19-7直角三角形全等的判定-2022-2023學年八年級數(shù)學上冊同步練習(滬教版)

19.7直角三角形全等的判定（原卷版）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·上海市南洋模范中學八年級期末）判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（

）A．兩條直角邊對應相等 B．斜邊和一銳角對應相等C．斜邊和一條直角邊對應相等 D．兩個銳角對應相等2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（

）A．兩個銳角對應相等 B．一個銳角和斜邊對應相等C．兩條直角邊對應相等 D．一條直角邊和斜邊對應相等3．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在和中，，，，則（

）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，在等腰中，，，BD平分，交AC于點D，，若cm，則的周長為（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm5．（2022·上海·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD與CE分別是斜邊AB上的高與中線，以下判斷中正確的個數(shù)有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點D在BC上DE⊥AB，點E為垂足，且DC=DE，連接AD，則∠ADB的大小為_____________．三、解答題8．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）已知：如圖，在中，，為的外角平分線，交的延長線于點，且．求證：．9．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）如圖，在中，(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點）；(2)如果在（1）條件下點是的中點，求證：．10．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：BE＝CF．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，AB、ED分別垂直于BD，點B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，求證：△ACE是直角三角形．12．（2022·上?！ぐ四昙夒A段練習）如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D求證：AB=AD．【能力提升】一、單選題1．（2021·上海·八年級專題練習）如圖在Rt△ABC=90，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，AC=2，BC=4，那么下列結論中錯誤的是（

）A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎铝姓f法，其中結論正確的個數(shù)是（

）①等腰三角形一邊上的高就是這條邊上的中線；②等腰三角形的對稱軸就是底邊上的中線；③若一條直線上的一點P到線段兩端的距離相等，則這條直線是這條線段的垂直平分線；④若兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對應相等，則這兩個直角三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列命題中，假命題是（

）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等B．三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等C．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等D．一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）下列命題中，是假命題的是（

）A．斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；B．在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．C．每個命題都有逆命題；D．每個定理都有逆定理．二、填空題5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分別是AC、BD的中點，則線段MN的長為_____．6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分別是中線，角平分線，高，則和的大小關系：_________________7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）等腰三角形的頂角為120°，底邊上的高為3cm，則它的腰長為______cm.8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖，已知D是直角三角形ABC中BC邊的延長線上的一點，CD＝AC，∠ACB=60°，則BC∶CD=______9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為角，那么這個直角三角形的較小的內角是________.10．（2020·上海市澧溪中學八年級階段練習）如圖，點A為的平分線上一點，過A任意作一條直線分別與的兩邊相交于B、C，P為中點，過P作的垂線交射線于點D，若，則的度數(shù)為_度．11．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，是的高，，，，則__．三、解答題12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，，分別為垂足，的垂直平分線交于點，交于點，.求證：（1）；（2）.13．（2022·上海·八年級專題練習）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．（1）求證：PM＝PN；（2）聯(lián)結MN，求證：PD是MN的垂直平分線．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD＝DC，DF，DE分別垂直于AB，AC，垂足分別為F，E；求證：BF＝CE15．（2021·上海市莘光學校八年級期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉．(1)當C轉到AB邊上點C′位置時，A轉到A′，（如圖1所示）直線CC′和AA′相交于點D，試判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)將Rt△ABC旋轉至A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出此時旋轉角α的度數(shù)．16．（2021·上海民辦行知二中實驗學校八年級期中）如圖，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點B分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點A，C．(1)若點B的坐標為（1，2），求A，C兩點的坐標；(2)若點B是y＝（x＞0）的圖象上任意一點，求△ABC的面積．(3)OC平分OA與x軸正半軸的夾角，將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點B′落在OA上，求四邊形OABC的面積．17．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠ACB的平分線、線段AB的中垂線、它們的交點M（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點M）；(2)過點M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E、F．求證：BE＝AF．18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．19．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）（1）已知，如圖，在三角形中，AD是BC邊上的高．尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）﹔（2）在已作圖形中，若l與AD交于點E，且，求證：．20．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，點是的邊上的一點，過點作，，、為垂足，再過點作，交于點，且．(1)求證：；(2)當點是邊的中點時，求證：．21．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求證：∠AFC＝2∠ADC.22．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）如圖，在中，是的中點，，，于點，若，，求的長．23．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，CE∥AB，AD平分∠EAB(1)延長AD、CE相交于點F，求證:AB＝CE+AE(2)當點E和點C重合時，試判斷△ABC的形狀，請畫出圖形，并說明理由.19.7直角三角形全等的判定（解析版）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·上海市南洋模范中學八年級期末）判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（

