近五年（2018-2022年）數(shù)學高考真題分類匯編11：立體幾何（含答案+解析）

:立體幾何

一：選擇題

1.（2022?全國甲（文、理）T4）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊K為1,則該多

面體的體積為（）

2.（2022?全國甲（文）T9）在長方體人BCO-ABCR中，已知同力與平面48CD和平面AA48所成的角均為30。，

則（）

A.AB=2ADB.48與平面ABC。所成的角為30°

C.AC=CBtD.與。與平面88CC所成的角為45。

3.（2022?全國甲（文）T10）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和

Sy

S乙，體積分別為％和%.若U=2，則”二（）

）乙VL

A.逐B(yǎng).25/2c.MD.

4

4.（2022?全國甲（理）T7）在長方體ABCD-ABGR中，已知與。與平面48co和平面例8乃所成的角均為30°,

則（）

A.AB=2ADB.A8與平面ABC。所成的角為30°

C.AC=CBXD.以力與平面所成的角為45。

5.（2022?全國甲（理）T8）沈括的《夢溪筆淡》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓

術(shù)”，如圖，AB是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是的A8中點，。在A8上，CDLAB.“會圓術(shù)”給出AB

CD2

的弧長的近似值s的計算公式：S=AB+—.當OA=2,NAO8=60°時，s=（）

OA

D

11-3A/3dll-4>/3-9-3百n9-4^

----------------------D.-----------------------C.------------------U.---------------------

2222

6.（2022?全國甲（理）T9）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

%一%

體積分別為%和彩.若法=2,則”=（）

3乙V乙

55/w

A.逐B(yǎng).2X/2C.V10

4

7.（2022?全國乙（文）T9）在正方體A8CO-A4GA中，E,產(chǎn)分別為A3,8。的中點，則（）

A.平面B.EF1平面BDD.B.平面B.EF1平面\BD

C.平面4E產(chǎn)〃平面RACD.平面耳瑁7//平面AC。

8.（2022?全國乙（文）T12）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球。的球面上，則當

該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A1R1D夜

A?o.-C.-----\J.---

3232

9.（2022?全國乙（理）T7）在正方體A8CO-A4CQ中，E,尸分別為48,3。的中點，則（）

A.平面B、EF1平面BDD,B.平面B.EF1平面A.BD

C.平面4所〃平面AACD.平面耳￡尸〃平面AG。

10.（2022?全國乙（理）T9）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為。，底面的四個頂點均在球。的球面上，則當

該四棱錐的體積最大時，其高為（）

11.（2022,新高考I卷T4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水

庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔1575m時，相應水面的面積為ISO.Okn?,

將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為

（幣?2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

12.（2022?新高考I卷T8）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面匕若該球的體積為36"，且

3W/W3、回，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.謨B.C.D.[18,27]

4T'7丁石

13.（2022?新高考I卷T9）已知正方體ABC。-ABGA,則（）

A.直線3G與。4所成的角為90。B.直線BG與CR所成的角為90。

C.直線Bq與平面所成的角為45。D.直線BG與平面4BCD所成的角為45。

14.（2022?新高考口卷T7）正三棱臺高為1,上下底邊長分別為36和4石，所有頂點在同一球面上，則球的表面

積是（）

A.1007TB.128兀C.144兀D.192兀

15.（2022?新高考口卷T11）如圖，四邊形48co為正方形，EO_L平面ABC。，F(xiàn)B〃ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—ACD,F-ABC,尸一4CE的體積分別為匕匕,匕，則（）

A.匕=2%B.匕二2匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

16.（2022?北京卷T9）己知正三棱錐P-43C的六條棱長均為6,S是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合

