《第1章三角形的證明》單元測試題-北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊(含答案)

北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊《第1章三角形的證明》單元測試題（附答案）一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．若等腰三角形的頂角為40°，則它的底角度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是（）A．8 B．9 C．10 D．113．如圖，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，則對于結(jié)論①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如果等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，那么這個(gè)等腰三角形的底角為（）A．22.5° B．67.5° C．67°50' D．22.5°或67.5°5．如圖，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF的度數(shù)為（）A．48° B．36° C．30° D．24°6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜邊AC的中垂線，分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)．若BD＝2，則AC的長是（）A．4 B．4 C．8 D．87．若a，b為等腰△ABC的兩邊，且滿足|a﹣3|+＝0，則△ABC的周長為（）A．11 B．13 C．11或13 D．9或158．如圖，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BC的垂直平分線PQ交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，連接BE，BQ，則∠EBQ＝（）A．65° B．60° C．56° D．50°9．平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，BD＝DE，若△ABC的周長為26cm，AF＝5cm，則DC的長為（）cm．A．7 B．8 C．9 D．10二．填空題（共10小題，滿分30分）11．如圖，AD⊥BC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連接OC，若∠AOC＝125°，則∠ABC＝．12．如圖，在△ABC中，D，E分別在邊CB和BC的延長線上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，則∠DAE＝．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BF＝1，則BC的長為：．14．如圖，直線l1∥l2，等邊△ABC的頂點(diǎn)C在直線l2上，若邊AB與直線l1的夾角∠1＝40°，則邊AC與直線l2的夾角∠2＝°．15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（4，0）則其第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是．16．如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，則CD＝．17．如圖，已知點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD．若AC＝10，AB＝6，則AD的長為．18．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P為直線BC上一點(diǎn)，BP＝AB，則∠APB的度數(shù)為．19．如圖，已知AB＝A1B1，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此類推，若∠B＝20°，則∠A4＝．20．等邊△ABC，AB＝8，點(diǎn)D在直線AB上，若CD＝13，則AD的長為．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的長．22．如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD為高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度數(shù)；（2）求證：CE是AB邊上的中線，且CE＝AB．23．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，連接DE．（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說明理由．（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求線段DE的長．24．如圖，CB為∠ACE的平分線，F(xiàn)是線段CB上一點(diǎn)，CA＝CF，∠B＝∠E，延長EF與線段AC相交于點(diǎn)D．（1）求證：AB＝FE；（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度數(shù)．25．（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD+CE；（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．26．如圖，把一個(gè)直角三角形ACB（∠ACB＝90°）繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置．F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF＝BG，延長CF與DG交于點(diǎn)H．（1）求證：CF＝DG；（2）求出∠FHG的度數(shù)．27．【問題背景】如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．【探索延伸】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．【學(xué)以致用】如圖3，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．

參考答案一．選擇題（共10小題，滿分30分）1．解：因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等，又因?yàn)轫斀鞘?0°，所以其底角為＝70°．故選：D．2．解：設(shè)AB的中垂線與AB交于點(diǎn)E，∵ED是AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∵△BDC的周長＝DB+BC+CD，∴△BDC的周長＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．故選：C．3．解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正確；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②錯(cuò)誤；EF＝BC，故③正確；∠EAB＝∠FAC，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個(gè)．故選：C．4．解：有兩種情況；（1）如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，BD⊥AC于D，則∠ADB＝90°，已知∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣45°＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，（2）如圖2，當(dāng)△EFG是鈍角三角形時(shí)，F(xiàn)H⊥EG于H，則∠FHE＝90°，∵∠HFE＝45°，∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠G，＝×（180°﹣135°），＝22.5°．故選：D．5．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝24°，∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，∵BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝24°，∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，故選：A．6．解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°．