）A．兩條直角邊對應相等 B．斜邊和一銳角對應相等C．斜邊和一條直角邊對應相等 D．兩個銳角對應相等【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定條件逐一判斷即可．【詳解】解：A、兩條直角邊對應相等，可以利用SAS證明兩個直角三角形全等，說法正確，不符合題意；B、斜邊和一銳角對應相等，可以利用AAS證明兩個直角三角形全等，說法正確，不符合題意；C、斜邊和一條直角邊對應相等，可以利用HL證明兩個直角三角形全等，說法正確，不符合題意；D、兩個銳角對應相等，不可以利用AAA證明兩個直角三角形全等，說法錯誤，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關鍵．2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（

）A．兩個銳角對應相等 B．一個銳角和斜邊對應相等C．兩條直角邊對應相等 D．一條直角邊和斜邊對應相等【答案】A【分析】根據(jù)SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、兩個銳角對應相等，沒有邊之間的關系，不能判定兩個直角三角形全等，故A符合題意；B、一個銳角和斜邊對應相等，利用AAS可以判定兩個直角三角形全等，故B不符合題意；C、兩條直角邊對應相等，利用SAS可以判定兩個直角三角形全等，故C不符合題意；D、一條直角邊和斜邊對應相等，利用HL可以判定兩個直角三角形全等，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在和中，，，，則（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由題意可證，有，由三角形內角和定理得，計算求解即可．【詳解】解：∵∴△ABC和△ADC均為直角三角形在和中∵∴∴∵∴故選D．【點睛】本題考查了三角形全等，三角形的內角和定理．解題的關鍵在于找出角度的數(shù)量關系．4．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，在等腰中，，，BD平分，交AC于點D，，若cm，則的周長為（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=AD，利用“HL”證明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周長=BC，再根據(jù)BC=10cm，即可得出答案．【詳解】解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥BC，∠A=90°，∴，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵，，∴AB=BE，∴△DEC的周長=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周長是10cm．故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，熟記各性質并求出△DEC的周長=BC是解題的關鍵．5．（2022·上海·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD與CE分別是斜邊AB上的高與中線，以下判斷中正確的個數(shù)有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠CDB=90°，根據(jù)余角的性質得到∠DCB=∠A，故①正確；根據(jù)直角三角形的性質得到AE=CE=BE，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正確；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正確；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④錯誤．【詳解】∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB+B=90°，∵∠A+∠B=90，∴∠DCB=∠A，∴①正確；∵CE是RtABC斜邊AB上的中線，∴EA=EC=EB，∴∠ACE=∠A，∴∠DCB=∠A，∴∠DCB=∠ACE，∴②正確；∵EC=EB，∴∠B=∠BCE，∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，∴∠B=∠ACD，∴∠ACD=∠BCE，∴③正確；∵BC與BE不一定相等，∴∠BCE與∠BEC不一定相等，∴④不正確；∴正確的個數(shù)為3個，故答案為C.【點睛】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．【答案】兩個銳角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命題的題設與結論部分交換即可得到其逆命題．【詳解】解：命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為“兩個銳角互余的三角形是直角三角形”．故答案為：兩個銳角互余的三角形是直角三角形．【點睛】本題考查了命題與逆命題，解題的關鍵在于找出原命題的條件和結論．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點D在BC上DE⊥AB，點E為垂足，且DC=DE，連接AD，則∠ADB的大小為_____________．【答案】112.5°【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質求∠CAB=∠B=，再證明Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出∠CAD=∠EAD=即可【詳解】解：∵∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=，∵DE⊥AB∴∠DEA=90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠CAD=∠EAD=，∴∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-22.5°-45°=112.5°．故答案為：112.5°．【點睛】本題考查等腰直角三角形性質，三角形全等判定與性質，角平分線判定，三角形內角和，掌握等腰直角三角形性質，三角形全等判定與性質，角平分線判定，三角形內角和是解題關鍵．三、解答題8．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）已知：如圖，在中，，為的外角平分線，交的延長線于點，且．求證：．【答案】見解析【分析】作交的延長線于點；構造，通過轉化線段得出結論；【詳解】證明：如圖，作交的延長線于點；∵∴∵為的外角平分線；∴在和中∴∴

