2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分解析幾何71-80-專項訓練【含答案】

十三、圓冪定理巧妙運用【例17】如圖，直線：交圓于，兩點，已知點（-6，3），求的最小值.【解析】解法1如圖2，取中點，過點作圓的外切線且切點為，直線過定點（6，3），則.其中.（，（圓冪定理））解法2如圖3，聯(lián)立，得，整理得.設，小值.令，則.因為，所以.故，此時.所以.故.【評注】本題用通法（解法2）解非常麻煩，但解法1巧妙地用向量分點插入，并借助圓冪定理獲解.【規(guī)律探索】圓冪定理：如圖4，過圓內(nèi)一點作兩條弦分別交圓于點，，，，則.如圖5，過圓外一點作圓的兩條割線，分別交圓于點，，，.再作切圓于點，則，其中，.【例18】直線過點（-1，0），交圓于，兩點，交直線點，是中點，求證：為定值.【解析】解法1如圖6，由已知得，，，四點共圓，由圓冪定理，得.解法2設直線，化斜為直聯(lián)立得，整理得.又得..【評注】本題同樣用通法（解法2）解較麻煩，但解法1利用，，，四點共圓并借助圓冪定理獲解.【孌式訓練】是半徑為5的圓上的定點，是圓上的動弦，且弦長為6，則的最大值為 （）A.30 B.36 C.54 D.60【柘展提升】1.設，，若直線與圓相切，則的取值范圍是 （）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓心坐標為（1，1），半徑為1.直線與圓相切，所以圓心到直線的距離滿足，即.設，即，解得或.2.在平面內(nèi)，定點滿足，，動點，滿足，，則的最大值為.【答案】【解析】由圖7分析.過程略.3.在中，是的中點，，，則的面積的最大值為.【答案】【解析】以所在直線為軸，以為坐標原點建立如圖8所示的平面直角坐標系，的面積只與點的縱坐標有關(guān).設的長為2，則點既在以為圓心，2為半徑的圓上，又在以，為焦點，實軸長為2的雙曲線右支上，聯(lián)立圓與雙曲線的方程有兩式相減并整理得.當且僅當時取到等號，所以.【例19】已知（3，2），點在軸上運動，點在圓上運動，則的模的最小值是.【答案】3【解析】此問題中，都是動點，考慮先固定其中的一個動點，讓另一個動點移動，看看何時的模取到最值.發(fā)現(xiàn)先固定點比較容易（先固定點則需要根據(jù)點的位置不同進行討論），如圖9.當點固定時，考慮的坐標.點的移動不改變這個和向量的橫坐標，所以當這個和向量的縱坐標為零時，對應的模有最小值，且縱坐標一定可以取到零.接下來讓點在圓上移動，考慮和向量的橫坐標的絕對值何時最小.因為P的橫坐標恒為-3，的橫坐標小于等于零，所以當?shù)臋M坐標為零時，和向量橫坐標的絕對值最小，此時的模有最小值3.容易求出此時（3，-2），（0，6）.十四、切點弦方程快解題已知點在直線上運動，過點作圓的切線，切點為，.求證：直線過定點.【解析】設點，則，從而圓的切點弦所在直線的方程為：.變形得，于是，即.聯(lián)立方程求得定點坐標為.【評注】本題利用了切點弦解決問題.【規(guī)律探索】1.切點弦方程求法：①過圓上一點（，）的切線方程是：.一般地，當（，）點在圓上時，直線記為過點（，）的切線，如圖1；當點（，）在圓外時，直線為過點（，）兩切線的切點弦所在直線的方程，如圖2；當點（，）在圓內(nèi)時，直線記為過點（，）且垂直于的直線，如圖3.2.三者距離之間的重要關(guān)系若設點到直線的距離為，的長為，則為常數(shù).注①一般地，如何求圓的切線方程？抓住圓心到直線的距離等于半徑；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求.3.—般方程的切點弦已知圓和點，則圓的切點弦方程是：.【變式訓練】已知（，）（）是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則 （）A.，且與圓相交 B.