專題9-49圖形旋轉(zhuǎn)(最值問題)(專項(xiàng)練習(xí))-八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練(蘇科版)

專題9.49圖形旋轉(zhuǎn)（最值問題）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．（2022秋·廣西南寧·九年級校考期中）如圖，邊長為的等邊三角形中，是對稱軸上的動點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)旋轉(zhuǎn)等到，連接，則在點(diǎn)運(yùn)動過程中，的最小值是（

）A． B．1．5 C． D．62．（2022春·四川南充·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，P是BC邊上一動點(diǎn)，連接AP，把線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接CQ，則線段CQ長度的最小值為（

）A．1 B． C． D．3．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┑冗吶切蔚倪呴L為，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，的兩邊與分別相交于點(diǎn)，當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，周長的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且，將繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接，當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．2 B． C． D．55．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谀┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形外一動點(diǎn)，且滿足∠BPC＝90°，連接PO．若正方形邊長為4，則△BPC面積的最大值為（

）A．4 B．6 C． D．56．（2022秋·北京海淀·九年級人大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，是邊長為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到、、，連接、、、、．當(dāng)?shù)闹荛L取得最大值時(shí)，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°7．（2022春·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎冗匒BC的邊長為8，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到ACQ，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，連接DQ，則DQ的最小值是（

）A． B．3 C． D．48．（2022春·山東濟(jì)南·八年級濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形ABCD中，，．，E是邊AD上且，F(xiàn)是邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則的最小值是（

）A． B． C． D．109．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中對角線AC與BD相交于點(diǎn)F，且，，若點(diǎn)P是對角線BD上一動點(diǎn)，連接AP，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得，連接PE，取AD的中點(diǎn)O，連接OE，則在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段OE的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．10．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┑妊苯侨切魏偷妊苯侨切沃?，，，，其中固定，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線與直線交點(diǎn)為P，則面積的最小值為（