，∴∵∴∴∵∴【點睛】本題考查了角平分線的性質定理、全等三角形的判定與性質；熟練運用角平分線的性質構造全等三角形是解題的關鍵．9．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）如圖，在中，(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點）；(2)如果在（1）條件下點是的中點，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作已知角的角平分線的作圖方法進行作圖即可；（2）作交于點；作交于點；構造；即可得出結論；【詳解】（1）解：作圖如下：（2）證明：如圖，作交于點；作交于點；由（1）可知：平分∴∵點是的中點∴在和中∴∴【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．10．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：BE＝CF．【答案】見解析【分析】證明即可證明BE＝CF．【詳解】證明：∵AB＝AC，AD為∠BAC的平分線∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∴，∴BE＝CF．【點睛】本題考查了HL證明三角形全等，以及全等三角形的性質，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．11．（2022·上海·八年級期末）如圖，AB、ED分別垂直于BD，點B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，求證：△ACE是直角三角形．【答案】見解析【分析】先根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)“HL”判斷Rt△ABC≌Rt△CDE，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，則可利用平角的定義得到∠ACE=90°，于是可判斷△ACE是直角三角形．【詳解】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ACE=90°，∴△ACE是直角三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判斷與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．12．（2022·上海·八年級階段練習）如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D求證：AB=AD．【答案】見解析【分析】連接AC，證明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到AB=AD．【詳解】解：證明：如圖，連接AC，∵CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴AB=AD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．【能力提升】一、單選題1．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖在Rt△ABC=90，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，AC=2，BC=4，那么下列結論中錯誤的是（

）A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等判斷A；根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質判斷B；根據(jù)三角形的面積公式計算，判斷D．【詳解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°．∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，故A正確，不符合題意；在Rt△ACB中，AB2．∵∠ACB=90°，CM是斜邊上的中線，∴CM，故B正確，不符合題意；在Rt△ACB中，AB=2，AC=2，∴∠B≠30°，故C錯誤，符合題意；2×42CD，解得：CD，故D正確，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形的性質和勾股定理，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎铝姓f法，其中結論正確的個數(shù)是（

）①等腰三角形一邊上的高就是這條邊上的中線；②等腰三角形的對稱軸就是底邊上的中線；③若一條直線上的一點P到線段兩端的距離相等，則這條直線是這條線段的垂直平分線；④若兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對應相等，則這兩個直角三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】分別根據(jù)等腰三角形三線合一的性質、等腰三角形的對稱性、線段垂直平分線的性質、直角三角形全等的判定定理分別對各項進行判斷即可．【詳解】解：①等腰三角形底邊上的高就是這條邊上的中線，故原說法錯誤；②等腰三角形的對稱軸就是底邊上的中線所在的直線，故原說法錯誤；③若一條直線上的一點P到線段兩端的距離相等，只能說明這個點在這條線段的垂直平分線上，此說法錯誤；④若兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對應相等，則這兩個直角三角形全等，正確．故選：A．【點睛】本題考查軸對稱的性質、軸對稱圖形、全等三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于基礎題．3．（2022·上海·八年級專題練習）下列命題中，假命題是（

）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等B．三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等C．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等D．一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等【答案】C【分析】由線段的垂直平分線的性質可判斷A，由三角形的角平分線的性質可判定B，由判定兩個三角形全等可判斷C，由判定兩個直角三角形全等可判斷D，從而可得答案.【詳解】解：三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等，是真命題，故A不符合題意；三角形三個內角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等，是真命題，故B不符合題意；兩腰對應相等的兩個等腰三角形不一定全等，因為兩腰的夾角不一定相等，故C符合題意；如圖，則一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等，是真命題，故D不符合題意；故選C【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，掌握“判定命題真假的方法”是解本題的關鍵.4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）下列命題中，是假命題的是（

