機(jī)械能守恒定律課件

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力學(xué)中的守恒定律

*QP§2-1機(jī)械能守恒定律一、功和功率1、功（work）:力在物體移動(dòng)過(guò)程中的空間效果1）恒力所作的功dA

稱(chēng)為元功，功等于質(zhì)點(diǎn)受的力和它的位移的點(diǎn)積。2）變力所作的功

記作位移無(wú)限小時(shí)：

如果力是位置的函數(shù)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力的作用下沿一曲線運(yùn)動(dòng)，則功的計(jì)算如下：(點(diǎn)乘積，標(biāo)量積)*在元位移中將力視為恒力，力沿P、Q所作的功為所有無(wú)限小段位移上的元功之和。3）合力所作的功元功：dA

元位移：QP解析式：*2、功率（power）

力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功功率的另一種形式：公式為：功率等于力在運(yùn)動(dòng)方向的分量與速率的乘積，或等于力的大小與速度在力的方向的分量的乘積。

SI制中功的單位是J(焦耳，簡(jiǎn)稱(chēng)焦)，1J=1N

m功率的單位：J

s

1(焦耳/秒)或W(瓦特,簡(jiǎn)稱(chēng)瓦)注意：(1)功是過(guò)程量，與路徑有關(guān)；(2)功是標(biāo)量，但有正負(fù)；(3)合力的功為各分力的功的代數(shù)和。*θyxO

｛h

解取如圖所示的坐標(biāo)系,其分量式為:

在x方向:在y方向:αAR

例1

質(zhì)量為m的小球系在長(zhǎng)度為R的細(xì)繩末端,細(xì)繩的另一端固定在點(diǎn)A,將小球懸掛在空間?，F(xiàn)小球在水平推力

的作用下,緩慢地從豎直位置移到細(xì)繩與豎直方向成

角的位置。求水平推力

所作的功(不考慮空氣阻力)。

小球受推力

、細(xì)繩的張力和小球所受重力

三個(gè)力始終是平衡的,即

*上兩式相除得取元位移，變力所作的元功為偏轉(zhuǎn)α角的過(guò)程中的總功為θyxO

｛hαAR*

例2

已知彈簧的勁度系數(shù)k=200N

m

1,若忽略彈簧的質(zhì)量和摩擦力,求將彈簧壓縮10cm,彈性力所作的功和外力所作的功。xOyxxOy

解：取如圖所示的坐標(biāo)系彈簧的彈力為在x處取元位移dx,彈力所作元功彈性力所作的總功為外力所作的功為*二、動(dòng)能和動(dòng)能定理

質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q，合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能(kineticenergy)定義：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與其運(yùn)動(dòng)速率平方的乘積的一半。用Ek表示，即*所以有動(dòng)能定理：作用于質(zhì)點(diǎn)的合力所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。，表示合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作正功，，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增大；，表示合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作負(fù)功，，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能減??；所以說(shuō)，功是質(zhì)點(diǎn)能量改變的量度。

擴(kuò)展：所有外力和內(nèi)力對(duì)物體系所作的功之和等于物體系總動(dòng)能的增量。*動(dòng)能定理討論：

(1)動(dòng)能定理反映的是某一力學(xué)過(guò)程中，物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化與力的空間累積效應(yīng)的關(guān)系。動(dòng)能和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相聯(lián)系，功和運(yùn)動(dòng)過(guò)程相聯(lián)系，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能的變化由功來(lái)量度。對(duì)功的認(rèn)識(shí)就從物體在力的作用下發(fā)生位移這種現(xiàn)象，深入到改變物體動(dòng)能這一本質(zhì)。

(2)功和動(dòng)能都是與參照系有關(guān)的量。但動(dòng)能定理在不同慣性系中都成立，這是力學(xué)相對(duì)性原理的必然結(jié)果。在一般情況下，如無(wú)特別聲明，就是指以地面為參照系。*

例3

小球以初速率vA

沿光滑曲面向下滾動(dòng),如圖所示。問(wèn)當(dāng)小球滾到距出發(fā)點(diǎn)A的垂直距離為h的B處時(shí),速率為多大?

