江蘇省宿遷市沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)第一次月考考試試卷（解析版）

2024－2025學(xué)年度第二學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（總分：150分，時(shí)長(zhǎng)：120分鐘）一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分，每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)的字母涂在答題卡相應(yīng)的位置）1.在、0、、這四個(gè)數(shù)中，為無(wú)理數(shù)的是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)．如，，（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多1個(gè)0）等形式．無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A、是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2.下列計(jì)算正確的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方法則以及完全平方公式解答即可．【詳解】A、3a與2b不是同類項(xiàng)，故不能合并，故選項(xiàng)A不合題意；B、（a3）2=a6，故選項(xiàng)B符合題意；C、a6÷a3=a3，故選項(xiàng)C不符合題意；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故選項(xiàng)D不合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)、合并同類項(xiàng)的法則以及完全平方公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．3.在“慶五四·展風(fēng)采”的演講比賽中，七位評(píng)委給某同學(xué)打出的成績(jī)依次為：9.3，9.0，8.7，8.7，9.3，8.9，9.4．若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則下列統(tǒng)計(jì)量不變的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.方差【答案】B【解析】【分析】本題考查了中位數(shù)的定義．根據(jù)中位數(shù)的定義即可得．【詳解】解：將該同學(xué)的分?jǐn)?shù)按從小到大進(jìn)行排序?yàn)?.7，8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，94，則去掉前其中位數(shù)9.0分，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，該歌手的分?jǐn)?shù)為8.7，8.9，9.0，9.3，9.3，則去掉后其中位數(shù)為9.0分，因此，去掉前與去掉后沒有改變的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是中位數(shù)，故選：B．4.實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)數(shù)的乘法和加法法則以及不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：由題意可得：，所以，∴，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知：只有選項(xiàng)D的結(jié)論是正確的；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸以及不等式的性質(zhì)，正確理解題意、得出是解題的關(guān)鍵.5.二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.開口向上 B.對(duì)稱軸為直線C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)解析式得出開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即可求解．【詳解】解：關(guān)于二次函數(shù)，，開口向下，A不符合題意；對(duì)稱軸為直線，B符合題意；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，C不符合題意；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，D不符合題意；故選：B6.中國(guó)古代《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問(wèn)題：今天有四人共車，一車空；二人共車，八人步．問(wèn)人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，恰好剩余1輛車無(wú)人坐；若每2人共乘一車，最終剩余8個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)有多少人？多少輛車？如果設(shè)有輛車．則總?cè)藬?shù)可表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由4人乘一車，恰好剩余1輛車無(wú)人坐，求總?cè)藬?shù)為；若每2人共乘一車，最終剩余8個(gè)人無(wú)車可乘，求總?cè)藬?shù)為；依此即可求解．【詳解】解：∵有x輛車，∴總?cè)藬?shù)為或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，能夠根據(jù)題意，列出代數(shù)式是求解的關(guān)鍵．7.如圖，四邊形內(nèi)接于，是直徑，，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.如圖1，在菱形中，，M是的中點(diǎn)，N是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)長(zhǎng)為x，線段與長(zhǎng)度的和為y，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則圖象最低點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A.（2，3） B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，根據(jù)點(diǎn)F的坐標(biāo)可得，連接，連接交于點(diǎn)，連接，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，根據(jù)菱形的性質(zhì)易得為等邊三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可求出，由平行線和菱形的性質(zhì)易得，進(jìn)而求出，以此即可求解．【詳解】解：∵圖象右端點(diǎn)F的坐標(biāo)為，M是的中點(diǎn)，∴，∴，如圖，連接，連接，交于點(diǎn)N′，連接，∴當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)時(shí)，取得最小值為，∵四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，不需要寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）9.若二次根式有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】x≥1【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，∴x≥1，故答案為：x≥1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)大于等于0．10.分解因式：_____．【答案】【解析】【詳解】解：先提取公因式2后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：原式，故答案為：．11.2024年6月2日6時(shí)23分，“嫦娥六號(hào)”著陸器在月球背面預(yù)定著陸區(qū)域成功著陸．月球與地球之間的距離約為380000千米，將380000用科學(xué)記數(shù)法表示為_____【答案】【解析】【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示是，故答案為：12.已知，，則______．【答案】24【解析】【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，先根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解再整體代入求值是解題的關(guān)鍵．13.已知圓錐的母線長(zhǎng)為高為則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是________________________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理算出圓錐底面圓的半徑，然后算出弧長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式反推出圓心角．【詳解】解：根據(jù)母線和高，用勾股定理可以算出圓錐底面圓的半徑，則展開之后扇形的弧長(zhǎng)就等于底面圓的周長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式，得到，算出．