，且與圓相交C.，且與圓相離 D.，且與圓相離【例2】已知圓，過原點作此圓的切線，切點為，.又過原點任作一直線，交圓于，兩點，交直線于點（如圖4）.設，，，求證：.【解析】聯(lián)立方程得.整理得，則，.切點弦：.聯(lián)立方程得得.，而.故.【評注】化斜為直，利用切點弦方程.十五、切線長公式巧運用【例22】過雙曲線的右支上一點，分別向圓和圓作切線，切點分別為，，則的最小值為 （）.A.10 B.13 C.16 D.19【答案】B【解析】如圖1所示，由于，為切線，在和中，有.又，所以最小值為13.故選B.【評注】本題考查雙曲線的定義，直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.我們首先根據(jù)題意畫出圖象，然后根據(jù)半徑垂直于切線，將題目中的，轉(zhuǎn)化為，，再結(jié)合圖象可知，當，，三點共線時，取得最小值8.【規(guī)律探索】切線長公式及意義：過圓外一點（，），所引圓的切線的長為（為切點）；過圓外一點（，），所引圓的切線的長為.【變式訓練】1.設，為圓上兩個動點，，是圓的切線，且，則點的軌跡方程為.2.已知圓，圓，動點到兩圓的切線長相等，求點的軌跡方程.3.求過兩圓，的交點，且過坐標原點的圓的方程.【拓展提升】過點的圓的切線長等于點到點（-2，-1）的距離，求點到原點的最小距離.【解析】點的軌跡方程為：，所求的最小距離為.十六、圓與圓的位置關(guān)系【例23】在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是.【答案】【解析】因為圓的方程可化為：，所以圓的圓心坐標為（4，0），半徑為1.由題意，直線上至少存在一點（，），以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，所以存在，使得成立，即.因為即為點到直線的距離，所以，解得.所以的最大值是.【評注】判斷圓與圓的位置關(guān)系一般轉(zhuǎn)化為判斷圓心距與兩圓半徑的和差關(guān)系.【規(guī)律探索】圓與圓的位置關(guān)系.已知兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，，則①當，兩圓外離；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓相交；④當時，兩圓內(nèi)切；⑤當時，兩圓內(nèi)含.【例24】已知為圓與圓的交點，'若，，則點與上的點之間距離的最小值是.【答案】2【解析】設，，，如圓，故.整理得.類似地，有圓，故.于是，是關(guān)于的方程的兩個實根，于是.從而點的軌跡方程為.因此點到直線的最小距離為2.【孌式訓練】雙曲線的左焦點為，頂點為，，是雙曲線右支上一點，則分別以線段，為直徑的兩圓位置關(guān)系為.【拓展提升】設圓和圓是兩個定圓，動圓與這兩個定圓都相切，則圓的圓心軌跡不可能是（）【答案】A【解析】設圓和圓的半徑分別是，，.一般地，圓的圓心軌跡是焦點為，，且離心率分別是和的圓錐曲線（當時，的中垂線是軌跡的一部分；當時，軌跡是兩個同心圓）.當且時，圓的圓心軌跡如選項B；當時，圓的圓心軌跡如選項C；當且時，圓的圓心軌跡如選項D；由于選項A中的橢圓和雙曲線的焦點不重合，因此圓的圓心軌跡不可能是選項A.十七、兩圓的公切線問題【例25】如圖1，在平面直角坐標系：中，圓，圓都與直線及軸正半軸相切.若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點為（2，2），求直線的方程.【解析】由題意，圓心，都在軸與直線組成角的角平分線上.若直線的斜率，設，則.圓心，在直線上，可設，.交點（2，2）在第一象限，，，，所以，，所以即所以，是方程的兩根，于是=.由半徑的積，得，故.所以，直線的方程為.【規(guī)律探索】兩圓的公切線問題：（1）兩圓外離，公切