T={QeS\PQ<5}

則丁表示的區(qū)域的面積為（）

3九

A.—B.冗C.2萬D.3萬

4

17.（2022?浙江卷T8）如圖，已知正三棱柱430-4301,4（7=4^,E,尸分別是棱5C,AG上的點.記所與

A4所成的角為a,E尸與平面ABC所成的角為夕，二面角/一8C—A的平面角為/,則（）

A.a<p<yB.(3<a<yc.P<y<aD.a<y<p

18.（202”全國高考真題）在正三棱柱ABC-A用G中，AB=AAy=\t點尸滿足麗前+〃西，其中

2e[0,l],/ZG[0J],則（）

A.當義=1時，瓦尸的周長為定值

B.當，=1時，二棱錐尸一43c的體積為定值

C.當2=g時，有且僅有一個點P,使得

D.當〃二;時，有且僅有一個點尸，使得AB_L平面

19.（2021?浙江高考真題）如圖己知正方體ABCD—，M./V分別是AQ,。姿的中點，則（）

A.直線4。與直線。乃垂直，直線MN//平面A3CO

B.直線4。與直線。乃平行，直線MN_L平面80。出

C.直線4D與直線。乃相交，直線MN//平面ABC。

D.直線4。與直線異面，直線MNJL平面

20.（2021?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

21（2021?全國高考真題（理））已如4B,C是半徑為1的球。的球面上的三個點，且AC_18cAe=8C=1,

則三棱錐?！狝BC的體積為（）

A女B石C夜D6

121244

22.（2021?全國高考真題（文））在一個正方體中，過頂點4的三條棱的中點分別為￡,F,G.該正方體截去三棱錐

A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側(cè)視圖是（）

23.（2021?全國高考真題（理））在正方體ABCO—AqGA中，P為片僅的中點，則直線總與所成的角為

（）

nnnn

A.-B.-C.-D.一

2346

24.（2021?全國高考真題）已知圓錐的底面半徑為近,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2y/2C.4D.4夜

25.（2020?天津高考真題）若棱長為2百的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.12兀B.24萬C.36乃D.144萬

26.（2020?北京高考真題）某三棱柱的底面為正三角形，其二視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（).

側(cè)（左）視圖

A.6+>/3B.6+25/3c.12+百D.12+2石

27.（2020?浙江高考真題）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位:cm3）是（）

帕根圖

714

A.-B.—C.3D.6

33

28.（2020?海南高考真題）日辱是中國古代用來測定時間的儀器，利用與鼻面垂直的痔針投射到唇面的影子來測定

時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平

面是指過點4且與OA垂直的平面.在點4處放置一個日暮,若辱面與赤道所在平面平行，點4處的緯度為北緯40°,

則劈針與點4處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

29.（2020?全國高考真題（文））下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（)

A.6+472B.4+472C.6+2&D.4+273

30.（2020?全國高考真題（理））已知A3,。為球0的球面上的三個點，團。|為AA/C的外接圓，若回。|的面積

為4兀，48=8C=AC=OQ,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.3271

31.（2020?全國高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四

棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊

長的比值為（）

1

AV5-1RV5-1r乖+n>/5+1

4242

32.（2020?全國高考真題（理））已知M8C是面積為地的等邊三角形，且其頂點都在球。的球面上.若球。的表面

4

積為167T,則。到平面ABC的距離為（）

r-3y/3

A.J3B,-C.1D.—

22

33.（2020?全國高考真題（理））如圖是一個多面體的三視圖，這個多面體某條棱的一個端點在正視圖中對應的點為

M，在俯視圖中對應的點為N,則該端點在側(cè)視圖中對應的點為（）

A.EC.GD.H

34.（2019?浙江高考真題）祖晅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“塞勢既同，則積不容異”稱為祖眶原理，

利用該原理可以得到柱體的體積公式匕E體=，?，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖

所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm3）是

?2+2+2313—?H—3—H

正視圖側(cè)視圖

A.158B.162

C.182D.324

35.（2019?全國高考真題（理））如圖，點N為正方形A8CO的中心，△￡（?為正三角形，平面EC。_L平面

ABC。,M是線段后。的中點，則

A.BM=EN,且直線是相交直線

B.BMhEN,且直線〃是相交直線

C.BM=EN,且直線是異面直線

D.BM手EN,且直線BM,EN是異面直線

36（2019?浙江高考真題）祖咂是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“幕勢既同，則積不容易”稱為祖咂原理，

利用該原理可以得到柱體體積公式/體=5〃，其中s是柱體的底面積，力是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖所

示，則該柱體的體積是

37.（2019?浙江高考真題）設(shè)三棱錐V—A3c的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，。是棱上的點（不含端點）,

記直線必與直線AC所成角為。，直線尸8與平面48c所成角為二面角P-4c-8的平面角為/，則

A.B<y,a<yB.0<a，B<y

c.p<a,y<aD.a<<0

38.（2019?全國高考真題（理））已知三棱錐P-48C的四個頂點在球。的球面上，PA=PB=PC,朋8c是邊長為2的正

三角形，E,F分別是小,48的中點，（3CEFW0。，則球。的體積為

39.（2019?全國高考真題（文））設(shè)a,6為兩個平面，則或6的充要條件是

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與6平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與6平行

