量子力學(xué)考研核心題庫(kù)

一、填空題

1.描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的量子數(shù)有一:具有相同n的量子態(tài)，最多可以容納的電子數(shù)為一個(gè)。

"、1、川、3:2/1,

【答案】

2.力學(xué)量算符必須是算符，以保證它的本征值為一.【答案】厄米；實(shí)數(shù)

【解析】力學(xué)量的測(cè)量值必須為實(shí)數(shù)，即力學(xué)最算符的本征值必須為實(shí)數(shù)，而厄米算符的本征值為實(shí)

數(shù)，

于是量子力學(xué)中就有了一條基本假設(shè)一量子力學(xué)中所有力學(xué)量算符都是厄米算符.

3.(1)自由粒子被限制在X和X+1處兩個(gè)不可穿透壁之間，按照經(jīng)典物理.如果沒(méi)有給出其他資料,

則粒子在X和X4-1/3之間的概率是____.AQ2S8.033C.O"D.OG7

(2)上題中，按照量子力學(xué).處于最低能態(tài)的粒子在X和X4-1/3之間被找到的概率一.AQ11

B.O72C.Q33D.O5O

【答案】⑴8

【解析】按照經(jīng)典力學(xué)，粒子處于空間的概率密度為常數(shù)，故概率與體積成正比，/3即所求概率

⑵A

【解析】取X為原點(diǎn)，加七嶗則有波函數(shù)為

P=K(?忡=忡廣廳一&?！?/p>

9

所求概率即

4.不確定關(guān)系是微觀粒子一性質(zhì)的數(shù)學(xué)表述。

【答案】波粒二象性

s.n一維諧振子升、降算符、々的對(duì)易關(guān)系式為一;粒子數(shù)算符&與、々的關(guān)系是；哈密頓量H

用Mf或、■表示的式；N(亦即H)的歸一化本征態(tài)為

Id.o]=1：N=aa:H=|fl*a+y

【答案】

6.-"(r)fx,y,z).粒子的波函數(shù)為、“山寫(xiě)出粒子位于間的幾率的表達(dá)式

(lie

L-ZT

【答案】

二、選擇題

7.[p[止，[如既--------0M與O

【答案】

8.J2占設(shè)粒子處于態(tài)，上為歸一化波函數(shù)為歸一化的球諧函數(shù)，貝U(系數(shù)的

Af牛0；A；!力

取值為q可能值為，4—的平均值為一一。W3

【答案】

;(2dx,(1)-1；(2)2x

【答案】

1。.下面關(guān)于厄米算符的定義式中.正確的為()A?W加)：dwG?B."新-

【答案】A【解析】量子力學(xué)中力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符必須為厄米算符，這是因?yàn)榱W(xué)量算符的本征值必須

為實(shí)數(shù).

AA

印,岫二/忡)，厄米算符定義式為

11.量子諧振子的能量是()

A.En=h(o<n+l/2).B.En=to(n+l/2)

C.En=hv(n+1/2)D.En=hv(n+1/2)

【答案】A

,*II

【解析1"觀/由于諧振子的哈密頓算授為N而本征值為?〃頃+尹''于是諧振子能量為

第4頁(yè)，共47頁(yè)

匕設(shè)粒子處于態(tài)為歸一化的球諧函數(shù)，[則的平均值為

.A.-AB.-ft-h

(2?36

e1K

D.

￡

【答案】B三、簡(jiǎn)答題

xfo1)v(o-hzfio)

13.J0J[iO,(0-\)請(qǐng)用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗(yàn)證它們滿足角動(dòng)

量對(duì)易關(guān)系。

Afi-

【答案】*2即電子的自旋算符其中向，y,：。，

X4.斯特恩一革拉赫實(shí)驗(yàn)證明了什么？

【答案】(1)半整數(shù)內(nèi)稟角動(dòng)量在存在。

(2)空間量子化的事實(shí)。

(3)電子自旋磁矩需引入2倍關(guān)系。

15.寫(xiě)出測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其物理含義。

■,■I1

【答案】(W?雄)勺HB]-測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系物理含義：若兩個(gè)力學(xué)量不對(duì)易，則它們不可能同時(shí)有確定的測(cè)值。

X6.自發(fā)輻射和受激輻射的區(qū)別是什么？

【答案】自發(fā)輻射是原子處于激發(fā)能級(jí)時(shí)，可能自發(fā)地躍遷到較低能級(jí)去，并發(fā)射出光子的過(guò)程；應(yīng)受

激輻射是處于激發(fā)能級(jí)[1二偈曲的原子被一個(gè)頻率為的光子照射，受激發(fā)而躍遷到較知低能級(jí)同時(shí)

發(fā)射出一個(gè)同頻率的受激光子的過(guò)程。受激輻射的光子是相干的，自發(fā)輻射是隨機(jī)的。

L=3,?=ZiA?=n.