）A．斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；B．在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．C．每個命題都有逆命題；D．每個定理都有逆定理．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定、角平分線的判定、命題和定理的定義判斷即可．【詳解】A、斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，是真命題；B、根據(jù)角平分線的判定：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上，是真命題；C、每個命題都有逆命題，是真命題；D、每個定理不一定都有逆定理，每個定理都有逆命題，而命題有真有假，故每個定理都有逆定理是假命題；故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．二、填空題5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分別是AC、BD的中點，則線段MN的長為_____．【答案】5【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BM=DM=13，根據(jù)等腰三角形的性質得到BN=12，根據(jù)勾股定理得到答案.【詳解】連接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點，∴BM=AC，DM=AC，∴BM=DM=13，又N是BD的中點，∴BN=DN=BD=12，∴MN==5，故答案為5.【點睛】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD,CE,CF分別是中線，角平分線，高，則和的大小關系：_________________【答案】相等【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ACE=∠BCE，再根據(jù)高線的定義以及直角三角形的性質可得∠BCF=∠A，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=CD，然后根據(jù)等邊對等角的性質得到∠ACD=∠A，最后根據(jù)圖形寫出角的關系即可得證．【詳解】證明：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE=∠BCE．∵CF⊥AB，∠ACB=90°，∴∠BCF=∠A（同角的余角相等）．∵CD是AB邊上的中線，∠ACB=90°，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A（在同一個三角形中，等邊對等角），∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A，∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A，∴∠DCE=FCE．故答案為：相等．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊對等角的性質，準確識圖，理清圖中角度之間的關系是解題的關鍵．7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）等腰三角形的頂角為120°，底邊上的高為3cm，則它的腰長為______cm.【答案】6【分析】畫出圖形，可求得底角為30度，結合已知，由含30°的直角三角形的性質可求得腰的長．【詳解】如圖，AB=AC，AD⊥BC于點D，AD=3cm，∠BAC=120°，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°∵AD⊥BC∴AB=3÷=6cm．故填：6．【點睛】此題考查等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，求得30°的角是正確解題的關鍵．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖，已知D是直角三角形ABC中BC邊的延長線上的一點，CD＝AC，∠ACB=60°，則BC∶CD=______【答案】1:2【分析】由條件可求得∠BAC=30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性質可求得AC=2BC的長，進而求出結果．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=2BC，∵CD＝AC，∴CD=2BC，∴BC∶CD=1:2，故答案為1:2．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質，掌握在直角三角形中30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為角，那么這個直角三角形的較小的內角是________.【答案】25【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，證明得到，再利用外角性質求出，再得到，從而得解.【詳解】如圖所示，∵是斜邊上的中線，∴，∴，∵斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為，即，∴，解得：，另一個銳角，∴這個直角三角形的較小內角是.故答案為：.【點睛】本題考查了直角三角形的性質和外角的性質，比較基礎.10．（2020·上海市澧溪中學八年級階段練習）如圖，點A為的平分線上一點，過A任意作一條直線分別與的兩邊相交于B、C，P為中點，過P作的垂線交射線于點D，若，則的度數(shù)為_度．【答案】75【分析】過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，求出∠EDF，根據(jù)角平分線性質求出DE＝DF，根據(jù)線段垂直平分線性質求出BD＝CD，證Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF，即可得出答案．【詳解】如圖：過D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，則∠DEB＝∠DFC＝∠DFO＝90°，∵∠MON＝105°，∴∠EDF＝360°?90°?90°?105°＝75°，∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD∠MON，∴DE＝DF，∵P為BC中點，DP⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB＝∠CDF，∴∠BDC＝∠BDF＋CDF＝∠BDF＋∠EDB＝∠EDF＝75°．故答案為：75．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質，線段垂直平分線性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．11．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，是的高，，，，則__．【答案】##20度【分析】：證明，根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出，計算即可．【詳解】解：是的高，，在和中，，，，在中，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．三、解答題12．（2022·上海·八年級專題練習）已知：如圖，，分別為垂足，的垂直平分線交于點，交于點，.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)條件可以得出△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF=∠CFB；（2）根據(jù)∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，從而求解．【詳解】證明：（1）∵的垂直平分線交于點，交于點，∴AF=BF，AE=BE．∵AD⊥CD，BC⊥CD，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中，∴△ADF≌△FCB（HL），∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴．【點睛】本題考查了直角三角形的性質的運用，垂直平分線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵、13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．（1）求證：PM＝PN；（2）聯(lián)結MN，求證：PD是MN的垂直平分線．【答案】（1）見解析

