江蘇無錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（下）數(shù)學(xué)第3周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)（含答案）

江蘇無錫市湖濱中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（下）數(shù)學(xué)第3周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一．選擇題（共8小題）1．若函數(shù)，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3） C．（0，3） D．（3，+∞）2．?x1，x2∈[1，e]，當(dāng)x1＜x2時，都有，則實數(shù)a的最小值為（）A． B． C． D．13．已知，則x，y，z的大小關(guān)系為（）A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x4．若函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝φ（x）＝f′（x）圖象如圖所示，則（）A．φ′（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣3） B．函數(shù)y＝f（x）有兩個極值點 C．函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，1） D．﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點5．已知，則f'（x）＝（）A． B． C． D．6．函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A．f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜0 B．f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜0 C．f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2）＜0 D．f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）＜07．已知在（1，2）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．（16，+∞） D．（﹣∞，16]8．已知函數(shù)f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x有兩個零點，則a的取值范圍為（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1， D．（1，e）二．多選題（共3小題）（多選）9．設(shè)函數(shù)，則（）A．f′（1）＝2e B．函數(shù)f（x）的圖象在過點的切線方程為 C．函數(shù)f（x）既存在極大值又存在極小值，且其極大值大于其極小值 D．方程f（x）＝k有兩個不等實根，則實數(shù)k的取值范圍為（多選）10．對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．f（x）在x＝e處取得極大值 B．f（x）有兩個不同的零點 C．f（4）＜f（π）＜f（3） D．π4＜4π（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1，則下列選項正確的是（）A．y＝f（x）在（2，3）上單調(diào)遞增 B．y＝f（x）恰有一個極大值 C．當(dāng)a＞1時，f（x）＝0無實數(shù)解 D．當(dāng)a＝1時，f（f（x））＝0有三個實數(shù)解三．填空題（共3小題）12．已知函數(shù)f（x）＝，若f（ax）＞f（lnx）對任意x∈（1，e）恒成立，則a＝．13．已知y＝x+lnx在點（1，1）處的切線與y＝x2+ax只有一個公共點，則a的值．14．已知函數(shù)f（x）＝ex﹣mx2有兩個極值點x1，x2（0＜x1＜x2），則m的取值范圍為；若函數(shù)g（x）＝xlnx﹣﹣x有兩個極值點x3，x4（0＜x3＜x4），則的取值范圍是．四．解答題（共5小題）15．已知函數(shù)f（x）＝2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．16．已知函數(shù)f（x）＝x﹣lnx+m，曲線y＝f（x）在x＝1處的切線方程為y＝﹣1．（1）求m的值；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）（k∈N）上存在零點，求k的值；（3）記函數(shù)，設(shè)x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，若，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求實數(shù)k的最大值．17．已知f（x）＝ax3﹣bx+4，f（x）在x＝2處取得極小值．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在x＝3處的切線方程；（3）求f（x）的極值．18．函數(shù)f（x）＝2x﹣2alnx．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．（2）求f（x）在[1，3]上最小值．19．已知函數(shù)的圖象在（1，f（1））處的切線經(jīng)過點（2，e）．（1）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，求正實數(shù)λ的取值范圍．

參考答案與試題解析題號12345678答案CDDDBCAB一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：，函數(shù)的定義域為：{x|x＞0}可得f′（x）＝x﹣2﹣＝＝，∵x＞0?f′（x）＜0，解得x∈（0，3）；所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，3）；故選：C．2．【解答】解：?x1，x2∈[1，e]，當(dāng)x1＜x2時，都有，即lnx1﹣lnx2＞ax1﹣ax2，即lnx1﹣ax1＞lnx2﹣ax2，令h（x）＝lnx﹣ax，x∈[1，e]，則h（x1）＞h（x2）恒成立，即h（x）＝lnx﹣ax在[1，e]上單調(diào)遞減，又，∴h′（x）≤0在[1，e]上恒成立，∴在[1，e]上恒成立，∵在[1，e]上單調(diào)遞減，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴a≥1，即實數(shù)a的最小值為1．