_L7.礦寫(xiě)出電子自旋的二本征值和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)。2（0,.1.一°

;J技一丁

【答案】

第5頁(yè)，共47頁(yè)

18.自旋可以在坐標(biāo)表象中表示嗎？

【答案】自旋是內(nèi)稟角動(dòng)量，與空間運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，故不能在坐標(biāo)空間表示出來(lái)。

珀?/（。為實(shí)常故）？歸7波函數(shù)是否可以含有任意相因子

【答案】PT」?可以。因?yàn)殪袢绻麑?duì)整個(gè)空間積分等于l,k，M則對(duì)整個(gè)空間積分也等于1。

/（"為實(shí)常教）即用任意相因子去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一

化。

%.?4）寫(xiě)出電子在外電磁場(chǎng)中的哈密頓量。肚土小浦七尹職修*

【答案】

四、計(jì)算題

21.已知厄糟簡(jiǎn)i、扁涕3』,滿足前+豳二0,且求：

（±）在第2表象中算符的矩陣表示。

（2）在表象中算符的本征值和本征函數(shù)。

（3）從A表象到B表象的么正變換矩陣S。

【答案】（（應(yīng)二1,）由于j所以算符±1,的本征值是因?yàn)樵贏表象中，A算符的矩陣是對(duì)角矩陣,

所

以,

則有七'：8

04-

-0旅

由于是厄米算符,所以:冗。)

*1O'

/4(A)二

在AA表象中算符的矩陣是04

%〃、

設(shè)在A?表象中算符如婦廠的矩陣是勸+源二()利用得:小淵二。

0如)0由于所以：辰。兒

=1

&

則有：4廣“，

0盧

令》其中為任意實(shí)常數(shù)，目得在A表象中的矩陣表示式為：第G頁(yè)，*°/

共47頁(yè)(2)類似地，可求出在84表象中算符的矩陣表示為"“

。叩、；：1I\-如％=0

在BA表象中算符的本征方程為灌。加0M即則有：e%W=0

a和0不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，段-廠?！?-I二0?則可得，=?。?"

:/二T對(duì)有:

I仔'

所以，在B』表象中算符上1的本征值是，本征函數(shù)為：或(1，

*

和河7-

(3)類似地，在成表象中算符±1,的本征值是本征函數(shù)為、又1)72-1J

從A表象到38表象的么正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即:

22.考慮兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱的或反對(duì)稱的。

空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱時(shí)對(duì)應(yīng)總的自旋平方加；本征值為空間部分波函數(shù)對(duì)稱時(shí)對(duì)應(yīng)總的自旋平方本

征值為Q”刁角巧)，假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為分別針對(duì)空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱和文寸

*2

稱兩種情形，求體系的能量。(提示：52單電子自旋角動(dòng)量平方算符i的本征值為'

2M.■如-2x3/舟.護(hù)

【答案】交廣一2—利用可知，空間部分波函數(shù)反對(duì)稱時(shí)2:7「對(duì)應(yīng)能量

E,=-A2.

0-2x3fffi23/rr_3Z?

如=------------.彳云一U0

空間部分波函數(shù)對(duì)稱時(shí)？24:對(duì)應(yīng)能量4

機(jī)圳）斗（』）輛仲

23.已知?dú)湓釉谌?時(shí)如下處于狀態(tài):

其中發(fā)〃為該氫原子的第八個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋N分量的取值概率與平均值，寫(xiě)出時(shí)的波函

數(shù)。

E二"]=|2J

第7頁(yè)，共47頁(yè)【答案】已知?dú)湓拥谋菊髦禐椤耙灰?"-4,…。：將仁。時(shí)的波函數(shù)寫(xiě)成矩

川,o）=J

陣形式：

＞：（止％

￥(])+￥*?')-%'(D]

（、）

利用歸一化條件:

產(chǎn)（小彳％卜）

-洌I）

于是，歸一化后的波函數(shù)為:

4I2

能量的可能取值為相應(yīng)的取值幾率為：叫°）一/（%°）-V（財(cái)））-

能量平均值為：如）-砂*尹習(xí)’一狎17緋MA、』-黑

2fi2|717479]5(Mfi2

「7”「廠9

hh

自旋分量的可能取值為相應(yīng)的取值幾率為:

—314'hh

0自旋N分量的平均"值〃為?'何萬(wàn)2+7、--2二---1-4介。時(shí)的波函數(shù)為:

24.設(shè)一維粒子的HaWfomZ〃耳坐標(biāo)算符為X.利用利用能量本征態(tài)的完全性關(guān)系，”日I〃、玖,加'）

（7Xo用和E.,表出，其中是能量本征值為E.,的本征矢。

藉晌，岫岫岫峙M【答案】以沁I赫’利用‘舞小方?可得岫矗

（圳壽何』、），

于是，u，即

第8頁(yè)，共47頁(yè)25.（邛）寫(xiě)出全同粒子體系的態(tài)V所滿足的交換對(duì)稱性以及隨時(shí)間演化的動(dòng)力學(xué)方

程;