（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可得到答案；（2）利用“HL”證明Rt△PDM≌Rt△PDN，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DM＝DN，然后根據(jù)線段的垂直平分線性質定理的逆定理即可得到結論；【詳解】解：(1)∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，,∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；（2）在Rt△PDM和Rt△PDN中，，∴Rt△PDM≌Rt△PDN（HL），∴DM＝DN，∴D在MN的垂直平分線上，∵PM＝PN，∴P在MN的垂直平分線上，∴PD是MN的垂直平分線．【點睛】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，確定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB和DM=DN是解題的關鍵．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD＝DC，DF，DE分別垂直于AB，AC，垂足分別為F，E；求證：BF＝CE【答案】證明見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質可得到DE=DF，再根據(jù)BD=DC，利用HL來判定Rt△DBF≌Rt△DCE，由全等三角形的性質即可得到BF＝CE．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE，DF分別垂直于AC，AB，∴DE=DF，在Rt△DBF和Rt△DCE中，，∴Rt△DBF≌Rt△DCE（HL），∴BF＝CE．【點睛】本題考查了三角形全等的判定及性質，用到的知識點是角平分線的性質和全等三角形的判定與性質，得到DE=DF是解題的關鍵．15．（2021·上海市莘光學校八年級期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉．(1)當C轉到AB邊上點C′位置時，A轉到A′，（如圖1所示）直線CC′和AA′相交于點D，試判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)將Rt△ABC旋轉至A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出此時旋轉角α的度數(shù)．【答案】(1)，證明見解析(2)成立，證明見解析(3)【分析】（1）設，先根據(jù)直角三角形的性質可得，再根據(jù)旋轉的性質可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質可得，，都是等邊三角形，從而可得，由此即可得出結論；（2）在上截取，連接，先根據(jù)旋轉的性質可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質可得，最后根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可得出結論；（3）如圖（見解析），先根據(jù)旋轉的性質可得，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質可得，最后根據(jù)旋轉角即可得．(1)解：，證明如下：設，在中，，，由旋轉的性質得：，，和都是等邊三角形，，，是等邊三角形，，；(2)解：成立，證明如下：如圖，在上截取，連接，由旋轉的性質得：，，，在和中，，，，，，；(3)解：如圖，當點三點在一條直線上時，由旋轉的性質得：，，在和中，，，，則旋轉角．【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，較難的是題（2），通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．16．（2021·上海民辦行知二中實驗學校八年級期中）如圖，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點B分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點A，C．(1)若點B的坐標為（1，2），求A，C兩點的坐標；(2)若點B是y＝（x＞0）的圖象上任意一點，求△ABC的面積．(3)OC平分OA與x軸正半軸的夾角，將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點B′落在OA上，求四邊形OABC的面積．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由軸，軸，可得A、C的縱坐標和橫坐標，代入即可得出點A、C的坐標；（2）設，由（1）同理得，即可得出△ABC的面積；（3）延長BC交x軸于D點，利用角平分線的性質可得CD＝CB'，再證Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，從而解決問題．（1）解：（1）∵軸，B（1，2），∴當x＝1時，y＝1，即C（1，1），∵軸，∴當y＝2時，x＝，即；（2）解：當點B是（x＞0）的圖象上任意一點時，設，由（1）同理得，∴S△ABC＝AB×BC＝；（3）解：延長BC交x軸于D點，∵軸，軸，則∠ABC＝90°，∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴CD⊥x軸，∵將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點B′落在OA上，∴∠CB'O＝∠ABC＝90°，∴CB'⊥OA，∵OC平分∠AOD，CD⊥x軸，CB'⊥OA，∴CD＝CB'，在Rt△OCD和Rt△OCB'中，，∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），∴，由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝，∴四邊形OABC的面積為．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，坐標與圖形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質等知識，熟練的運用反比例函數(shù)的性質是解本題的關鍵．17．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠ACB的平分線、線段AB的中垂線、它們的交點M（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點M）；(2)過點M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E、F．求證：BE＝AF．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用尺規(guī)作出的角平分線，線段的中垂線即可；（2）證明，可得．（1）解：如圖，點即為所求；（2）解：證明：如圖，連接，，點在的垂直平分線上，，平分，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．【答案】(1)證明見詳解；(2)=．【分析】（1）過點A作AF⊥CD交CD延長線于F，先根據(jù)AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，得出AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，再證Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），得出BE=DF，然后證明Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）即可；（2）先求出BC=4BE，CD=2BE,，然后S△ABC=，S△ADC=即可．（1）證明：過點A作AF⊥CD交CD延長線于F，∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴AE=AF，∠AEB=∠AFD=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴CE=CF，∴CE=CF=CD+DF=CD+BE；（2）解：BC=BE+EC=BE+3BE=4BE，∴S△ABC=，∴CD=CF-FD=CE-BE=3BE-BE=2BE，∴S△ADC=，∴=．【點睛】本題考查角平分線性質，三角形全等判定與性質，三角形面積，線段和差倍分，掌握角平分線性質，三角形全等判定與性質，三角形面積，線段和差倍分是解題關鍵．19．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）（1）已知，如圖，在三角形中，AD是BC邊上的高．尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）﹔（2）在已作圖形中，若l與AD交于點E，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）直接運用“角平分線——尺規(guī)作圖”的方法進行作圖即可．（2）過點E作EH⊥AB于H，將AB分成兩部分，再證明ВH=BD，AH=CD，即可求證．【詳解】（1）∠ABC的角平分線如圖所示：（2）如圖，過點E作EH⊥AB于H，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC，∴EH=ED，∵BE=BE，∴△BDE≌△BHE（HL），∵ВH=BD，在Rt△BDE和Rt△ADC中，∴△BDE≌△ADC