故選：D．3．【解答】解：∵x＝，y＝，z＝，∴l(xiāng)nx＝ln2，lny＝，lnz＝，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝（x＞0），則（x＞0），當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，e）上遞增，在[e，+∞）上遞減，∵lnx＝ln2＝，e＜3＜4，且e，3，4∈[e，+∞），∴f（e）＞f（3）＞f（4），∴l(xiāng)ny＞lnz＞lnx，∴y＞z＞x．故選：D．4．【解答】解：A．φ′（x）＜0的解集為函數(shù)y＝f′（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，為（﹣2，﹣1），故A錯誤；B．函數(shù)y＝f′（x）只有1個變號零點﹣3，所以函數(shù)y＝f（x）有1個極值點，故B錯誤；C．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣3）時，f′（x）＜0，所以函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣3），故C錯誤；D．當(dāng)x∈（﹣∞，﹣3）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（﹣3，+∞）時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，所以﹣3是函數(shù)y＝f（x）的極小值點，故D正確．故選：D．5．【解答】解：因為，則f'（x）＝．故選：B．6．【解答】解：設(shè)A（1，f（1）），B（2，f（2）），由圖可得f′（1）＜kAB＜f′（2），而，故f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2）＜0，故選：C．7．【解答】解：由題意≥0在（1，2）上恒成立，即a≤2x3在（1，2）上恒成立，令g（x）＝2x3，x∈[1，2]，顯然該函數(shù)在[1，2]上遞增，所以g（x）≥g（1）＝2，所以要使原式恒成立，只需a≤2．故選：A．8．【解答】解：由f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x＝0得到，令，由題意可以看做是y＝a與g（x）有兩個交點，，其中ex＞0，2ex+1＞0，﹣ex﹣x+1是單調(diào)遞減的，并且x＝0時，﹣ex﹣x+1＝0，因此函數(shù)存在唯一零點，x＝0，當(dāng)x＞0時，g′（x）＜0，x＜0時，g′（x）＞0，g（0）＝1，得如下函數(shù)圖象：顯然當(dāng)0＜a＜1時，y＝a與g（x）有兩個交點，故選：B．二．多選題（共3小題）9．【解答】解：f′（x）＝＝（x≠0），對于A：f′（1）＝2e，故A正確；對于B：設(shè)切點為（x0，（2+）），k＝f′（x0）＝（2x0﹣1）（x0+1），切線方程為y﹣（2+）＝（2x0﹣1）（x0+1）（x﹣x0），代入點（﹣1，），得﹣（2+）＝（2x0﹣1）（x0+1）（﹣1﹣x0），化簡得（2+﹣x0﹣1）+＝0，令h（x0）＝（2+﹣x0﹣1）+，h（﹣1）＝0，所以函數(shù)f（x）在（﹣1，）的切線方程為y＝，因為h（）＝﹣+＜0，h（1）＝e+＞0，函數(shù)h（x0）圖象連續(xù)不斷，所以存在x0∈（，1）使得h（x0）＝0，所以過點（﹣1，）的直線與函數(shù)f（x）在（，1）之間存在切點，所以過點（﹣1，）的切線不止一條，故B錯誤；對于C：令f′（x）＝0得x＝或x＝﹣1，所以在（﹣∞，﹣1），（，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（﹣1，0），（0，）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝﹣1處取得極大值，在x＝處取得極小值，又f（﹣1）＝＝，f（）＝＝4，所以f（﹣1）＜f（），所以極大值小于極小值，故C錯誤；對于D：作出f（x）的大致圖像，如下：若方程f（x）＝k有兩個不等實根，則y＝f（x）與y＝k有兩個交點，所以0＜k＜或k＞4，故D正確，故選：AD．10．【解答】解：對于A：f（x）的定義域為（0，+∞），且，令f′（x）＝0，得x＝e，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x＝e處取得極大值f（e）＝，故A正確；對于B：令f（x）＝0，解得x＝1，所以函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，故B錯誤；對于C：由f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，得f（4）＜f（π）＜f（3），故C正確；對于D：因為f（4）＜f（π），即，所以ln4π＜lnπ4，則4π＜π4，D錯誤．故選：AC．11．【解答】解：對于A，當(dāng)x＜3時，f（x）＝（3﹣x）ex+a﹣1，f′（x）＝（2﹣x）ex，當(dāng)x＜2時，f′（x）＞0，當(dāng)2＜x＜3時，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，3）上單調(diào)遞減．當(dāng)x＞3時，f（x）＝（x﹣3）ex+a﹣1，f′（x）＝（x﹣2）ex＞0，f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，A錯誤；對于B，由以上討論知x＝2是f（x）的極大值點，B正確；對于C，當(dāng)a＞1時，a﹣1＞0，f（2）＝e2+a﹣1＞0，f（3）＝a﹣1＞0，當(dāng)x＜2時，f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1＞a﹣1＞0，所以當(dāng)a＞1時，f（x）＝0無實數(shù)解，C正確；對于D，當(dāng)a＝1時，f（x）＝|x﹣3|ex，由以上討論知當(dāng)f（t）＝0時，t＝3．而f（2）＝e2＞3，f（3）＝0＜3，作出f（x）的大致圖象如圖所示．如圖可知，f（x）＝3有三個實數(shù)解，所以f（f（x））＝0有三個實數(shù)解，D正確．故選：BCD．三．填空題（共3小題）12．【解答】解：由題可知：f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，注意到f（x）＝f（），若f（ax）＞f（lnx）對任意x∈（1，e）恒成立，則，即對任意x∈（1，e）恒成立，令，x∈（1，e），則在（1，e）內(nèi)恒成立，可知在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，且g（1）＝0，，所以g（x）在區(qū)間（1，e）上的值域為，令，x∈（1，e），則在（1，e）內(nèi)恒成立，可知h（x）在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞減，且，當(dāng)x趨近于1時，h（x）趨近于+∞，所以h（x）在區(qū)間（1，e）上的值域為，可知對1＜x＜e恒成立時，可得．