C.a,6平行于同一條直線

D.a,6垂直于同一平面

40.（2019?上海高考真題）已知平面。、了兩兩垂直，直線。、b、c滿足：aja，bqB、yy,則直線a、b、c

不可能滿足以下哪種關(guān)系

A.兩兩垂直B.兩兩平行C.兩兩相交D.兩兩異面

41.（2018?浙江高考真題）已知直線相，〃和平面a,〃ua,則“相〃〃〃是"m〃a"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

42.（2018?上海高考真題）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有-側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設(shè)AR是正六棱

柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（）

43.（2018?浙江高考真題）已知四棱錐S-必8的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段上的點（不含端

點），設(shè)題與5C所成的角為4，SE與平面ABC。所成的角為4,二面角S-A3—C的平面角為4,則

A.ox<e2<B,<e2<oxc.o}<oy<o2D.o2<e3<

44.（2018?全國高考真題（文））在長方體ABC。一中，AB=BC=2,AG與平面3片6。所成的角為

30°，則該長方體的體積為

A.8B.6夜C.8夜D.8道

45.（2018,北京高考真題（理））某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為

A.1B.2

C.3D.4

46.（2018,全國高考真題（文））某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點M在正視

圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左觀圖上的對應點為6，則在此圓柱側(cè)面上，從河到N的路徑中，最

短路徑的長度為

□□

B

A.2VF7B.2>/5c.3D.2

47.（2018?全國高考真題（理））設(shè)A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，AABC為等邊三角形且

其面積為96，則三棱錐。-A5c體積的最大值為

A.126B.18百C.24逐D.54追

48.（2018?全國高考真題（理））中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進部分叫卯眼，

圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的

木構(gòu)件的俯視圖可以是

49.（2018?浙江高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

50.（2018?全國高考真題（文））在正方體/WCO-A耳GR中，E為棱CG的中點，則異面直線AE與CO所成

角的正切值為

AV2BbC石口出

2222

51.（2018?全國高考真題（文））已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過直線RO?的平面截該圓柱所得

的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.i2>/2rtR-12冗C.807tD-IChr

52.（2018?全國高考真題（理））在長方體ABC?！校珹B=BC=1,4Al=6，則異面直線從口與。百

所成角的余弦值為

A1B756拉

5652

53.（2018?全國高考真題（理））己知正方體的校長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方

體所得截面面積的最大值為

3g2后3夜G

4342

二；填空題

54.（2021?全國高考真題（理））以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三

棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

55.（2021?全國高考真題（文））已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面積為.

56.（2020?海南高考真題）已知正方體A8CD-481GD1的棱長為2,M、N分別為881、48的中點，則三棱錐4/VMDi

的體積為____________

57.（2020?海南高考真題）已知直四棱柱4BCD-481GD1的棱長均為2,0840=60°.以。為球心，逐為半徑的球

面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

58.（2020?江蘇高考真題）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊

形邊長為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是—cm.

59.（2020?全國高考真題（文））已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體枳為

60.（2020?全國高考真題（理））設(shè)有下列四個命題：

pi：兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi).

P2：過空間中任意三點有且僅有一個平面.

P3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面用直線平面a,則mW.

則下述命題中所有真命題的序號是.

①歷八A②0八P2③「27必④?3V

61.（2019?江蘇高考真題）如圖，長方體A8CO-的體積是120,E為CG的中點，則三楂錐E-8CD的體

積是,

62.（2019?北京高考真題（理））某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上

小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：.

64.（2019?全國高考真題（理））學生到工廠勞動實踐，利用3。打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體

ABC。—挖去四棱錐O—EFG”后所得的幾何體，其中。為長方體的中心，E,F,G,〃分別為所在棱的

中點，AB=BC=6cm,AAi=4cm,3。打印所用原料密度為0.9g/oz?,不考慮打印損耗，制作該模型所需原

料的質(zhì)量為8.

65.（2019?天津高考真題（文））已知四棱錐的底面是邊長為友的正方形，側(cè)棱長均為石.若圓柱的一個底面的圓

周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為.

66.（2019?全國高考真題（文））已知MCB=90。，P為平面48C外一點，PC=2,點P到MCB兩邊AC,8c的距離均為

日那么P到平面ABC的距離為.

67.（2018?江蘇高考真題）如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為

68.（2018全國高考真題（文））已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30。,若△S48

的面積為8,則該圓錐的體積為.