∵DE垂直平分斜邊AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，∵BD＝2，∴CD＝AD＝4，∴AB＝2+4＝6，在△BCD中，由勾股定理得：CB＝2，在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，故選：B．7．解：根據(jù)題意得a﹣3＝0，b﹣5＝0，解得a＝3，b＝5，（1）若5是腰長，則三角形的三邊長為：5、5、3，能組成三角形，周長為5+5+3＝13；（2）若5是底邊長，則三角形的三邊長為：3、3、5，能組成三角形，周長為3+3+5＝11．故選：C．8．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，∴∠A＝∠C＝31°，∵AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BC的垂直平分線PQ交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，∴EA＝EB，QB＝QC，∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，故選：C．9．解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，0）．∴AB＝，①若AC＝AB，以A為圓心，AB為半徑畫弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)（含B點(diǎn)），即（0，0）、（2，0），∴滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；②若BC＝AB，以B為圓心，BA為半徑畫弧與x軸有2個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有2個(gè)；③若CA＝CB，作AB的垂直平分線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，即滿足△ABC是等腰三角形的C點(diǎn)有1個(gè)；綜上所述：點(diǎn)C在x軸上，△ABC是等腰三角形，符合條件的點(diǎn)C共有4個(gè)．故選：C．10．解：∵△ABC的周長為26cm，∴AB+BC+AC＝26cm，∵EF垂直平分AC，AF＝5cm，∴AC＝2AF＝10（cm），EA＝EC，∴AB+BC＝16cm，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC，∴AB+BD＝EC+DE＝8（cm），∴DC＝8cm，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分30分）11．解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，∵D為BC的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝35°，∵OB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．故答案為：70°．12．解：∵AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，設(shè)∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y(tǒng)，∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2x+2y+50°＝180°，∴x+y＝65°，∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．故答案為：115°．13．解：連接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴FA＝FB＝1，∴∠FAB＝∠B＝30°，∴∠FAC＝∠BAC﹣∠FAB＝90°，在Rt△FAC中，∠C＝30°，∴FC＝2FA＝2，∴BC＝BF+FC＝3，故答案為：3．14．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠3＝∠1＝40°，∴∠4＝60°+40°＝100°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠4＝100°．故答案為：100．15．解：如圖，∵A（0，0）、B（4，0），∴AB＝4，作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵△ABC是等邊三角形，∴AD＝BD＝2，∴CD＝2，∴第三個(gè)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，2）、（2，﹣2）．16．解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，∴BD＝AD＝6，∴CD＝BD＝6×＝3．故答案為：3．17．解：如圖，延長BD交AC于E，∵BD⊥AD，∴∠ADE＝∠ADB＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠BAD，∴∠AED＝∠ABD，∴AE＝AB＝6，∴DE＝BD，∵AC＝10，∴CE＝10﹣6＝4，∵∠C＝∠CBD，∴BE＝CE＝4，∴BD＝BE＝2，由勾股定理得：AD＝＝＝4．故答案為：4．18．解：如圖1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝＝75°；如圖2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BP＝AB，∴∠APB＝∠ABC＝15°．綜上所述：∠APB的度數(shù)為75°或15°．故答案為：75°或15°．19．解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，∴∠A＝∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝×（180°﹣20°）＝80°．∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，∴∠A1CD＝∠A1A2C，∵∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4，∴∠A4＝10°．故答案為：10°．20．解：如圖，作CE⊥AB于點(diǎn)E，延長AB或BA到D′、D″，連接CD′、CD″，∵△ABC是等邊三角形，AB＝8，∴AE＝BE＝4，CE＝4，CD′＝CD″＝13，設(shè)BD′＝AD″＝x，則D′E＝4+x，在Rt△CED′中，根據(jù)勾股定理，得（4+x）2+（4）2＝132解得x＝7或﹣15（負(fù)值舍去）∴BD′＝AD″＝7，AD′＝AB+BD′＝8+7＝15．所以AD的長為7或15．故答案為7或15．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2．22．（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，則∠BCD＝60°，又∵CD為高，∴∠B＝90°﹣60°＝30°30°；（2）證明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，則CE＝BE，AC＝AB．∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，∴∠ACE＝∠A＝60°，∴△ACE是等邊三角形，∴AC＝AE＝EC＝AB，∴AE＝BE，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．∴CE是AB邊上的中線，且CE＝AB．23．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝7﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴32+（7﹣x）2＝22+x2，解得：x＝，則DE＝．24．證明：（1）∵CB為∠ACE的角平分線，∴∠ACB＝∠FCE，在△ABC與△FEC中，，∴△ABC≌△FEC（AAS），∴AB＝FE；（2）∵AB∥CE，∴∠B＝∠FCE，∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，即3∠ACB＝90°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．25．證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．26．（1）證明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF＝DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF＝∠BDG，又∵∠CFB