故答案為：．13．【解答】解：由y＝x+lnx，得y′＝1+，∴y′|x＝1＝2，∴y＝x+lnx在點（1，1）處的切線方程為y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，聯(lián)立，得x2+（a﹣2）x+1＝0．由題意可得：Δ＝（a﹣2）2﹣4＝0，解得a＝0或a＝4．故答案為：0或4．14．【解答】解：由f（x）＝ex﹣mx2可得f′（x）＝ex﹣2mx，則x1，x2是方程的兩個正實數(shù)根，令，則，當(dāng)x∈（0，1）時，μ′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，μ′（x）＞0，故μ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又μ（1）＝e，x→0時，μ（x）→+∞，x→+∞時，μ（x）→+∞，故2m＞e，即m的取值范圍為；由可得，則x3，x4是方程，即的兩個實數(shù)根，因為x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，x3，x4是方程的兩個實數(shù)根，且0＜x1＜x2，0＜x3＜x4，所以x1＝lnx3，x2＝lnx4，則，所以，又，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，即的取值范圍為．故答案為：；．四．解答題（共5小題）15．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，f（x）＝2x﹣ln（2x），則，x∈（0，e]，當(dāng)時，f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增．所以函數(shù)f（x）的極小值為，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，f（x）的極小值為，無極大值；（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）＝2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]的最小值是3，，x∈（0，e]．①當(dāng)a≤0時，因為x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（e）＝2ae﹣ln（2e）＝3，解得（舍去）；②當(dāng)時，即時，當(dāng)時，f'（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時，f'（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．所以，解得a＝e2，滿足條件；③當(dāng)時，即時，對任意的x∈（0，e]，f'（x）≤0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（e）＝2ae﹣ln（2e）＝3，解得（舍去）．綜上，存在實數(shù)a＝e2，使得當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）的最小值為3．16．【解答】解：（1）因為曲線y＝f（x）在x＝1處的切線方程為y＝﹣1，所以切點為（1，﹣1），所以f（1）＝1﹣ln1+m＝﹣1，得m＝﹣2；（2）由（1）得f（x）＝x﹣lnx﹣2，則，當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增，所以當(dāng)x＝1時，f（x）取得極小值f（1）＝﹣1＜0，因為f（e﹣2）＝e﹣2﹣lne﹣2﹣2＝e﹣2＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）上存在一個零點x1，此時k＝0，因為f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，所以f（x）在區(qū)間（0，1）上存在一個零點x2，此時k＝3，綜上k＝0或k＝3；（3），則，由g'（x）＝0，得x2﹣（b+1）x+1＝0，因為x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)g（x）的兩個極值點，所以方程x2﹣（b+1）x+1＝0有兩個不相等的正實根x1，x2，所以x1+x2＝b+1，x1x2＝1，所以，因為，所以，解得或x1≥2，因為，所以，所以＝＝令，則，所以F（x）在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，F(xiàn)（x）取得最小值，即，所以，所以實數(shù)k的最大值為．17．【解答】解：（1）由題意知f′（x）＝3ax2﹣b，因為f（x）在x＝2處取得極小值，則，解得，當(dāng)時，f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，2）上單調(diào)遞減，故x＝2是函數(shù)的極小值點，滿足題意，所以，所以；（2）由題意知，所以f（3）＝1，f′（3）＝5，所以切點坐標(biāo)為（3，1），斜率k＝5，所以切線方程為：y﹣1＝5（x﹣3），即5x﹣y﹣14＝0；（3）f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2），當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，2）上單調(diào)遞減，故f（x）有極大值，有極小值．18．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝2x﹣2alnx的定義域為（0，+∞），且f′（x）＝2﹣＝，當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，令f′（x）＝0，解得x＝a，所以x∈（0，a）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；綜上知，a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）；（2）a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，3]上的最小值為f（1）＝2﹣2aln1＝2；a＞0時，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，若a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，最小值為f（1）＝2；若1＜a＜3，則f（x）在[1，3]上先減后增，最小值為f（a）＝2a﹣2