信息必刷卷04（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷04（北京專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷（北京卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動向：試卷的題型與去年高考題型一致，即10道選擇、5道填空、6道大題的試卷結(jié)構(gòu)所占分值分別為40分、25分、85分。試卷由基礎(chǔ)題、中檔題以及少量拔高題組成。高考·新考法：試卷既對數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想）做了全方位的考查，同時滲透考查新課程改革中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了北京高考對能力的全面考查。命題·大預(yù)測：本套試卷60%左右為基礎(chǔ)題，解答題側(cè)重對綜合能力的考查，強調(diào)數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)，不僅考查了具體的數(shù)學(xué)知識，更突出了數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用和六大核心素養(yǎng)的考察，這有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，提升解決問題的能力。（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．5．過點的直線與圓相交于兩點，那么當(dāng)取得最小值時，直線的方程是（

）A． B． C． D．6．設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．28．2023年，甲、乙兩公司的盈利規(guī)律如下：從2月份開始，甲公司每個月盈利比前一個月多200萬元；乙公司每個月盈利比前一個月增加.記甲、乙兩公司在2023年第個月的盈利分別為，（單位：萬元）.已知，，則最大時，的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方體表面上的動點，且.設(shè)動點的軌跡為曲線，則（

）A．是平行四邊形，且周長為B．是平行四邊形，且周長為C．是等腰梯形，且周長為D．是等腰梯形，且周長為第二部分（非選擇題共92分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線過點，則拋物線的準線方程為.12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則常數(shù)的一個取值為．13．若的展開式中存在常數(shù)項，則正整數(shù)的一個取值是，且此時常數(shù)項等于.（用數(shù)字作答）14．在三棱錐中，底面，則異面直線與所成角的大小為；點到平面的距離為.15．已知無窮數(shù)列滿足.給出下列四個結(jié)論：①存在，使得集合中有無窮多個元素；②存在，使得集合中有有限個元素；③對于任意的，集合中至多有一個元素；④當(dāng)時，集合.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在中，，，.(1)求，的值和的面積；(2)求的值.17．（14分）如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．18．（13分）隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計如下：使用AI大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計概率.(1)從該地區(qū)教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；(2)從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為，比較的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明）19．（15分）已知橢圓的左焦點為，點，三等分橢圓的短軸，且.(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)過點作與軸不垂直的直線與橢圓交于點，，橢圓上是否存在點，使得恒有？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.20．（15分）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.21．（15分）已知有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項，第項，，第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的長度為的子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的長度為1的子列，若數(shù)列的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列為完全數(shù)列.設(shè)數(shù)列滿足.(1)判斷下面數(shù)列的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；數(shù)列①：；數(shù)列②：.(2)數(shù)列的子列長度為，且為完全數(shù)列，證明：的最大值為6；(3)數(shù)列的子列長度，且為完全數(shù)列，求的最大值.絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷（北京卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動向：試卷的題型與去年高考題型一致，即10道選擇、5道填空、6道大題的試卷結(jié)構(gòu)所占分值分別為40分、25分、85分。試卷由基礎(chǔ)題、中檔題以及少量拔高題組成。高考·新考法：試卷既對數(shù)學(xué)思想（函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想）做了全方位的考查，同時滲透考查新課程改革中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了北京高考對能力的全面考查。命題·大預(yù)測：本套試卷60%左右為基礎(chǔ)題，解答題側(cè)重對綜合能力的考查，強調(diào)數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng)，不僅考查了具體的數(shù)學(xué)知識，更突出了數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用和六大核心素養(yǎng)的考察，這有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維，提升解決問題的能力。（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故，故選：A2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】，因為其為純虛數(shù)，則且，解得.故選：B.3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，令，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，B正確；對于C，函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)性有增也有減，C錯誤；對于D，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，，，函數(shù)在上一定不是減函數(shù)，D錯誤；故選：B.4．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：D.5．過點的直線與圓相交于兩點，那么當(dāng)取得最小值時，直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得圓的標(biāo)準方程為，則圓心.過圓心與點的直線的斜率為.當(dāng)直線與垂直時，取得最小值，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故選：C．6．設(shè)，為非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，模長相等，但它們的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，則，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.7．若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】因為漸近線方程為，所以，所以，故選：C.8．2023年，甲、乙兩公司的盈利規(guī)律如下：從2月份開始，甲公司每個月盈利比前一個月多200萬元；乙公司每個月盈利比前一個月增加.記甲、乙兩公司在2023年第個月的盈利分別為，（單位：萬元）.已知，，則最大時，的值為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，，則，令，則，，因此當(dāng)時，；當(dāng)時，，即最大，所以當(dāng)最大時，.故選：B9．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線與相切于點，由，則，所以切線方程為，又切線過，所以，解得，所以，作出及切線的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時，成立.故選：D10．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為正方體表面上的動點，且.設(shè)動點的軌跡為曲線，則（