69.（2018?全國高考真題（理））已知圓錐的頂點為S,母線SA,S3所成角的余弦值為:，SA與圓錐底面所成角

O

為45。，若aSAB的面積為5厲，則該圓錐的側(cè)面積為.

70.（2018?天津高考真題（理））已知正方體A8CD-A旦G4的棱長為1,除面ABCO外，該正方體其余各面的

中心分別為點E,F,G,H,M（如圖），則四棱錐M—EFG”的體積為.

71.（2019?全國高考真題（文））中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正

方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體"（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的

正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在

同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有八面，其棱長為.

圖1圖2

三：解答題

72.（2022?全國甲（文）T19）小明同學參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABC。

是邊長為8（單位：cm）的正方形，△EABqFBC/GCDeUDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD

垂直.

（1）證明：所//平面488：

（2）求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

73.（2022?全國甲（理）T18）在四棱錐尸一ABC。中，電＞_1_底面

ABCD,CD//A6,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=G

（2）求尸。與平面R43所成的角的正弦值.

74.（2022令國乙（文）T18）如圖，四面體4BCD中，4O_LCD,4O=CD,Z4O8=NBDC,E為AC的中點.

（1）證明：平面3七。_1_平面48;

（2）設(shè)MB=30=2,48=60。，點尸在BO上，當△人人?的面積最小時，求三棱錐產(chǎn)一48C的體積.

75.（2022?全國乙（理）T18）如圖，四面體A3C。中，A。J.CO,AD=C￡）,NAT后=N8OC,E為AC的中

點.

（1）證明：平面3ED_L平面ACO；

（2）設(shè)48=50=2,NACB=60。，點F在BD上,當Z\A"1的面積最小時，求C尸與平面ABZ）所成的角的正

弦值.

76.（2022?新高考I卷T19）如圖，直三棱柱4BC-AqG的體積為4,△RBC的面積為2啦.

（1）求A到平面平5。的距離;

（2）設(shè)。為A。的中點，AAi=ABf平面A6C_L平面A64A，求二面角A—9―C的正弦值.

77.（2022?新高考n卷T20）如圖，PO是三棱錐P—ABC的高，PA=PB，AB1AC,E是尸8的中點.

（1）求證：QE7/平面尸4C；

（2）若NABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—A￡—B的正弦值.

78.（2022?北京卷T17）如圖，在三棱柱”^。一A4G中，側(cè)面BCG4為正方形，平面BCCM_L平面48片A,

AB=BC=2t知，N分別為"M,AC的中點.

（1）求證：MN〃平面BCGBi：

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：ABtMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

79.（2022淅江卷T19）如圖，已知ABC。和CDE/都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=l，ZBAD=ZCDE=60°,二面角F-OC—B的平面角為60°.設(shè)M,N分別為A￡8C的中點.

（1）證明：FNLAD；

（2）求直線BM與平面4OE所成角的正弦值.

80.（2021?全國高考真題）如圖，在三棱錐4-8C。中，平面A3￡）_L平面3CQ,AB=AD.。為3。的中點.

（1）證明：OA1CD；

（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱40上，DE=2EA，且二面角E—3C—￡）的大小為45。,

求三棱錐A—BCD的體積.

81.（2021?全國高考真題（文））如圖，四棱推夕一48。力的底面是矩形，底面ABC。，M為的中點,

且P8_LAA7.

（1）證明：平面RAM_L平面08。；

（2）若PD=DC=1,求四棱錐P-A5CQ的體積.

82.（202］浙江高考真題）如圖，在四棱錐尸一A5C￡＞中，底面A3CD是平行四邊形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M，N分別為BCPC的中點，PD1DC,PM工MD.

（1）證明：ABLPM:

（2）求直線4N與平面尸DW所成角的正弦值.

83.（2021?全國高考真題（文））已知直三棱柱A5C-A旦G中，側(cè)面例8乃為正方形，AB=BC=2,邑F分

別為4c加CG的中點，BF1A.B,.

（1）求三棱錐F—EBC的體積；

（2）已知D為棱4月上的點，證明：BFA.DE.

84.（2021?全國高考真題（理））已知直三棱柱A3C—4旦G中，側(cè)面44,8產(chǎn)為正方形，AB=BC=2,E,F分

別為AC刃CG的中點，。為棱A以上的點.8/_1_4A

（1）證明：BF±DE；

（2）當與。為何值時，面34cle與面。立;所成的二面角的正弦值最小?

85.（2021?全國高考真題（理））如圖，四棱錐P—ABCO的底面是矩形，尸。_1_底面48cO,PD=DC=1,M

為8C的中點，且依_LAM.