（2）考慮由2叩電個(gè)全同費(fèi)米子（）組成的體系，為、七、*設(shè)可能的單粒子態(tài)為約、皿、仃試用表示

出體系可能的狀態(tài)。

【答案】（1）全同粒子系的波函數(shù)/〉=:對(duì)稱性波函數(shù)P〃二W,；反對(duì)稱性波函數(shù)。其隨時(shí)間演

化的動(dòng)力學(xué)方程唁滿，：

（2外、如、V,）用表示出體系可能的狀態(tài)如下：忙羲”四網(wǎng)J-的2）%岫

七=*［的卬佝）-機(jī)四）枷D］

似妃即%）-0（"M（q）］

,0*CTh

2G.設(shè)己知在《毗，的共同表象中，每叫，算符’’北2,01的矩陣分別為S）試在取2值

為S、的本征態(tài)下求￡的可能取值和相應(yīng)的概率及的平均值.S、

【答案】3宗和一J京'可能取得的值有況二抒設(shè)％的本征態(tài)矢為前=口則由瞄可

以解得W林

同理由是帝十￡可urn得虹時(shí)態(tài)矢為《偵”"3”技）《$為態(tài)矢"廣板（J為

S,概率為平均值為

27.粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)時(shí)=沛頃-a）設(shè)該體系受到的微擾作用。

（1）利用微擾理論求第n能級(jí)的準(zhǔn)至二級(jí)的近似表達(dá)式.（2）指出所得結(jié)果的適用條件.【答案】

（2）

8,kJv2a

一維無(wú)限深方勢(shì)阱呻

?,x<O.x>h:

哈卜L2怖*喏-g』

*

I

體系的零級(jí)近似波函數(shù)和零級(jí)近似能量x<0,x>2a

求到二級(jí)，矩陣元一般形式咒日療（1）毗。地4滄-毗％）擊

all

則第遭級(jí)的二蛔/5+疆

,27wr?,"/?”□;tnNsin-sin—/7it.2HA,*nzxvn22

eh*hJa2，匕理-理

第q頁(yè)，共47頁(yè)枷

M2四2?

___?8血shf

（2）結(jié)果適用的條件是8杼a2:A'2

即

28設(shè)質(zhì)量為皿\,°)_Kx的粒子處于勢(shì)場(chǎng)中,K為非零常數(shù),在動(dòng)量表象中求與能量E對(duì)應(yīng)機(jī)(p).的

本征波函數(shù)

【答案】顯然勢(shì)場(chǎng)不含時(shí)，屬于一維定態(tài)問(wèn)題，V(x)=-Kx而也屬于正慕次級(jí)數(shù)，故有定態(tài)方程

A

[pV(x=i.-)]Dt(p)=Bl)fC(pj

2P2zdp

I

w,hd>,iKhd.iKh

V(x=i—)=_Kx=——1令A(yù)=---

式中ndpIndp>2/r:

pg/l(p)WA=Mp卜2M3血二oy二甘,

則，式可以化為dp:?E(P)

(p：.2湖-2“A虹0

令上方程可化簡(jiǎn)為加

y=-exp[——(Ep——)]：

IIII)CPhK,6//

Q(p)=Ccxp|：；T(Ep-?)h

式解律hK6P則其中c為歸一化常數(shù)。

第功頁(yè)，共”頁(yè)量子力學(xué)考研核心題庫(kù)（二）

一、填空題

1.自旋為微觀粒子稱為斐米子，它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有一，自旋為的

I

微觀粒子稱為玻色子，它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有2

【答案】的奇數(shù)倍；；（）或1反對(duì)稱變換的整數(shù)倍；對(duì)稱變換

2.搟r）邛（勺…一粒子的波函數(shù).ir+dj則粒子位于間的幾率為一

【答案】

3?普朗克的量子假說(shuō)揭示了微觀粒子特性，愛(ài)因斯坦的光量子假說(shuō)揭示了光的一性。

【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】E="普朗克為解釋黑體輻射規(guī)律而提出量子假說(shuō)愛(ài)因斯坦后來(lái)將此應(yīng)用到了光電效應(yīng)上，并因

此獲得諾貝爾獎(jiǎng)，二人為解釋微觀粒子的波粒二象性作出了重大貢獻(xiàn)，這為量子力學(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ).

4-A當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí).測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的.測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)源于

【答案】測(cè)量的干擾

【解析】當(dāng)我們對(duì)物理量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，不可避免地對(duì)體系施加影響，而這影響將導(dǎo)致體系的波函數(shù)發(fā)生

變化，這最終導(dǎo)致對(duì)物理量的測(cè)量的不確定性.

5.總散射截面'。外，冊(cè)與微分散射截面的關(guān)系,0冬寸很，你’―

【答案】

6.費(fèi)米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有

【答案】對(duì)稱性；反對(duì)稱性

二、選擇題

7.A對(duì)力學(xué)量進(jìn)行測(cè)量?要能得到確定結(jié)果的條件是()

A.體系可以處于任一態(tài)

B?%體系必須處于宏觀態(tài)

第~頁(yè)，共47頁(yè)C.Z力學(xué)量必須是守恒量

P-A體系必須處于的本征態(tài)

【答案】D

【解析】若對(duì)力學(xué)量的測(cè)量得到的是確定結(jié)果，則要求體系必須處于定態(tài)，而處于定態(tài)的條件即」體系

處于力學(xué)量對(duì)應(yīng)的本征態(tài).

