2025高考數(shù)學二輪復習-排列組合+概率統(tǒng)計41-50-專項訓練【含答案】

【例107】假定有一排蜂房，形狀如圖42所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了傷，只能爬行，假設只能向右(包括右上，右下)從一間蜂房爬到與之相鄰的蜂房中去，則從最初位置爬到6號蜂房共有種方法.【答案】21【解析】解法1蜜蜂從蜂房的左下角爬到6號蜂房最多爬行7次，路線如：。如果中途爬一橫格，只需爬5次，每增加一橫格就減少兩步，可得故所求的方法21種.解法2用圖43所示的樹狀圖進行求解，記程略?！纠?08】由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成無重復數(shù)字的七位整數(shù)，從中任取一個，所取的數(shù)滿足首位為1，且任意相鄰的兩位數(shù)字之差的絕對值不大于2，則取到此類數(shù)字的概率為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑蓤D44所示的樹狀圖可知，滿足條件的共有14種，全部取法共有種，故所求的概率為二十、容斥問題，補集思想容斥問題是數(shù)學競賽的熱門問題【例109】將1，2，3，4這四個數(shù)字填入表2，要求表中每行每列的數(shù)字全不相同，則不同的排列方法有種.【答案】864【解析】對于第一行，不同的排法有種.不妨設第一行依次排1，2，3，4。當?shù)诙械谝晃慌艛?shù)字2時，(1)若第二行數(shù)字排列為：2，1，4，3，則第三行有4種排列方法；(2)若第二行數(shù)字排列為：2，3，4，1，則第三行有2種排列方法；(3)若第二行數(shù)字排列為：2，4，1，3，則第三行有2種排列方法.故此種情況有8種排列方法.同理，當?shù)诙械谝晃慌艛?shù)字3或4時，各有8種排列方法。由乘法原理得，故不同的排列方法有576種。【評注】這類問題是典型的容斥原理。二十一、傳球問題，公式處理傳球問題的核心公式個人傳次球，記，則與最接近的整數(shù)為傳給“非自己的某人”的方法數(shù)，與第二接近的整數(shù)是球最終又傳回自己手中的方法數(shù)。大家牢記這一條公式，可以解決此類型中至少三人傳球的問題?！纠?10】四個人進行籃球傳接球練習，要求每個人接球后再傳給別人。開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲的手中，則傳球方法有().A.60種B.65利C.70種D.75種【答案】A【解析】解法1五次傳球過后，球回到甲的手中，球在中間將經(jīng)過四個人，將其分成兩類：第一類：傳球的過程中不經(jīng)過甲，甲甲（橫線表示其他人，下同），此時傳球的方法有種第二類：傳球的討程中經(jīng)過甲.(2)若為甲甲甲，則傳球的方法有（種）根據(jù)加法原理，故共有不同的傳球方法有60種.故選解法2注意到次傳球，所有可能的傳法總數(shù)為（每次傳球有3種方法），第次傳回到甲的手中的可能性就是第次不在甲的手中的可能性。由表3可知，經(jīng)過五次傳球后，球仍回到甲手中的方法共有60種，故選A.解法3根據(jù)個人傳次球的公式，本題是四個人傳五次球，故，它最接近的整數(shù)是61，第二接近的整數(shù)是60，所以傳給其他人（非甲本人）的方法有61種，而傳回到甲自己手中的方法有60種.故選A.【評注】這道傳球問題是一道非常復雜并且求解麻煩的排列組合問題。解法1是最直觀、最容易理解的，但耗時耗力并且容易錯，稍微改變數(shù)字，計算量可能陡增；解法2的操作性強，但對理解能力的要求比較高，也比較耗時；解法3則不免投機取巧，但最有效果（根據(jù)對稱性很容易判斷結(jié)果應該是3的倍數(shù)，如果答案只有一個3的倍數(shù)，便能快速得到答案），也能給人以啟發(fā).【例111】某人去A，B，C，D，E五個城市旅游，第一天去城市，第七天去城市，如果他今天在某個城市,那么第二天肯定會離開這個城市去另外一個城市，那么按照這種行程安排,他的旅游方式一共有().A.204種B.205種C.819種D.820種【答案】C【解析】相當于五個人傳六次球，根據(jù)“傳球問題核心公式”，可得與之最接近的是819，第二接近的是820，因此他的旅游方式一共有819種.二十二、約數(shù)個數(shù)，質(zhì)因分解確定較大自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)比較困難，但利用排列組合思想，會使思路清晰明朗.【例112】問：1800有多少個約數(shù)？所有約數(shù)的和是多少？【解析】對1800進行質(zhì)因數(shù)分解，再由約數(shù)的意義及乘法原理可得出結(jié)果。因為所以1800的約數(shù)的個數(shù)為.約數(shù)的和為.【變式訓練18】問：30030能被多少個不同的偶數(shù)整除？二十三、雜題集錦，異彩紛呈排列組合能快速地解決復雜問題中的計數(shù)問題.【例113】有4名學生報名參加數(shù)、理、化這3科競賽，則：（1）每人限報1科，有幾種不同的報名方法？（2）每人至少報1科，有幾種不同的報名方法？（3）每人可以三科均不報，也可報多科(包括全報)，有幾種不同的報名方法？【解析】（1）每人均有3種選擇，共有34種，故每人限報1科，有81種不同的報名方法.（2）把科目分為7堆：數(shù)，理，化，數(shù)理，理化，化數(shù)，數(shù)理化.每人均有7種選擇，共有74種.故每人至少報1科，有2401種不同的報名方法.