）A．是平行四邊形，且周長為B．是平行四邊形，且周長為C．是等腰梯形，且周長為D．是等腰梯形，且周長為【答案】D【解析】分別取的中點，連接，則∥∥，∴四點共面若為面上的動點，由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，此時的軌跡為線段；若為面上的動點，由正方體易得，平面平面，且平面平面，要使，則只需，因為分別是的中點，易證，故此時的軌跡為線段；所以動點的軌跡曲線為過點的平面與正方體各表面的交線，即梯形.因為正方體的棱長為2，所以.所以曲線為等腰梯形，且周長為.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線過點，則拋物線的準線方程為.【答案】【解析】由題可得，，故.故拋物線的準線方程為.故答案為：12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則常數(shù)的一個取值為．【答案】（答案不唯一）【解析】舉例，此時，則，則的圖象關(guān)于直線對稱，故答案為：（答案不唯一）.13．若的展開式中存在常數(shù)項，則正整數(shù)的一個取值是，且此時常數(shù)項等于.（用數(shù)字作答）【答案】3（答案不唯一）12（答案不唯一）【解析】二項展開式的通項公式為，若展開式中存在常數(shù)項，則，，且，所以滿足條件的一個，此時，常數(shù)項為.故答案為：3；14．在三棱錐中，底面，則異面直線與所成角的大小為；點到平面的距離為.【答案】/【解析】在三棱錐中，底面，，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，設(shè)異面直線與所成角為，則,由于，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以點到平面的距離為故答案為：，15．已知無窮數(shù)列滿足.給出下列四個結(jié)論：①存在，使得集合中有無窮多個元素；②存在，使得集合中有有限個元素；③對于任意的，集合中至多有一個元素；④當(dāng)時，集合.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】②③④【解析】分析結(jié)論①，假設(shè)存在使得集合中有無窮多個元素.當(dāng)時，.那么，因為，所以，則.這意味著一旦，后面的項不可能再無限次地小于，所以①錯誤.分析結(jié)論②，假設(shè)存在使得集合中有有限個元素.由，當(dāng)時，，.如果，那么數(shù)列從第二項起都大于，即集合中只有有限個元素（可能為個或個），所以②正確.分析結(jié)論③，假設(shè)時，則.，因為，所以，.所以對于任意的，集合中至多有一個元素，③正確.分析結(jié)論④，當(dāng)時，，，.通過計算發(fā)現(xiàn)恒成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，，成立.假設(shè)當(dāng)時，成立.則，所以.又，所以當(dāng)時也成立.所以當(dāng)時，集合，④正確.

故正確結(jié)論的序號是②③④.故答案為：②③④三、解答題：本題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在中，，，.(1)求，的值和的面積；(2)求的值.【解析】（1）由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，進一步；（2）由余弦定理可得，，因為，所以，而，從而.17．如圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點．

(1)求證：平面；(2)若，，，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）如圖，取的中點，連接,因E、F分別為、的中點.，則又故即得四邊形為平行四邊形,則,因平面，平面，故平面；（2）因為在直三棱柱中，，，所以AB⊥AC，所以兩兩垂直，則以A為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