）

A． B．4 C． D．二、填空題11．（2022秋·湖北黃石·九年級黃石十四中?？计谥校┰谥?，，，，分別是，的中點(diǎn)，若等腰繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，記直線與的交點(diǎn)為，與面積和的最大值為______12．（2022秋·重慶合川·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，，M為所在平面內(nèi)一動點(diǎn)且，連接AM，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線段AN，連接BN，則線段BN長度的最大值為______．13．（2022秋·江蘇宿遷·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，E是的中點(diǎn)，D是直線上一動點(diǎn)，線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，若，則的最小值為______．14．（2022秋·貴州遵義·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)?shù)拈L取得最大值時(shí)，長為_____．15．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，為等邊三角形，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，M、N為、上的動點(diǎn)，且，則的最小值為__________．16．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，連，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則的最小值是_____．17．（2022秋·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，，點(diǎn)M是點(diǎn)P繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點(diǎn)，則AM的最小值是________18．（2022秋·天津·九年級?？计谥校┰谥?，，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，（Ⅰ）如圖①，______________；（Ⅱ）如圖②，線段的最大值為___________，最小值為____________．19．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則線段的最大值是________，最小值是________．20．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)C，連接OC，則OC長度的最小值為___________．三、解答題21．（2022秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤鐖D，是等腰直角三角形，，，B為邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到的位置．(1)若，求的度數(shù)；(2)連接，求長的最小值．22．（2022秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)D為等腰直角三角形斜邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與線段兩端點(diǎn)重合），將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，連接．(1)求證：；(2)若，求的長：(3)若，請直接寫出的最小值．23．（2022秋·天津河西·九年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，．以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，把順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得．(1)如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足軸時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C恰好落在x軸正半軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，邊OB上的一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．24．（2022秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在和中，．(1)連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接，①如圖1，當(dāng)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，與關(guān)系是________．②如圖2，當(dāng)?shù)妊@點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論；如果不成立，請說明理由．如圖3，當(dāng)?shù)妊@點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接，若，則的最大值是__________．參考答案1．B【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算即可得出以及，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理證出，進(jìn)而即可得出，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即可得出的最小值，由此即可求解．解：取線段的中點(diǎn)，連接，如圖所示，∵為等邊三角形，且為的對稱軸，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最短，即最短．∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴此時(shí)．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過全等三角形的性質(zhì)找出．2．D【分析】在AB上取一點(diǎn)E，使，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AQ=AP，∠PAQ=60°，證明△CAQ≌△EAP，由全等三角形的性質(zhì)得出CQ=EP，當(dāng)EF⊥BC（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，EP最小，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：如圖，在AB上取一點(diǎn)E，使，連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)題意得：AQ=AP，∠PAQ=60°，∵∠ABC=30°，∴∠EAC=60°，∴∠PAQ=∠EAC，∴∠CAQ=∠EAP，∴△CAQ≌△EAP（SAS），∴CQ=EP，要使CQ最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是BC上的動點(diǎn)，當(dāng)EF⊥BC（點(diǎn)P和點(diǎn)F重合）時(shí)，EP最小，即：點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CQ最小，最小值為EF，∵∠ACB=30°，∴AB=2AC，BE=2EF，∵，∴，∵，∴，∴，∴線段CQ長度的最小值為．故選：D【點(diǎn)撥】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，找出點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí)，EQ最小，最小值為EF的長度是解本題的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)等邊三角形，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，，如圖所示（見詳解），連接，可證的周長為，如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作，可知與的關(guān)系，找出的最小值，即可求解．解：如圖所示，連接，∵是等邊三角形，點(diǎn)是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴，，，∴，即，∵，即，∴，在中，，∴，∴，∵的周長為，且，∴的周長為，∴求的周長的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，如圖所示，過點(diǎn)作，∵，，∴，，∴，∴，，則，∴的周長為，根據(jù)點(diǎn)到直線，垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，如圖所示，∴，，∴，∴的周長為，∴的周長的最小值為，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查等邊三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形各邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】以點(diǎn)C為圓心，為半徑作圓，連接并延長，交于點(diǎn)和Q，連接，根據(jù)題意可得，根據(jù)分析圖中即為所求的最大值，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作圓，連接并延長，交于點(diǎn)和Q，連接，，，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，∵繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，∴點(diǎn)Q在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，，∴點(diǎn)三點(diǎn)共線，由圖可知，Q可能在線段上，也可能在延長線上，要求的最大值，即求圖中的長，，，在中，由勾股定理得，∴的最大值為5．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形，分析出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Q有兩種情況，并找出的最大值是解題關(guān)鍵．5．A【分析】先畫出將△OCP順時(shí)針便轉(zhuǎn)90°到△OBQ的位置的圖形，再證Q、B、P在同一條直線上，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證△POQ是直角三角形，求出△POQ的面積，最后由四邊形OBPC的面積等于△OBP和△OBQ的和即△POQ的面積求解即可．解：如圖，四邊形ABCD是正方形，OC=OB，∠BOC=90°，將△OCP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，到△OBQ的位置，則△OCP≌△OBQ，∵∠BPC=90°，∴∠OCP+∠OBP=360°-90°-90°=180°，∴∠OCP=∠OBQ，∴∠OBQ+∠OBP=180°，Q、B、P在同一條直線上，∵PO=4，△OCP≌△OBQ，∴QO=PO=4，∠COP=∠BOQ，∠QOP=∠BOC=90°，∴△POQ是直角三角形，∵，∴故選：B．【點(diǎn)撥】本題屬旋轉(zhuǎn)綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想得出面積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．D【分析】連接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，則有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等邊三角形，當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°．解：如圖，連接OA、OB、OC、．