8.-維運(yùn)動(dòng)中，腥土+Pd),求"卜‘加，"卜？哈密頓量

W小如心土如多％'(1)]*S

【答案】

4?量子力學(xué)中的力學(xué)量用一算符表示，表示力學(xué)量的算符有組的本征函數(shù)。

【答案】厄密；完全系

::R2cA

Awr假定角動(dòng)量平方算符他：的本征值分別為日’，和7=八7..如果j則可能是本征值的選

一A.k膈'-ft2.島B.切味味如

擇為（44444444

【答案】c

.類氫原子問(wèn)題中，Ze,4）設(shè)原子核帶正電核為為原子的波爾半徑，對(duì)處于基態(tài)的電子，其出現(xiàn)幾

率最大的徑向坐標(biāo)位置是（

A.

B.aJ2Z

q）/3Z

P.

【答案】B

12.彳和c如果是厄米算符，M'iACJM；并且則下列是厄米算符為（

A.ACB.CA

C?AOCA

第12頁(yè)，共47頁(yè)、2p"]

【答案】C三、簡(jiǎn)答題

13?什么是量子躍遷?什么是選擇定則？線偏振光和圓偏振光照射下的選擇定則有什么區(qū)別？【答案】

量子躍遷是指在某種外界作用下，體系在不同的定態(tài)之間躍遷。

選擇定則：從一個(gè)定態(tài)到另一個(gè)定態(tài)之間的躍遷概率是否為零，也即躍遷是否是禁戒的。

線偏振光選擇定則出二士1,偵二0;:圓偏光選擇定則A/-士I,M~±]。：

14.放射悔旨的是束縛在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出來(lái)，你認(rèn)為這與什么量子效應(yīng)有

關(guān)？

【答案】與量子隧穿效應(yīng)有關(guān)。

15-?仇乃)波函數(shù)機(jī)擠是用來(lái)描述什么的？它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理含義是什么？

【答案】波函數(shù)是用來(lái)描述體系的狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之外，它還應(yīng)該是W」)|單

值、有限和連續(xù)的。，表示在時(shí)刻出附近體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。

X6.反常塞曼效應(yīng)的特點(diǎn)，引起的原因。

【答案】原因如下：

(1)堿金屬原子能級(jí)偶數(shù)分裂；

(2)光譜線偶數(shù)條；

(3)分裂能級(jí)間距與能級(jí)有關(guān)；

(4)由于電子具有自旋。

17.什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么？

【答案】定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)，其性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時(shí)間的力學(xué)量的取值幾率和平均值不隨時(shí)

間改變

18.以能量這個(gè)力學(xué)量為例，簡(jiǎn)要說(shuō)明能量算符和能量之間的關(guān)系。

【答案】在量子力學(xué)中，E能量0用算符表示，En當(dāng)體系處于某個(gè)能量咖的本征態(tài)時(shí)，《算符對(duì)(D”態(tài)的

作用是得到這一本征值，：為即中當(dāng)體系處于一般態(tài)時(shí)，”算符Q對(duì)態(tài)的作用是得到體系取不同能量本

征值的幾率幅(從而就得到了相應(yīng)幾率X

M如果算符廣，表示力學(xué)量戶那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，問(wèn)該力學(xué)量是否有確定的值？

【答案】是，，?其確定值就是v在本征態(tài)的本征值。

第23頁(yè)，共47頁(yè)8.】坐標(biāo)I分量算符與動(dòng)量P分量算符的對(duì)易關(guān)系是什么？并寫(xiě)出兩者滿足的測(cè)不準(zhǔn)

關(guān)系。

【答案】前.，卜血對(duì)易關(guān)系為榭紋匕'測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為

四、計(jì)算題

21.￡3已知分別為電子的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量J=Us,為電子的總角動(dòng)量。E,A/,()?叫的共同本

征態(tài)為如，證明sL是的本征態(tài)，j=/41/2ffl；=/-1/2并就兩種情況分別求出其相應(yīng)的本征值。尸”+『+22

危十3碎4+2打

［答案］兩寸已頊〃4)心危(/堀-哪)缸=?如)如)』借

那“仞+1/2

二|12

-亍”橢，B-I/2(W)

22.Q表緣的基矢有兩個(gè)｛如V2),:F算符有如下性質(zhì)：如二30+2竹:F(p廣詢

(1)求QF表象中的本征值和本征函數(shù)；

173

(2“一/*亍如)已知粒子狀態(tài)為F求測(cè)量力學(xué)量的可能值及相應(yīng)的概率和平均值.【答案】(1)

先算出該算符在Q表象中的矩陣元孔二伽淋）響|3饑+2時(shí)二3.灼響斕）可務(wù)陶=2

灼二饑閥）=0詢+2亦2

丫㈣混）=（料闖=。

Su

'32岡F

設(shè)其本證函數(shù)為

12Q[C2J

E=-l\（1]

由久期方程%；=4解得為再代回可得G=-l,J5?2J

對(duì)應(yīng)本征函數(shù)為F>=4.

\(2

對(duì)應(yīng)本征函數(shù)為

(2戶)粒子的力學(xué)量可能取值即其本征值.

