2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何221-230-專項訓(xùn)練【含答案】

所以所以所以所以所以【例11】已知橢圓為附圓的左焦點,過點的直線交橢圓于兩點，直線交軸于點,點在直線上的射影分別是點設(shè)直線與的交點為,是否存在實常數(shù)使得恒成立?【解析】如圖,設(shè)與軸交于,點.將代入中，得.所以當(dāng)為中,點時,所以成立,所以為中,點.同理,連接交軸于點,可得,所以點與點重合.因為為交,點,所以三,點重合，所以存在實常數(shù)使恒成立.【例12】已知橢圓為粗圓的左焦點,過點的直線交構(gòu)圓于兩點分別為橢圓的左，右頂點，動點滿足試探究點的軌跡方程.【解析】如圖,設(shè)由題設(shè)得焦點因為直線過焦點被因為則三點共線.同理,三點共線.故有由得將代入,得.因為交粗圓于點則即.整理得,則設(shè).故由上式，得所以即軌跡方程為點的軌跡為直線.【例13】已知雙曲線為雙曲線的左焦點,過點的直線交雙曲線于兩點，分別為雙曲線的左、右頂點,動點滿足動點滿足試探究是否為定值.【解析】如圖,由題知設(shè)由“性質(zhì)十二”可知點,在雙曲線準(zhǔn)線上,故可設(shè)因為與曲線相交所以整理得,已知點在同一條直線上，即將代入,得所以因為所以所以所以為定值.【例14】已知橢圓為橢圓的左焦點，過點的直線分別交橢圓于點和直線直線交直線于點,試判斷點是否共線,并證明.【解析】解法1以左焦點為極點，對稱軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則圓錐曲線方程為如圖所示,設(shè),點,則.因為,點為直線與的交,點,所以點滿足將點坐標(biāo)代入方程,得化簡得根據(jù)極坐標(biāo)可得化簡得將代入知,滿足直線方程因此三點共線,證畢.解法2已知焦點坐標(biāo),設(shè)兩條方程斜率的倒數(shù)為用其中一條得出點的相關(guān)坐標(biāo),再把兩條直.線方程代入橢圓方程,全部都用表示,盡量消到只有或化共線為斜率相減等于0,如果中間步驟用韋達定理可得,則證畢.不行則得到的等式,用求根公式代入，得含的等式,最終等于0.【例15】已知橢圓為橢圓的左焦點，過點的直線分別交橢圓于點和直線直線交直線于點,試證明【解析】以左焦點為極點,對稱軸為極軸,建立極坐標(biāo)系，則圓雉曲線方程為如圖所示,設(shè)點,則因為點為直線與準(zhǔn)線的交點,所以將,點坐標(biāo)代入直線的方程，得,化簡得所以.易得平分【例16】已知橢圓過點的直線分別交粗圓于點和設(shè)直線與直線交于點，試證明點的軌跡為直線.【解析】如圖,設(shè)直線,直線因為所以.解得故同理可得.解得故即所以直線直線聯(lián)立(1)(2)解得.所以,點的軌跡為直線.【例17】已知橢圓為橢圓的左焦點，過點的直線分別交橢園于兩點，設(shè)直線與軸交于點試求的值.【解析】如圖，設(shè)直線.則同理所以又因為代入得，整理得于是代入,得即即因為所以.【例18】已知方向向量為的直線過點和橢圓的右焦點，且橢圓的中心和橢圓的右準(zhǔn)線上的點滿足：.（1）橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任一點，過焦點的弦分別為.設(shè),求的值.【解析】(1)由題意知，直線的方程為令得,所以右焦點坐標(biāo)為所以且.由可知,點和點關(guān)于直線對稱.又過原點垂直于的直線方程為由(1)和(2)得.因為關(guān)于直線的對稱點在橢圓的右準(zhǔn)線上，所以所以.所以橢圓的方程為.(2)如圖，設(shè)則有當(dāng)時，直線的方程為所以有代入中消,并整理得.所以所以.因為所以所以.同理得所以;當(dāng)時,經(jīng)檢驗有所以的值為10.【例19】已知拋物線過點的動直線交拋物線于兩點,過分別作切線過點作直線軸,交拋物線于兩點父切線于兩點試探索是否成立.【解析】如圖,設(shè),則過點的切線方程.且由于則則【拓展提升】已知拋物線過點的動直線交拋物線于兩點,過分別作切線點是拋物線上動點,軸,交于點是拋物線在點處的切線,若過點且交于點交拋物線于點試探索是否成立.【解析】設(shè)由得從而因為軸，所以,故由得中點故由得故可理..所以.中點又與中點重合.從而有.【例20】已知橢圓過點的直線分別交橢圓于點和設(shè)直線過點且軸,交于點求證.【解析】如圖,設(shè)則有同理因為三,點共線,所以.同理可得應(yīng)有即將的值分別代入可得所以結(jié)論成立.【例21】已知橢圓過原點點的直線交橢圓于點,過點的中點弦為過分別作切線交于點求證.【解析】如圖,設(shè),由得因為所以.又因為過,點所以切線因為是的交,點,所以又因為直線過兩點,所以.根據(jù)已知反解得所以,點在上.由解得又因為或因為,所以證畢.【例22】過拋物線外一點作拋物線的兩條切線切點分別為另一直線過點與拋物線交于兩點與直線交于點問是否為定值?【解析】如圖,設(shè),由切線公式得直線,將點坐標(biāo)代入直線方程.聯(lián)立得直線設(shè)直線.由得所以,由得因為過點存在拋物線的切線,所以同號，所以所以為定值2.【例23】已知橢圓過點的直線交粗圓于兩點點在直線上,且滿足試探求點的軌跡方程.【解析】如圖,設(shè).因為直線過點所以即.于是中得又因為,點在上,所以代入(1)得.所以,點軌遊方程為【例24】設(shè)橢圓過點且左焦點為.（1）求橢圓的方程；（2)當(dāng)過點的動直線與橢圓相交于兩不同點時，在線段上取點滿足求證:點總在某定直線上.【解析】（1）由題意解得所求橢圓方程為(2)解法1設(shè)點的坐標(biāo)分別為.由題設(shè)知均不為零,記則且.又四點共線,從而,于是從而又點在橢圓上,即并結(jié)合得即點總在定直線上.解法設(shè),點,由題設(shè)均不為零,且又四點共線,可設(shè),于是由于點在橢圓上,將(1)(2)分別代入的方程,整理得即得因為所以即點總在定直線上.【例25】過拋物線外一點作拋物線的兩條切線切點分別為另一直線與拋物線交于點,與直線交于點,求證:點處的切線與直線平行.【解析】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,由題意可得.根據(jù)切線公式,拋物線在點處的切線.設(shè)由切線公式得，直線將點坐標(biāo)代入直線的方程聯(lián)立得直線所以平行過點的切線.聯(lián)立得中點橫坐標(biāo)為.又因為點在上且所以,點即線段中點,.【例26】如圖,過拋物線內(nèi)部一點作拋物線的中點弦(為中點),兩條切線交于點,過點作直線,且,點是直線上的動點,過點作拋物線的兩條切線求證:直線過定點.【解析】設(shè)故由可得.又因為過點