（1）求sc；

（2）求二面角—8的正弦值.

86.（2020?海南高考真題）如圖，四棱錐P-4BCD的底面為正方形，PDJ_底面48CD.設(shè)平面外。與平面P8C的交

線為/.

（1）證明：/I平面PDC：

（2）已知PD=4D=1,Q為/上的點，Q8=a,求P8與平面QCD所成角的正弦值.

87.（2020?天津高考真題）如圖，在三棱柱4?。-4片0中，ccx_L平面ABC,ACJ_8GAe=8C=2,CC,=3,

點O,E分別在棱AA和棱CG上，且40=1CE=2,M為棱4片的中點.

（0）求證：C.MIB.D；

（回）求二面角3-4七一。的正弦值；

（0）求直線A3與平面。旦后所成角的正弦值.

88.（2020?北京高考真題）如圖，在正方體ABCO-A與中，E為BB1的中點.

（回）求證：BJ//平面ARE；

（0）求直線A4與平面所成角的正弦值.

89.（2020?浙江高考真題）如圖，三棱臺48C-0EF中，平面ACFD回平面A8C,蜘CB=MCD=45°,DC=2BC.

（I）證明：EF^DB；

（II）求OF與面。8c所成角的正弦值.

90.（2020?海南高考真題）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，PD0底面A8CD.設(shè)平面以D與平面P8c的交線

為I.

p

（1）證明：位平面PDC；

（2）已知PD=4?=1,。為/上的點，求P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

91.（2020?江蘇高考真題）在三棱錐4-8C0中，已知C8=CD=逐,8。=2,O為8。的中點，AO0平面88,40=2,E

為47的中點.

（1）求直線48與DE所成角的余弦值；

（2）若點F在BC上，滿足8F=18C,設(shè)二面角F-DE-C的大小為0,求sin。的值.

4

92.（2020?江蘇高考真題）在三棱柱。8G481考中,AB^AC,81C0平面48C,E,F分別是AC,81c的中點.

（1）求證：￡用平面A81G；

（2）求證：平面481C0平面4881.

93.（2020,全國高考真題（理））如圖，在長方體438-4與。1。中，點民尸分別在棱。。，上，且2。石=ER,

BF=2FB\.

（1）證明：點G在平面AE/7內(nèi)；

（2）若4B=2,AD=1，AA=3,求二面角A-EF-A的正弦值?

94.（2020全國高考真題（文））如圖，在長方體，46?！辏疽?4。。1中，點八”分別在棱。2，上，且2。七=印，

BF=2FB[.證明:

（1）當=時，EF±AC；

（2）點C1在平面AM內(nèi).

95.（2020?全國高考真題（文））如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，△46C是底面的內(nèi)接正三角形,

尸為。。上一點，04PC=9O°.

D

（1）證明：平面勿8回平面力C；

（2）設(shè)C0=加,圓錐的側(cè)面積為扃，求三棱錐P78c的體積.

96.（2020全國高考真題（理））如圖，。為圓鋸的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.^ABC

是底面的內(nèi)接正二角形，P為DO上.一點、,尸0=巫。。.

（1）證明：B4_L平面尸8C：

（2）求二面角3—PC—E1的余弦值.

97.（2020?全國高考真題（文））如圖，已知三棱柱a8C-4BiG的底面是正三角形，側(cè)面881GC是矩形，M,N分

別為8C,比C1的中點，P為AM上一點.過81G和P的平面交A8于E,交4c于F.

（1）證明：AA1//MN,且平面44M/V0平面E&C1F；

（2）設(shè)。為蜘181cl的中心，若八。=陽=6,4。〃平面E&GF,且IWPN=巴，求四棱錐8-EBiCiF的體積.

3

98.（2020?全國高考真題（理））如圖，己知三棱柱八8C-481G的底面是正三角形，側(cè)面8&GC是矩形，M,N分

別為8C,81cl的中點，P為4M上一點，過&G和P的平面交48于￡交4c于F.

（1）證明：AAi^MN,且平面4遇MM3EB1GF；

（2）設(shè)。為加181cl的中心，若400平面E86F,且40=48,求直線8正與平面AMMN所成角的正弦值.

99.（2019?江蘇高考真題）如圖，在直三棱柱A8c—481G中，D,￡分別為8C,AC的中點，AB=BC.

求證：（L）4B迪平面DEG；

(3)8F0QE.