牛細(xì)；

第14頁(yè)，共47頁(yè)2”由題意4二T

時(shí)邛f為時(shí)

■k<=1相應(yīng)概率為

.|x(x<0)

23.Axe*取為試探波函數(shù)，'")=|,.(“0)應(yīng)用變分原理估算粒子在勢(shì)場(chǎng)中的基態(tài)能量.以A、A、E

上表達(dá)式中均為常數(shù)，X>0,￡>0,且

【答案】布卜血試探波函數(shù)J"(現(xiàn)(X)公川網(wǎng)4=億利用波函數(shù)的歸一化從而￡(2)-F(x)WA(x)

(ir=卜A-)yy+a)xe,Jdx二孕~+奇

址。

腥對(duì)，￡(小絲津二竺二牛4

由可得(濟(jì)1，代入可得基態(tài)能量2"U4；4\3卬J

24.考慮相距2久帶電為。和一。的兩個(gè)粒子組成的f電偶極子，再考慮一個(gè)質(zhì)量為叭帶電為。

的入射粒子，其入射波矢k垂直于偶極子方向，見(jiàn)圖求在玻恩近似下的散射振幅，并確定微分散射截面

取最大值的方向。

圖

【答案】上丁電偶極子勢(shì)能為

伽。制由??近似有散射振幅為。㈣=1/腕晶卜"叫

散射微分截面為【積分未完成】冷或

式中此即所求表達(dá)式.

2s?W（頑《寸”）F5頊的設(shè)一維諧振子的初態(tài)為即基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)疊加，0其中為實(shí)參數(shù).

（1）求tv、I時(shí)刻的波函數(shù)（2）求七時(shí)刻處于基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的概率.

第IS頁(yè)，共47頁(yè)（3V（,I））求演化成臨?所需的最短時(shí)間

￡=n+-h（o

【答案1（1）一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)”（2,

o⑴哧日，/?,虬二底日

A（r,O=yCi（D.（r）f"

任意時(shí)刻/Y的波函數(shù)可表示為

g°

已知t=（2）叩”％響時(shí)刻的波函數(shù)是弓=網(wǎng)加”，收

,9A.6

.z_Cn=cos-,C.=sm-

由得。212,

在心。1的本征態(tài)的相應(yīng)能量分別為^^勺飛時(shí):

則任意時(shí)刻t的波函數(shù)可以表示為如巾％血?jiǎng)P

（2））C。卜仲J-時(shí)刻處于基態(tài)的幾率為B”in；處于第一激發(fā)態(tài)的幾率（3/*）設(shè)機(jī)M）二一機(jī)印），時(shí)刻

A

粒子的波函數(shù)是即cosOr(x)e%+sin?QU)e"%(n=1,23,...)

二嚴(yán)"cos?叩廣項(xiàng)叔(小"

I,L

_W-如?

___A_____

2（2。-1）1

N=----------

可得（0解得

所以當(dāng)〃門時(shí)有最小時(shí)間，血、即

26.戚分別在表象中，心4和求出的矩陣表示，們并求出由。、表象到表象的變換矩陣。

【答案】（珂）在。表象中應(yīng)為對(duì)角矩陣，對(duì)角元為的本征值，。頊由q知的本征值為土i,故

fl01.（a

?，=105c、*=[c

r令包因是厄米算/L

符sc<（ab

、',小Z小有技，伯，所以即公d為實(shí)數(shù)日M,

（ab\

aC?Af\

因此有2A）=°，

rlOp限Ja叩0]

由有I。-i卜Jo-?/

所以。=?〃，即〃二。；d=-即d二。。

fOh

孔，0

‘0/、

o1所以。=o,取則:

1OYoe10叫I

今”廣站）=另&oJvoAc

（0*'

V0>

a=0.

.or0-1、

0j貝人（比較在表象中“一

JO）

1（P

（01

J）-I方法同上。先令（7..'°）再求得“

（2們）在表象中，最后求得

（3弓）下面求由j表象到表象的變換矩陣。們

的本征值妒皿祁”％

0

求的本征矢，4=1,對(duì)于本征值偵設(shè)其基矢為有：V'i'

=>a=b(!''

0人”讓

■±P＞再歸一化，得,'以。：A=-l,

J1

對(duì)于本征矢可得’■富(-產(chǎn)J：：

111

U=

所以，變換矩陣為一由建-兒。：［=1,

1(11)

取有、饑1TJ:

27.平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，設(shè)繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，ir-v,,g:Q-?(i)受到的微擾作用，求體系激發(fā)定態(tài)能量的一級(jí)

近似。

【答案】受到微擾之前，、害系統(tǒng)波函數(shù)為”21對(duì)應(yīng)能量為

對(duì)于所有激發(fā)態(tài)能級(jí)，其簡(jiǎn)并度為二設(shè)婷=0*2佇對(duì)應(yīng)零級(jí)近似波函數(shù)為可姑斗5,

容易得到

則5州)孔

第頁(yè)，共頁(yè)心二〃岫

1747HH\.n=Vo

HpYG

于是有方程H-八看

3

再由久期方程

解得g:

戲虬

故體系激發(fā)態(tài)定態(tài)能量的一級(jí)近似為,加2/，2/"；即能級(jí)簡(jiǎn)并消失了，每個(gè)激發(fā)態(tài)能級(jí)都分裂成了兩個(gè)能

級(jí)。

28&、缶與$設(shè)是自旋為1/2的粒子的沿x、g與Z軸的自旋算符，0而是某一角度.(ISESyLjSz)

寫(xiě)出粒子的自旋算符杖.在表象中的的矩陣形式;

exp'exp:

(2/)將述算符的乘積化簡(jiǎn)為粒子自旋算符的線性組合.