解建立右圖的坐標(biāo)系，小球在滾動(dòng)過(guò)程中受到和兩個(gè)力的作用。合力為

根據(jù)動(dòng)能定理有即*而重力加速度的分量式，即解得末速率為于是有所以因始終垂直于，所以*

由物體間的萬(wàn)有引力和相對(duì)位置所決定的勢(shì)能，稱(chēng)為萬(wàn)有引力勢(shì)能，簡(jiǎn)稱(chēng)引力勢(shì)能。重力勢(shì)能是處于地球附近的物體與地球之間萬(wàn)有引力作用結(jié)果的一種簡(jiǎn)單而重要的特例。三、勢(shì)能勢(shì)能：由物體間的相互作用和相對(duì)位置決定的能量。1、引力勢(shì)和重力勢(shì)能(potentialenergy)

物體沿一曲線從點(diǎn)P移到點(diǎn)Q。當(dāng)物體在任一點(diǎn)C時(shí)，所受地球引力為地球*地球若選擇無(wú)限遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，引力勢(shì)能表達(dá)式為取元位移，則有引力所作的元功為物體從點(diǎn)P到點(diǎn)Q，引力所作的總功為*物體在點(diǎn)P和點(diǎn)Q的引力勢(shì)能分別為所以

此式表示，萬(wàn)有引力所作的功等于系統(tǒng)引力勢(shì)能增量的負(fù)值，即引力勢(shì)能的降低。在地球表面附近時(shí)，近似有rPrQ=R2，*式中hP=rP

R,hQ=rQ

R,分別為點(diǎn)P和點(diǎn)Q

距地面的高度。若選擇h=0

處的重力勢(shì)能為零,則重力勢(shì)能表達(dá)式于是有此式表明，重力所作的功等于系統(tǒng)重力勢(shì)能增量的負(fù)值，即重力勢(shì)的降低。由以上討論知：萬(wàn)有引力、重力所作的功，決定于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。

*2、彈力勢(shì)能總功選擇平衡位置處彈力勢(shì)能為零，彈力勢(shì)能表達(dá)式為所以此式表示，彈性力所作的功等于彈簧系統(tǒng)彈力勢(shì)能增量的負(fù)值，即彈力勢(shì)能的減少量。元功*3、保守力(conservationforce)物體在某種力的作用下，沿任意閉合路徑繞行一周所作的功恒等于零，即具有這種特性的力，稱(chēng)為保守力；不具有這種特性的力稱(chēng)為非保守力。*1、只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢(shì)能。2、勢(shì)能是狀態(tài)函數(shù)。質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的勢(shì)能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點(diǎn)移動(dòng)到零勢(shì)能點(diǎn)時(shí)保守力所做的功。3、勢(shì)能僅有相對(duì)意義，所以必須指出零勢(shì)能參考點(diǎn)。兩點(diǎn)間的勢(shì)能差是絕對(duì)的，即勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù)。4、勢(shì)能是屬于具有保守力相互作用的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的。勢(shì)能小結(jié)*引力勢(shì)能：萬(wàn)有引力是保守力。萬(wàn)有引力的功等于引力勢(shì)能增量的負(fù)值。引力勢(shì)能以無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)。重力勢(shì)能：重力是保守力。重力的功等于重力勢(shì)能增量的負(fù)值。重力勢(shì)能以地面為零勢(shì)能點(diǎn)。彈性勢(shì)能：彈性力是保守力。彈性力的功等于彈性勢(shì)能增量的負(fù)值。彈性勢(shì)能以彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能點(diǎn)。*四、機(jī)械能守恒定律1、功能原理

A外

+A內(nèi)

=EkQ

EkP

外力和內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)所作的功的代數(shù)和，等于系統(tǒng)內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能的增量，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。