100.（2029?天津高考真題（理））如圖，AEJL平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

E

O）求證：W7〃平面AOE；

（0）求直線CE與平面所成角的正弦值；

（團）若二面角七一3。一產(chǎn)的余弦值為g，求線段CF的長.

101.（2019?全國高考真題（理））圖1是由矩形八DE8,Rt附8c和菱形8FGC組成的一個平面圖形，其中48=1,8E=8F=2,

團F8C=60。，將其沿48,BC折起使得8E與8F重合，連結(jié)0G,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABCQ平面8CGE；

（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

S1圖2

102.（2019?全國高考真題（文））如圖，直四棱柱A8CD-481C1DJ的底面是菱形，.44=4,48=2,（384D=60°,E,M,

N分別是8C,BBi,4。的中點.

（1）證明：MA/0平面GD￡；

（2）求點C到平面GDE的距離.

103.（2019?全國高考真題（理））

如圖，長方體48C0-481GD1的底面ABCD是正方形，點￡在棱44上，BE^ECi.

（1）證明：8E0平面E81G；

（2）若已求二面角8-EC-G的正弦值.

104.（2019?上海高考真題）如圖，在正三棱錐P-A3c中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC

（1）若PB的中點為M，8。的中點為N,求4C與MN的夾角；

（2）求P—A3C的體積.

M

B

105.（2018?上海IWJ考真題）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為O，半徑為2.

（1）設(shè)圓錐的母線長為4,求圓錐的體積；

（2）設(shè)尸0=4,OA、。8是底面半徑，且乙4QB=90。，M為線段A5的中點，如圖.求異面直線PM與

所成的角的大小.

106.（2018?江蘇高考真題）在平行六面體48。一片qGA中，AA.=ABfAB,±.

求證：（1）AB//平面4與。；

（2）平面與4J_平面ABC.

107.（2028?江蘇高考真題）如圖，在正三棱柱48O481Q中，48=44=2,點P,Q分別為481，8c的中點.

（1）求異面直線8P與4G所成角的余弦值；

（2）求直線CG與平面4QG所成角的正弦值.

108.（2018?全國高考真題（文））如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CO上異于C，D

的點.

（1）證明：平面AMD_L平面BWC；

（2）在線段44匕是否存在點尸，使得〃平面?斑＞?說明理由.

109.（2018?北京高考真題（理））如圖，在三棱柱48C-ABC中，CGJ■平面ABC,D,E,F,G分別為AA，AC,

AC，8B］的中點，48=8C=逐，AC=AAi=2.

（1）求證：4C0平面BEF：

（2）求二面角8-CD-G的余弦值;

（3）證明：直線FG與平面8CD相交.

110.（2018?北京高考真題（文））如圖，在四棱錐尸一A8CD中，底面A8c。為矩形，平面R4￡）_1_平面48cO,

PA1PD,PA=PD，E、尸分別為A￡＞、尸8的中點.

（0）求證：PE1BC；

（0）求證：平面A4B_L平面PC。；

（0）求證：EF〃平面PCD.

111.（2018?全國高考真題（理））如圖，四邊形4BCO為正方形，瓦產(chǎn)分別為4。,BC的中點，以O(shè)R為折痕把

△DR7折起，使點C到達點P的位置，且尸產(chǎn)_LM.

（1）證明：平面平面A3/7）；

（2）求OP與平面A3FQ所成角的正弦值.

112.（2018?全國高考真題（理））如圖，邊長為2的正方形ABCO所在的平面與半圓弧co所在平面垂直，M是CD

上異于C，。的點.

（1）證明：平面平面3MC；

（2）當三棱錐ABC體積最大時，求面M48與面A/CO所成二面角的正弦值.

113.（2018?浙江高考真題）如圖，已知多面體ABC-AiBiCi,AiA,BiB,JC均垂直于平面ABC,0ABC=12O°,AiA=4,

CiC=l,AB=BC=BiB=2.

（0）證明：AB面平面AiBiCi；

（0）求直線ACi與平面ABBi所成的角的正弦值.

114.（2018?全國高考真題（文））如圖，在三棱錐P-48C中，AB=BC=2O,PA=PB=PC=AC=4,0

為AC的中點.

（1）證明：PO_L平面ABC；

（2）若點M在棱8c上，且MC=2M3,求點。到平面尸的距離.

M

B

115.(2018?全國高考真題(文))如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90°.以AC為折痕

將團ACM折起，使點M到達點。的位置，且A5D.

(1)證明：平面ACDJ_平面ABC：