∵O是等邊三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可證∠O＝∠O＝120°，O＝O，則有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等邊三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴當(dāng)O最長時(shí)，最長，∵O≤OC+C，∴當(dāng)O、C、共線時(shí)，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時(shí)，O最長，此時(shí)＝?（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周長的最大值為3+3．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、最大值問題等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用全等三角形的判定，學(xué)會利用三角形的三邊關(guān)系解決最大值問題．7．C【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)時(shí)，的長最小，此時(shí)，，再利用勾股定理求解即可．解：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，是邊長為8的等邊三角形，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的長最小，此時(shí)，，，，的最小值時(shí)，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后的兩圖形全等．8．A【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠GNB=60°，點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是射線NG，由“SAS”可證△EGN?△BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解決問題．解：如圖，取AB的中點(diǎn)N，連接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延長線于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BD，∵AE=2DE，∴AE=4，DE=2，∵點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，∴AN=NB=4，∴AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等邊三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF?△NEG（SAS)，∴∠ENG=∠A=60°，∴∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是射線NG，∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，∴△EGN?△BGN（SAS)，∴GB=GE，∴GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，∴DH==1，EH=，在Rt△ECH中，EC=，∴GB+GC≥，∴GB+GC的最小值為故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．9．A【分析】連接DE，通過旋轉(zhuǎn)，可以證明△ABP≌△ADE，即可求出∠ADE的角是定角，OE的最小值即為過O點(diǎn)到DE的垂線長，也就是OD長的一半；解：如圖所示，連接DE∵四邊形ABCD是菱形，且，，∴AF=4，DF=4，∴AD=8，∴∠ADB=∠ABD=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AP=AE，∠BAD=∠PAE，∴∠BAP=∠DAE，在△ABP和△ADE中，∴△ABP≌△ADE，∴∠ABP=∠ADE=30°，∴DE是滿足∠ADE=30°的線段，∴OE的最小值為過點(diǎn)O作DE的垂線，∵O是AD的中點(diǎn)，所以O(shè)D=4，此時(shí)的OE值為OD==2；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出全等的三角形，證明∠ADE=30°是解決本題的關(guān)鍵．10．B【分析】和都是等腰直角三角形，可證，由全等三角形對應(yīng)角相等得為底邊，則高最小時(shí)，三角形面積最小，則當(dāng)為的切線時(shí)，P到的距離最短，求得這個(gè)最小點(diǎn)，再得到矩形為正方形，由勾股定理和正方形的邊長相等可求得的長，即可求解．解：∵和都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴∴，∴，∴，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，則當(dāng)為底邊，則高最小時(shí)，三角形面積最小，此時(shí)最小，∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，∴點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)為的切線時(shí)，P到的距離最短，∴，∴四邊形為矩形，∵，∴矩形為正方形，∴，∴，∴，，此時(shí)的面積為即面積的最小值為4．故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得到點(diǎn)P的軌跡是解題的關(guān)鍵．11．【分析】由旋轉(zhuǎn)得到，推出，，再證明，得到與面積和為，得到共線時(shí)，最大，據(jù)此即可求解．解：與的交點(diǎn)記作點(diǎn)G，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，與面積和為，當(dāng)最大時(shí)，與面積和的最大，此時(shí)共線時(shí)，最大，∵，，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴最大值為，∴與面積和的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，證明，得到共線時(shí)，最大，是解本題的關(guān)鍵．12．##【分析】由BM＝1作以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的⊙B，由∠BAC＝120°和旋轉(zhuǎn)角為120°得到點(diǎn)M經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與以點(diǎn)C為圓心，半徑為1的⊙C，然后連接BC并延長交⊙C于點(diǎn)N，即可得到BN長度的最大值．解：如圖，以B為圓心、半徑為1作⊙B，以點(diǎn)C為圓心、半徑為1作⊙C，∵BM＝1，∴點(diǎn)M在⊙B上，∵旋轉(zhuǎn)角為120°，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴點(diǎn)M經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后落在⊙C上，連接BC，并延長BC交⊙C于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，則CN＝1，∠AHB＝∠AHC＝90°，此時(shí)，BN長度最大，∵△ABC為等腰三角形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝30°，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡和點(diǎn)的軌跡．13．【分析】連接，延長到N，使，連接，過點(diǎn)A作于G，過點(diǎn)A作于H，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由可證，可得，可得點(diǎn)F在過點(diǎn)N且平行于的直線上，當(dāng)時(shí)，AF的值最小，由直角三角形的性質(zhì)可求線段的最小值．解：如圖，連接，延長到N，使，連接，過點(diǎn)A作于G，過點(diǎn)A作于H，∵是等邊三角形，E是的中點(diǎn)，且，∴，，，∴，∵線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)F在過點(diǎn)N且平行于的直線上，∴當(dāng)時(shí)，的值最小，∵，∴，∴線段的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動軌跡是本題的關(guān)鍵．14．【分析】連接，，先證明，得到，在中，，當(dāng)A點(diǎn)在上時(shí)，最大為6，在中，求出，在中，利用勾股定理求出，即可得到答案．解：連接，，由題意得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，當(dāng)A點(diǎn)在上時(shí)，最大為6，此時(shí)，∵，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、勾股定理、三角形全等的判定和性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，得到，可證得，然后將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，，可證得，從而得解．解：如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，則，，，，是等邊三角形，，，，，，如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，則，，，，是等邊三角形，，，，則的最小值為，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)，兩次利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．16．【分析】過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，證明，得出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)的坐標(biāo)得出點(diǎn)在直線上運(yùn)動，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則是等腰直角三角形，則的最小值為的長，根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖所示，過點(diǎn)分別作軸的垂線，垂足分別為，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則，∵，，∴，∴，∴，∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：∴直線的解析式為，∵點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，∵關(guān)于軸對稱，∴,如圖所示，設(shè)，則，，∴，∴，∵，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動，設(shè)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則是等腰直角三角形，∴,,∵是等腰直角三角形，∴，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，則是等腰直角三角形（），∴，∴∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長，即，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，軸對稱求線段和的最值問題，得出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理求出，，由題意得出，則可求出答案．解：連接，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，，在和中，，，，，，，，的最小值為．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．