（3）解法1在（2）的基礎上，加上“可以不選”這種情況，每人均有8種選擇，故有84=4096(種).解法2對“數(shù)學"來說，報名人數(shù)有0，1，2，3，4這五種情況，分別對應種數(shù)為，可得。同理，對“物理”來說有對“化學”來說有綜上所述，可得，故不同的報名方法有4096種?！纠?14】如圖45所示，六個不同的自然數(shù)排成三角形，且每一行中最大的數(shù)均小于下一行中最大的數(shù)，則這樣的排列共有種。【答案】240【解析】解法1倒數(shù)第一行：最大的數(shù)6—定在倒數(shù)第一行，此行的另兩個數(shù)必從剩下的五個數(shù)中選出，有種，然后全排列，有種.倒數(shù)第二行：此行中最大的數(shù)應是剩下三個數(shù)中最大的數(shù)，另一個數(shù)必從剩下的兩個數(shù)中選出，有種，然后全排列，有種.可得，故這樣的排列共有240種.解法2分類處理.不妨設6個數(shù)分別為：1，2，3，4，5，6。根據(jù)題意，數(shù)字6只能在第三行，第二行的最大數(shù)只能是3，4或5。下面分三類：第二行中最大數(shù)是3，如圖46所示另兩個數(shù)只能是1，2，有種，第三行有種，可得=24。圖46第二行中最大數(shù)是4，如圖47所示.數(shù)字5只能在第三行，再在剩余的數(shù)中選一個放在第三行，有種.可得圖47第二行中最大數(shù)是5，如圖48所示.只要在剩余的數(shù)中，選兩個放在第三行，有種，可得圖48綜上所述，則有144+72+24=240，故這樣的排列共有240種.【例115】把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入圖49的空白處中，從左到右數(shù)字從小到大，從上到下數(shù)字從小到大，且4在中心位置，共有種排法.【答案】12【解析】根據(jù)題意，數(shù)字1只能排在左上角，數(shù)字9只能排在右下角.第一行的第2位和第一列的第2位只能排2和3，有種。5只能排在第一行或第一列的第3位，有種.和5對角的位置可以排6或7，有種.若排6，則把剩余2位數(shù)7和8全排列，有種；若排7，則6和8的順序一定，有1種.因為，故共有12種排法.上面把常見的排列組合問題進行了分析，找到了一定的規(guī)律，構(gòu)造了相應的解決問題的模型，當然，在解決具體問題時，要認清問題特征，靈活選用有效策略，以便快速合理地解決問題。第二章二項式定理二項式定理又稱牛頓二項式定理，由牛頓于1665年左右提出。該定理給出兩個數(shù)之和的整數(shù)次幕，諸如展開為類似項之和的恒等式。二項式定理也可以推廣到任意實數(shù)次冪。一、二項式定理通項的應用二項式定理:（一）探求指定的項【例1】在的展開式中，常數(shù)項是（）【答案】【解析】易得通項依題意得解得所以.【例2】在的展開式中，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)的比是56：3，求展開式中的常數(shù)項。第3項的系數(shù).由題意得整理得解得或（舍去）設的原開式中常數(shù)項為則由題意得解得.故第3項為常數(shù)項【例3】求的展開式里不含的項(即常數(shù)項).【解析】設不含的項為第項，則依題意得解得故不含的項為第7項，【變式訓練1】1.求二項式的展開式中的常數(shù)項.2.求二項式的展開式中的常數(shù)項.3.若的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則?！纠?】已知的展開式中的系數(shù)為常數(shù)的值為。【答案】4【解析】由題意得，根據(jù)題意，解得.此二項展開式中的系數(shù)為即，解得.【例5】在的展開式中的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項，若實數(shù)則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑赏椆街南禂?shù)為的系數(shù)為的系數(shù)為.根據(jù)題意得，，化簡，得解得.又所以.【變式訓練2】在的展開式中的系數(shù)是（用數(shù)字作答）【例6】已知的展開式的中項是20000，最后三項的系數(shù)和是22，求.【解析】由題意，得即化簡，得解得或（舍去）。所以的展開式中的中項是第4項，故,即解得兩邊取對數(shù)，得即.從而或.【變式訓練3】1.在的展開式中，整數(shù)項是第幾項?2.在的展開式中，第項的系數(shù)與第項的系數(shù)相等。求第項的系數(shù).【例7】在二項式的展開式中，倒數(shù)第3項的系數(shù)為45，求含項的系數(shù)。【解析】由條件知即所以解得（舍去），或二項式展開式的通項。所以含有的項是第7項，故含有項的系數(shù)為210.【變式訓練4】求的展開式中的系數(shù).(二)有理項的探求【例8】在的展開式中,有理項是第兒項?【解析】設為有理項，則又令解得.當時即第9項；當時，即第3項；當時即第15項；當時即第21項。故有理項為第3項、第9項、第15項、第21項.【變式訓練5】求二項式的展開式中的有理項.(三)和式展開系數(shù)【例9】在的展開式中的系數(shù)等于【答案】【解析】解法1根據(jù)題意的系數(shù)為解法原式，所以的展開式中含的系數(shù)為（四）積式展開系數(shù)【例10】求的展開式中的系數(shù).【解析】解法因為所以的系數(shù)為解法因為所以的系數(shù)為解法3左右兩式分別展開可得【變式訓練6】在的