0

I0；-1/(1)?

(2J恥3+|尚|十祐優(yōu)所|+;)由公式且/岫m

W二應(yīng)％

I

其中n為正整數(shù)，則上式即燈n!I

*3毛

h?

AA/AAAA/MAAAinA題中

f岫*傳I

i

利用公式

N箱』2,魅U

則丁厚」二丁[-五二必

習(xí)a廣兩]品睪&￡]二-夜

aA=[&$]=平【系贊JT&/7

第1,頁(yè)共“頁(yè)守優(yōu)割=早氐或曲頃成

第18頁(yè)，共47頁(yè)h

am=(-1)WF我廣(T)"『￡

I

v

IkIV,

亍（?1廣?知&、（-

結(jié)合可得*+聿[。帚1)|5麗或

D?藉

（加T）!+

（2n）!

第心頁(yè)，共47頁(yè)量子力學(xué)考研核心題庫(kù)(三)

一、填空題

1.對(duì)一個(gè)量子體系進(jìn)行某一物理量的測(cè)量時(shí)，所得到的測(cè)量值肯定中的某一個(gè)，測(cè)量結(jié)果一

般來(lái)說(shuō)是不確定的.除非體系處于—e

【答案】本征值；定態(tài)

【解析】物理量的測(cè)量值應(yīng)該對(duì)應(yīng)其本征值，對(duì)于非定態(tài)，由于它是各個(gè)本征態(tài)的混合態(tài)，這就導(dǎo)致物

理量的測(cè)量值可以是它的各個(gè)本征值，測(cè)得各個(gè)本征值滿足一定概率分布，只有當(dāng)體系處于定態(tài)，即位

于該物理量對(duì)應(yīng)的本征態(tài)，測(cè)得值才有可能為確定值.

2.玻恩關(guān)于波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的基本論點(diǎn)T)

【答案】物質(zhì)的本源是粒子；波動(dòng)性是指微觀粒子處于某一物理量值的統(tǒng)計(jì)幾率

ih,X<0

0.0<r<a

y(x)

?<v<

如圖所示，有一勢(shì)場(chǎng)為b

:，當(dāng)粒子處于束縛態(tài)時(shí)，￡的取值范圍為'

圖0<￡<W2

【答案】

4?V%（Mo）=%（,）”又印）為氫原子的波函數(shù)（不考慮自旋）卜吊1,分別稱為一■子數(shù)—一

量子數(shù)——■子數(shù)，它們的取值范分別為.—.

【答案】主；角；磁1,2,3,...：0.1.2.n-1；A/-7—.-/+W；

5?（1v（K））體系處在用歸一化波函數(shù)描述的狀態(tài)且此波函數(shù)可以按力學(xué)量A所對(duì)應(yīng)的厄米A算

符的本征函數(shù)系展開(kāi).巾二況小，即儼認(rèn)為是歸一的，Ck則決定系數(shù)的表達(dá)式為

（2）題（1每）中設(shè)A是算符的本征值，則力學(xué)量AA二的平均彳一。

（3）題（1）中當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行力學(xué)量A測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的.但測(cè)量得到某一結(jié)扁果

的概率為

【答案】（14=（o（加（動(dòng)）

第2。頁(yè)，共47頁(yè)【解析】的必伽由題意物在上式兩邊乘以并積分得

（徊,仇.1））二J?；⑴方0",

（40）=%

考慮到正交歸一化條件有&⑴，J&））二仙（職0（洶=4

sAJcJ）砧饑如）

【解析】由平均值定義式（40）二如以及正交歸一化條件有

A（&楓么伽曲湖），景相誠(chéng)姑j.

（3ir）為確定偈。湘s

【解析】由題意機(jī)x）在上式兩邊乘以并積分得饑⑴十⑴）二質(zhì)⑴2皿（油

（）0）吭

考慮到正交歸一化條件有0⑴M[））=fA⑴豺（.燦=q

伽），機(jī)x）尸機(jī)，

而概率應(yīng)該為為定值.

6.判別一個(gè)物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標(biāo)準(zhǔn)一o

【答案】當(dāng)物理體系的作用量與A相比擬時(shí)，該物理體系視為量子體系；當(dāng)物理體系的作用量遠(yuǎn)/J大

于時(shí)，視為經(jīng)典體系。

二、選擇題

7.量子力學(xué)中的力學(xué)量用一算符來(lái)表示，量子力學(xué)中的力學(xué)量算符的矩陣一_陣。

【答案】厄米；厄米

8.給出如下對(duì)易關(guān)系：P'Py卜---------V'Pz卜-----------[y禹卜---------

即門]二一FPz]=-----------------------

0ihilvc-2ia:i/ipx

【答案】

7?如果算符/;表示力學(xué)量忻那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有一A這個(gè)慎就是相應(yīng)