A內(nèi)

=A保內(nèi)

+A非保內(nèi)

因?yàn)?/p>

A保內(nèi)

=

(EpQ

EpP)而

A外

+A非保內(nèi)

=(EkQ+EpQ)

(EkP+EpP)

所以由

n

個(gè)相互作用著的質(zhì)點(diǎn)所組成的質(zhì)點(diǎn)系。系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)既受來(lái)自系統(tǒng)以外的力(稱(chēng)為外力)的作用,也受到系統(tǒng)內(nèi)部其他質(zhì)點(diǎn)的力(稱(chēng)為內(nèi)力)的作用。

*于是有

A外

+A非保內(nèi)

=E(Q)

E(P)

此式表明，在系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程中，其機(jī)械能的增量等于外力所作功和系統(tǒng)的非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。此規(guī)律稱(chēng)為系統(tǒng)的功能原理。2、機(jī)械能守恒定律(lawofconservationofmechanicalenergy)系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和稱(chēng)為系統(tǒng)的機(jī)械能，用E表示如果

A外

+A非保內(nèi)

=0則有

E(Q)=E(P)或

EkQ+EpQ=EkP+EpP

*機(jī)械能守恒定律：在外力和非保守內(nèi)力都不作功或所作功的代數(shù)和為零的情況下,系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)換,但它們的總和,即系統(tǒng)的機(jī)械能保持恒定。能量守恒定律是物理學(xué)中具有最大普遍性的定律之一,也是整個(gè)自然界都遵從的普遍規(guī)律,機(jī)械能守恒定律只是它在力學(xué)范圍內(nèi)的一個(gè)特例。

能量不會(huì)消失，也不會(huì)產(chǎn)生，只能從一種形態(tài)轉(zhuǎn)換為另一形態(tài)。這就是普遍的能量守恒定律。

能量反映運(yùn)動(dòng)形態(tài)。存在熱能,電磁能,核能,化學(xué)能,以及生物能等各種形態(tài)的能量。大量事實(shí)表明,不同形態(tài)的能量之間,可以彼此轉(zhuǎn)換。

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能量守恒定律是從無(wú)數(shù)事實(shí)中得出的結(jié)論，是物理學(xué)中具有最大普遍性的定律之一，可以適用于任何變化過(guò)程，不論是機(jī)械的、熱的、電磁的、原子和原子核內(nèi)的以及化學(xué)的、生物的等等。

能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義，能量的交換在量值上就用功來(lái)描述，所以功是能量交換或變化的一種量度。

還應(yīng)該指出，不能把功和能量看作是等同的。功總與能量變化或交換的過(guò)程相聯(lián)系著，而能量代表著系統(tǒng)在某一狀態(tài)時(shí)所具有的特性，能量的量值只決定于系統(tǒng)的狀態(tài)，系統(tǒng)在一定狀態(tài)時(shí)，就具有一定的能量。所以說(shuō)能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)。*例1

求使物體脫離地球引力作用的最小速度。

(第二宇宙速度，地球的逃逸速度）

解根據(jù)機(jī)械能守恒定律有由逃逸速度公式聯(lián)想？

星球質(zhì)量足夠大以致算得的逃逸速度正好等于真空中的光速c,那么一切物體都不能擺脫其引力束縛而逃逸,甚至光子也不能例外,我們看不到它?！昂诙础比绾伟l(fā)現(xiàn)黑洞?“引力透鏡”效應(yīng)。

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例2

求使物體不僅擺脫地球引力作用,而且脫離太陽(yáng)引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）解根據(jù)機(jī)械能守恒定律有地球公轉(zhuǎn)速度物體相對(duì)于地球速度*相對(duì)地球的動(dòng)能脫離地球引力所需動(dòng)能所以從地面發(fā)射時(shí)所需最小動(dòng)能為由此可得第三宇宙速度*物體沿斜面