又，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活．在教育領(lǐng)域，AI的賦能潛力巨大.為了解教師對AI大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機抽取了200名教師，對使用A、B、C、D四種AI大模型的情況統(tǒng)計如下：使用AI大模型的種數(shù)性別01234男427231610女648272415在上述樣本所有使用3種AI大模型的40人中，統(tǒng)計使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型種類ABCD人次32303028用頻率估計概率.(1)從該地區(qū)教師中隨機選取一人，估計至少使用兩種AI大模型（A、B、C、D中）的概率；(2)從該地區(qū)使用3種AI大模型（A、B、C、D中）的教師中，隨機選出3人，記使用B的有人，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)男，女教師中各隨機選一人，記他們使用AI大模型（A、B、C、D中）的種數(shù)分別為，比較的數(shù)學(xué)期望的大?。ńY(jié)論不要求證明）【解析】（1）記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計.（2）記事件為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型B”，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，.的可能取值為，，，．.的分布列為0123.（3）由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120，則易求，，故.19．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)過點作與軸不垂直的直線與橢圓交于點，，橢圓上是否存在點，使得恒有？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）根據(jù)題意可知，可得；又，解得；因此，所以橢圓的標(biāo)準方程為；（2）由題可知直線的斜率存在，不妨設(shè)斜率為，即，，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，易知；由韋達定理可得；所以，；若，可得，所以對于恒成立；即，也即，因此可得，解得，而點0,1在橢圓上，即存在點滿足題意.20．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）因為，所以，所以曲線在點1,f1處的切線的斜率為，又，所以函數(shù)在1,f1處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為0,+∞.因為，所以，令f'x<0，解得，令f'所以的減區(qū)間為0,1，增區(qū)間為1,+∞.（3）因為對任意的x∈1,+∞，都有，所以，令，由（2）知，在1,+∞上單調(diào)遞增，，則在區(qū)間上存在唯一的零點，即，所以當(dāng)時，在單調(diào)遞減，當(dāng)x∈x0,+∞時，所以，又因為，則所以，所以整數(shù)的最大值為3.21．已知有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項，第項，，第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的長度為的子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的長度為1的子列，若數(shù)列的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列為完全數(shù)列.設(shè)數(shù)列滿足.(1)判斷下面數(shù)列的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；數(shù)列①：；數(shù)列②：.(2)數(shù)列的子列長度為，且為完全數(shù)列，證明：的最大值為6；(3)數(shù)列的子列長度，且為完全數(shù)列，求的最大值.【解析】（1）數(shù)列①不是完全數(shù)列，數(shù)列②是完全數(shù)列，理由如下：數(shù)列①：因為，所以數(shù)列①不是完全數(shù)列；數(shù)列②：因為，，即每一子列的所有項的和都不相同，所以數(shù)列②是完全數(shù)列.（2）假設(shè)存在完全數(shù)列，其長度為，則，則長度為的數(shù)列的每一子列的所有項的和有個，設(shè)其所有項的和的最小值為，最大值為，則，可得，整理得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)，則，，所以；綜上所述：當(dāng)時，不存在，使得成立.所以假設(shè)不成立，則，且，符合題意，所以m的最大值為6.（3）因為長度，且為完全數(shù)列，且，可知的最小值為1，的最小值為2，?。灰驗?，則的最小值為4，??；因為，則的最小值為8，取；因為，，則的最小值為16，取；此時均取到對應(yīng)的最小值，則均取到對應(yīng)的最大值，則，所以的最大值為.2025年高考考前信息必刷卷（北京卷）數(shù)學(xué)·參考答案一、單項選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．12345678910ABBDCBCBDD二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．12.（答案不唯一）.13．3（答案不唯一）12（答案不唯一）14．/15.②③④三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【解析】（1）由余弦定理可得，注意到，，，所以，即，解得，（5分）進一步；（7分）（2）由余弦定理可得，，因為，所以，而，（11分）從而.（13分）17．（14分）【解析】（1）如圖，取的中點，連接,因E、F分別為、的中點.，則又故即得四邊形為平行四邊形,則,因平面，平面，故平面；（5分）（2）因為在直三棱柱中，，，所以AB⊥AC，所以兩兩垂直，則以A為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

又，，所以，（9分）設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以（11分）設(shè)平面一個法向量為，則，令，則，所以，（13分）則，所以平面與平面夾角的余弦值為．（14分）18．（13分）【解析】（1）記事件M為“從該地區(qū)教師中隨機選取一人，至少使用兩種AI大模型”，則估計.（3分）（2）記事件為“從該地區(qū)使用3種AI大模型的40名教師中隨機選1人，該人使用模型B”，根據(jù)題