2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量191-200-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，由，代入坐標(biāo)即得，得，即，所以.解法2：向量轉(zhuǎn)化法，由三點(diǎn)共線，得，則，從而，即，所以.【評(píng)注】坐標(biāo)法解題非常直接，不需要過(guò)多的技巧.【例41】已知在中，，，是線段上的一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，則的取值范圍是.【答案】【解析】解法1：坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，由，得，由題意易知，，則得，經(jīng)檢驗(yàn)等號(hào)取不到.另一方面，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)應(yīng)取得最大值，此時(shí)或，結(jié)合可得，但點(diǎn)不與端點(diǎn)重合，故最大值取不到.綜上，的取值范圍是.解法2：如圖，易得是直角三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，且.設(shè)，由，得，即在方向上的投影恒為.過(guò)點(diǎn)作的垂線，設(shè)垂足為，則恒有.又，所以為的中點(diǎn)，即為等腰三角形，所以，.【例42】已知正方形的邊長(zhǎng)為，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則，的最大值為.【答案】1；1【解析】解法1：坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖1，設(shè)，，則，解法2：向量轉(zhuǎn)化法如圖2，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式得：由圖2可知，，因此，.而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，射影為，所以長(zhǎng)度為1，故所求最大值為1.【變式訓(xùn)練】如圖，平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，且，則.【例43】若平面向量滿足，則的最小值是.【答案】【解析】解法1：坐標(biāo)法設(shè)，，則.由于，則有，整理得，，即，經(jīng)檢驗(yàn)等號(hào)均能取到.所以，即.解法2：見(jiàn)模先平方，由得，因?yàn)?，所以，?【例44】在等腰中，，，為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且滿足，則的取值范圍為（）.A.B.C.D.【答案】【解析】以等腰直角三角形的直角邊為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，直線的方程為.設(shè)，，則，從而，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.又當(dāng)時(shí)，，故，因此的取值范圍為故選.【例45】已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的取值范圍是.【答案】【解析】解法1：坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系并標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖，則，由與的夾角為，得，所以.解法2：數(shù)形結(jié)合法如圖，向量構(gòu)成三角形，在三角形中，由正弦定理得，解得.【評(píng)注】解法1思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量大.【例46】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，其中.若，且，點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是（）【案案】A【解析】設(shè)向量，則由題設(shè)，得則有，即，所以故選.【例47】已知向量與關(guān)于軸對(duì)稱，，則滿足不等式的點(diǎn)的集合用陰影表示為（）【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t有，所以點(diǎn)的集合是以為圓心、1為半徑的圓及其內(nèi)部，故選C.【例】已知為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則.【答案】1：3【解析】解法1：坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，.由得：解得，所以.解法2：由得，即.如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).易知，，，不妨假設(shè)，易得，所以.【例49】已知為等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)滿足，，，若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解法1：坐標(biāo)法建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)，如圖，因?yàn)椋瑒t，所以，則，因?yàn)?，所以解得，故選.解法2：如圖，設(shè)，則，又，由，得：即，整理得，即，解得，故選.【變式訓(xùn)練】已知在中，，其外接圓的圓心為，則.【例50】已知在中，是斜邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的值為（）A.2B.4C.5D.10【答案】【解析】解法1：坐標(biāo)法將直角三角形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖，設(shè)，則所以，，，所以，即.故選.解法2：中線長(zhǎng)定理法.因?yàn)?，所以故選.【評(píng)注】本題用幾何法求解十分簡(jiǎn)單，但需要很高的技巧，即需要用到中線長(zhǎng)定理，一般同學(xué)不容易想到.而坐標(biāo)法雖然運(yùn)算量大，但思路簡(jiǎn)單，易操作.【例51】在中，是的中點(diǎn)，，則.【答案】【解析】解法1：坐標(biāo)法以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖略），設(shè)，由得，則.解法2：特例法假設(shè)是的等腰三角形，則，，所以.解法3：.【例52】已知在平行四邊形中，，邊的長(zhǎng)分別為，若分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，得，從而有，所以【例53】在中，已知，，若長(zhǎng)為的線段以為中點(diǎn)，則當(dāng)與的夾角取何值時(shí)，的值最大?并求出這個(gè)最大值.【解析】以直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，且.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，所以因?yàn)?，所以，則.故當(dāng)，即（與方向相同）時(shí)，最大，其最大值為.【例54】已知，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A.13B.15C.19D.21【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，即，所以，.因?yàn)?，所以的最大值等于，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選.【例55】已知在矩形中，，若是上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)，其中是的中點(diǎn)，如圖，，故所求最小值為.【例56】已知點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，且，則有，得，將點(diǎn)代入雙曲線中，得，所以.因?yàn)?，即同向，所以，所以，將代入上式并整理得，，即，則，等號(hào)能取到，所以.故選.【例57】已知在中，，，若，判定的形狀.【解析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，如圖，根據(jù)題意，有，整理得，則，即，解得.所以是等腰三角形.【例58】已知向量，求的取值范圍.【解析】由得，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)，如圖1，則有，即，整理得，即.畫出圖形，如圖2，則，所以.【例59】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，四邊形是矩形.求點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用向量法證明且.【解析】（1）由題意有.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由，得又由得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由（1）易知，可令點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，得，即.又，所以，即.【例60】在平面上，給定非零向量，對(duì)任意向量，定義，已知存在單位向量，當(dāng)位置向量的終點(diǎn)在拋物線上時(shí)，位置向量的終點(diǎn)總在扮物線上，曲線與關(guān)于直線對(duì)稱.問(wèn)直線與向量滿足什么關(guān)系？【解析】設(shè)，則.對(duì)任意實(shí)數(shù)，取，則.因?yàn)榈慕K點(diǎn)在曲線上，所以.由于為任意實(shí)數(shù)，比較式兩邊的系數(shù)得：從而，故或.設(shè)雙曲線上的任意點(diǎn)為，可知落在曲線上，