的

【答案】確定值；本征值

功Kp.』=；［p"pj一：&,敏二一;彳&￡］二一.；［如幻-質(zhì)0；的;0；0_

【答案】

第21頁(yè)，共47頁(yè)1婦1考慮個(gè)無(wú)相互作用的玻色子處在一維無(wú)限深勢(shì)阱中，N粒子質(zhì)量為

-?/2<A<（〃2.勢(shì)阱范圍為則體系的基態(tài)能量是（xA"%汨，亦B.IrTCIliner

C.frichnc'

D./i￥/V/W

E.&N/2伽2

【答案】E

_L2.j角動(dòng)量算符jxj=滿足的對(duì)易關(guān)系為「坐標(biāo)每和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系是（,

■

ihj；艱-由二山

【答案】

三、簡(jiǎn)答題

X3.簡(jiǎn)述波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋。

【答案】波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。

14頃與耕、對(duì)（農(nóng)。均為常數(shù)）波函數(shù)是否描述同一狀態(tài)？V

【答案】K//、步與描寫(xiě)的相對(duì)概率分布完全相同，描寫(xiě)的是同一狀態(tài)。

.如果一組算符有共同的本征函數(shù)，且這些共同的本征函數(shù)組成完全系，問(wèn)這組算符中的任何一個(gè)

是

否和其余的算符對(duì)易？

■AH**

【答案】不妨設(shè)這組算符為R3'C???，?，，.{〃，完全系為，人公以1婦舲8〃依題意?！ㄟ?

??,S

-即時(shí)（篇項(xiàng)）豳項(xiàng)也二Z（W54M=0

則對(duì)任意波函數(shù)有:

可見(jiàn)，這組算符中的任何一個(gè)均和其余的算符對(duì)易。

-i](\0、

（T=,0T=,0=.

1G.S寫(xiě)出在表象中的泡利矩陣。,[|oj'U0,'[o-l）

【答案】

17.將描寫(xiě)的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的體系量子狀態(tài)是否改變？

【答案】LBon;不改變。根據(jù)對(duì)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，描寫(xiě)體系量子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定

要在空間中的某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的概率總和等于1,因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)概率只

決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的相對(duì)強(qiáng)度。

18.非相對(duì)論量子力學(xué)的理論體系建立在一些基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，試舉出二個(gè)以上這樣的基本假設(shè)，并

簡(jiǎn)述之。

【答案】（1）微觀體系的狀態(tài)被一個(gè)波函數(shù)完全描述，從這個(gè)波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。

第22頁(yè)，共47頁(yè)波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個(gè)條件。

（2）力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的

算符，p由經(jīng)典表示式中將動(dòng)量-iFIV換為算符得出。表示力學(xué)量的算符組成完全系的本征函數(shù)。

（3中）將體系的狀態(tài)波函數(shù)F用算符?的本征函數(shù)展開(kāi):

甲=方河+fc,岫|辯神廣餉，^=M）

%

則在&盔中測(cè)量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是久T/+以得到結(jié)果在“d旗范圍內(nèi)的幾率是

（4"〃一）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定譜方程/i其中是體系的哈密頓算符。

（5-）在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理\

以上選三個(gè)作為答案。

功.什么是隧道效應(yīng)，并舉例說(shuō)明。

【答案】粒子的能量小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)，。如金屬電子冷發(fā)射和衰變現(xiàn)

象都是隧道效應(yīng)產(chǎn)生的。

8.機(jī).P）二戒中""+0（溟'什么是定態(tài)？若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為中（X,（）問(wèn)是否處于定態(tài)？【答

案】體系能量有確定的不隨時(shí)間變化的狀態(tài)叫定態(tài)，定態(tài)的概率密度和概率流密度均不隨時(shí)間變化.

不是，體系能量有E和-E兩個(gè)值，體系能量滿足_定概率分布而并非確定值.

四、計(jì)算題

電子波函數(shù)可表示為簡(jiǎn)要說(shuō)明其物理意義。

代表（自旋向上）的狀態(tài)波函數(shù)、1,h

2代表（自旋向下）的狀態(tài)波函

訕冊(cè)，代表自旋向上的概率偵J、代表自旋向下的曜，歸-化表示為印祐一時(shí)肝5:

22.3三個(gè)自旋為的全同粒子，Km廣了“優(yōu)+心”在一維位勢(shì)中運(yùn)動(dòng)。

給出這三個(gè)粒子體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量及相應(yīng)的本征矢（諧振子波函數(shù)以表示x