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．【分析】（Ⅰ）作交與點(diǎn)D，由所對的直角邊等于斜邊的一半可得，再利用，求出，進(jìn)一步可得；（Ⅱ）作交與點(diǎn)D，求出，分情況討論：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，在與的交點(diǎn)處，最小，；當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，最大，最大值為．解：（Ⅰ）作交與點(diǎn)D，∵，，∴，∵，∴，∴；（Ⅱ）作交與點(diǎn)D，由（Ⅰ）可知：，，∵E是中點(diǎn)，∴，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，在與的交點(diǎn)處，此時(shí)，最小，最小值為;當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，最大，最大值為故答案為：；；【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．19．

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##【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BD的長，當(dāng)P在AC上運(yùn)動至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)在線段AB上時(shí)，最小；當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，，最大，．解：過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，連接BP，，∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD，

∴BD=AD，設(shè)BD=AD=x，則BC=2x，∴，∵，∴，∴，即BD=2，∴，BC=4，∵E是AB的中點(diǎn)，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∵，∴，∴當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線，且P運(yùn)動到點(diǎn)D時(shí)，最小，最小值為；∵，∴，∵當(dāng)、E、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，，最大，最大值為；故答案為：；．【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．20．1【分析】利用分類討論的方法，分m≥0，m<0兩種情況解答：過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，通過證明△ABO≌△CAD，得到OA=CD=1，OB=AD，利用勾股定理表示OC的長度，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)論．解：設(shè)點(diǎn)B（0，m），則OB=|m|，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），∴OA=1．當(dāng)m≥0時(shí)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖，由題意：∠BAC=90°，BA=BC，∴∠BAO+∠CAD=90°，∵CD⊥x軸，∴∠CAD+∠ACD=90°．∴∠BAO=∠ACD．在△ABO和△CAD中，∴△ABO≌△CAD（AAS）．∴OA=CD=1，OB=AD=m．∴，∴當(dāng)m=0時(shí)，OC取最小值為；當(dāng)m<0時(shí)，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖，由題意：∠BAC=90°，BA=BC，∴∠BAO+∠CAD=90°，∵CD⊥x軸，∴∠CAD+∠ACD=90°．∴∠BAO=∠ACD，在△ABO和△CAD中，∴△ABO≌△CAD（AAS）．∴OA=CD=1，OB=AD=-m．∴OD=-m-1∴，∴當(dāng)m=-1時(shí)，OC取最小值為1．綜上，OC長度的最小值為1．故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．21．(1) (2)【分析】（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可；（2）首先根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，然后證明出當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，取得最小值，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．解：（1）∵是等腰直角三角形，∴∵∴∵將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到的位置∴∴；（2）∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)?shù)拈L度最小時(shí)，取得最小值，∵B為邊上一點(diǎn)，∴點(diǎn)時(shí)，的長度最小，∴此時(shí)，∴．∴長的最小值為．【點(diǎn)撥】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．22．(1)見分析 (2)；(3)的最小值為10．【分析】（1）利用證明，得；（2）由（1）得，則，再根據(jù)勾股定理可得的值，從而得出的長；（3）由（2）知，，則點(diǎn)E在直線上運(yùn)動，作點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于E，此時(shí)最小，再根據(jù)勾股定理求的長即可．解：（1）證明：∵將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∵是等腰直角三角形，∴，∴；（3）解：由（2）知，，則點(diǎn)E