AB中，點(如圖5)(3)若則【評注】本題也可以用極化恒等式求解.十二、圓的三角形軌跡【例16】如圖1，已知點，圓上兩動點B，C滿足四邊形PBAC是矩形.（1）求點的軌跡方程；(2)求|PO|，|PA|的取值范圍為原點).【解析】(1)解法1幾何法如圖2，設(shè)半徑為R，則在中，E為BC的中點，且為OA的中點則故即解法2點和法故點的軌跡方程為.可得故.故點的軌跡方程為.解法2點和法如圖3，設(shè)，則把和③式代入⑥式即得.從而，點的軌跡方程為.(2)過程略.【變式訓(xùn)練】如圖4，已知點圓上兩動點B，C滿足四邊形PABC為矩形，求點P的軌跡方程，并求的取值范圍.（為原點） 如圖5，已知點圓上兩動點B，C滿足四邊形PBAC為矩形，求矩形PBAC