（2）它們的簡(jiǎn)并度分別是多少？

〃+;）/的，膈，伽。）

Kflffia（l）o伽（2）%伽叫

外=加網(wǎng)）''伽⑵做

第23頁(yè)，共47頁(yè)*2,忙I?；鶓B(tài)'叩1）伽）咀脾）叩3渺⑶

=,低（1M2）制2出（3顧）-林（購(gòu)3侃（13出（2）貝2）

+電（2郵陶23州伽仰

險(xiǎn)4財(cái)M（2）制2岫）則-缶（1出⑶扁（13）叩2）陽(yáng)）

v3

H網(wǎng)（3篇例監(jiān)叼

第-激發(fā)態(tài)心，村。5書(shū)岫函⑵收）-恤。心洲神）

地（2比⑶彳行珈：⑴期］新廣占此（胸2）源⑵電（3）'⑶叫加3）為倡）煩2昭（2）

地例⑶扁（23*⑴剛

外奇地）扁（12財(cái)3M3）f（l州⑶扁（13也（2網(wǎng)2）州例（姑（23）州處⑴］

影=4"）W）扁（媽⑶四3）*（1州⑶奶伽2）

州⑵"3）益（23）州例］

(2)基態(tài)二重簡(jiǎn)并，第一激發(fā)態(tài)四重簡(jiǎn)并。

23?%,%，。：，對(duì)于描述電子自旋的泡利矩陣

(10)在oJIGv表象中求的歸Tt本征函(2(cosa.cosp.cosy))若為某一方向余弦，

SFCOsHqc邱"wy證明算符的本征值為土，，說(shuō)明其物理意義.

(3)對(duì)于兩個(gè)電子組成的體系，t)別I)若用分別表示單電子自旋平方和自旋N分量的共同本征態(tài),

X-I1)-1I)證明態(tài)矢量是體系總自旋平方的本征態(tài).

'0r-i(\

AA

【答案】((句)在表象中

[11%70Qo-i/

由弓和由WP二加[二_L,的本征方程如很容易求得的本征值與本征矢：

f)；

(26=C0Sa(Tx+COS的,+COSW：

(0-i\(l0、cosycosa-icc

z+icos"-cos,

E(p=Z(p

的本征方程

COS/cosa-icos")q

icosa+icos/?弋。力心

第24頁(yè)，共47頁(yè)

可得，z2=cos2atcos2/?+cos7=b2二±I

其物理意義即電子自旋的泡利算符，在空間任意一個(gè)方向的投影只能取兩個(gè)值士:

(3)曲合角動(dòng)量表象中，的蓬總自旋的，h),卜)枷的共同本SES")=|竹)，|IT)=|J)其中

臥押川州，I嘩押)刊]

1])=|w)+|5)Mio),

則題中“)成丫是的本征態(tài).

24.質(zhì)量為RA(|)的粒子處于角頻率為的一維諧振子勢(shì)中.

(肩寫(xiě)出在坐標(biāo)表象中的哈密頓算符，本征值及本征函數(shù)(可不歸一化).(6)寫(xiě)出在動(dòng)量表象中的胎

密頓算符.

〃I.o(p4p)

(c)證明在動(dòng)量表象中，哈密頓算符的矩陣元為m2cp-

【答案】(々2mdr2)在坐標(biāo)表象中一維諧振子的哈密頓算符為4=w+-h(ottjr片雄姑

覽(陶

<2)

本征值和波函數(shù)一2”,

(廣乙量表象中坐標(biāo)算符可表示為則一維諧振子的勢(shì)能為2

2dp

H二

則哈密頓算符為物2dp,

1-、韌瓣?^旦笠芝田（，恂頊釁）

穌『丁3濂、

?條擔(dān)聿壬四度莘5ft傘喜翡夠$￥事勤密別壬甲

1-00

0-I

、0/—07

1-0’0Io'壬田（工）【強(qiáng)易】

I乎?

00I0

(000I0,

。?而氽者逐翹風(fēng)型以叫壬辱函朝（＜rii￡）

,舉風(fēng)￡醇身。V?51冶軍車風(fēng)￡悝，＜111。=3豚印斟畦鑿皿（乙）亞公白著也sc盅

竺崟卻I引（MS功竟項(xiàng)目冶'置原王亞傘倒〈岫母1?導(dǎo)（勺'皆）耳

顯^^半別風(fēng)￡辱$朋二H'（善翎

審閔聘X*）中醐M丑財(cái)辱串劄好fl?=fl'劌田目回互麹鶴’占辱^J=s鼻壬喜型目一事差S3

dpiIU[dpi,HU

（d頊）9%W（0"）9節(jié)RdQ希由伽廠》如；3二

&區(qū)耍至也堅(jiān)制^^的澇別中辱至喜庾五（o）

-Mi,q=,gBh

II）二。二：附島+叩;

而故*就子的態(tài)為好*無(wú)*+嚴(yán)&+*

”）

|1-1）=0二!魄13/2+八］,（3UJ

i2pj（1■啊））「=,燦+,+!次，=」-cosg時(shí)）

由于故所求概率為4244

2G.求電荷為q的一維諧振子在外加均勻電場(chǎng)E中的能級(jí)，H二/航+/A2廣例.哈密頓量為

,,/rl,2

【答案】A-=A-Xo.x0=?E>-記。2"2A則哈密頓量可時(shí)的哈密頓量相比,相差一常數(shù)，且X,

PF,p\換為對(duì)易關(guān)系不變，而這不影響原有的能級(jí)，所以

E?=67+J）/>"」他R=（時(shí)'）梅-

第2G頁(yè)，共47頁(yè)切

27.對(duì)于一個(gè)限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中的自旋為1/2、質(zhì)量為m的粒子，計(jì)算基態(tài)與第二激發(fā)態(tài)的

本征能量及相應(yīng)的本征態(tài)波函數(shù).

【答案】這是一個(gè)三維方勢(shì)阱問(wèn)題，例子波函數(shù)為仰..詞=峋噢硼：）s