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查扇形和圓錐有關(guān)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是要熟悉扇形和圓錐之間的關(guān)系以及有關(guān)的計(jì)算公式．14.已知a和b是方程的兩個(gè)解，則的值為________．【答案】2029【解析】【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，熟練掌握一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵．先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得，，再將變形為，然后整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵a和b是方程的兩個(gè)解，∴，，∴，∴，故答案為：2029．15.根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系是，當(dāng)飛行時(shí)間t為___________s時(shí)，小球達(dá)到最高點(diǎn)．【答案】2【解析】【分析】將函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，有，當(dāng)時(shí)，有最大值．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式的相互轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練二次函數(shù)解析式的特點(diǎn)及應(yīng)用．16.如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，作射線交于點(diǎn)F．已知，，則的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】本題考查了作圖基本作圖：作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)基本作圖可判斷平分，過(guò)F作于G，再利用角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)勾股定理求出．【詳解】解：過(guò)F作于G，由作圖得：平分，，，∴，在中根據(jù)勾股定理得：，，，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即：，解得：，，在中根據(jù)勾股定理得：．故答案為：．17.如圖，已知點(diǎn)，，，在平行四邊形中，它的對(duì)角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，且，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明得出，，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的垂線，垂足分別為，∵四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，，，∴，∴，即，則，∵軸，軸，∴∴∴∴，∴∴故答案為：．18.如圖，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得．連接、，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】【解析】【分析】本題考查直線與圖形的變化，繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將線段和線段向左平移，得到點(diǎn)、、，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)，根據(jù)線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，可得點(diǎn)，即點(diǎn)，則，顯然當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)點(diǎn)．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將線段和線段向左平移，得到點(diǎn)、、，作軸于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，，，，坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，即點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)取最小值時(shí)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為．三、解答題（本題10小題，共96分．解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了二次根式運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪，利用零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，再加減，即可得到結(jié)果，熟練計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值和二次根式的混合運(yùn)算．先利用分式的減法和除法法則化簡(jiǎn)分式，把字母的值代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式.21.如圖，在中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】只需要證明，得到，即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明，得到是解題的關(guān)鍵．22.某校決定加強(qiáng)羽毛球、籃球、乒乓球、排球、足球五項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)，每位同學(xué)必須且只能選擇一項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)，對(duì)該校隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖：運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目頻數(shù)（人數(shù)）羽毛球30籃球a乒乓球m排球b足球12請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答下列問(wèn)題：（1）頻數(shù)分布表中的，；（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“排球”所在的扇形的圓心角為度；（3）若全校有1200名學(xué)生，求選擇參加乒乓球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有多少名？【答案】（1）24，18（2）54（3）選擇參加乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)是人【解析】【分析】本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖表求出總?cè)藬?shù)和每個(gè)部分的人數(shù)和占比，各部分所在的扇形的圓心角將百分比乘即可．（1）先求總?cè)藬?shù)，再求出每個(gè)部分的人數(shù)；（2）求出“排球”人數(shù)百分比，再乘即可；（3）學(xué)?？?cè)藬?shù)乘“乒乓球”人數(shù)的百分比即可．【小問(wèn)1詳解】解：總?cè)藬?shù)：（人，籃球人數(shù)：（人，乒乓球人數(shù)：（人，排球人數(shù)：（人．故答案為：24，18；【小問(wèn)2詳解】解：“排球”所在的扇形的圓心角為：．故答案為：54；【小問(wèn)3詳解】解：（人．答：選擇參加乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)是人．23.在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，“水是生命之源”項(xiàng)目組為了解本地區(qū)人均淡水消耗量，需要從四名同學(xué)（兩名男生，兩名女生）中隨機(jī)抽取若干人，組成調(diào)查小組進(jìn)行社會(huì)調(diào)查．（1）隨機(jī)抽取一人，恰好是男生的概率是；（2）隨機(jī)抽取兩人，請(qǐng)用畫樹狀圖或者列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用簡(jiǎn)單地概率計(jì)算公式求解即可；（2）利用畫樹狀圖法計(jì)算概率．本題考查了概率的計(jì)算，畫樹狀圖，熟練運(yùn)用公式，畫樹狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】4名同學(xué)報(bào)名（2名男生和2名女生），分配1個(gè)名額，則抽到男生的概率是，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中抽到一名男生和一名女生的等可能性有8個(gè)，故抽到一名男生和一名女生的概率，故答案為：．24.為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．（1）求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）行進(jìn)路線和所在直線的夾角為（2）檢查點(diǎn)和之間的距離為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作，垂足為，由等角對(duì)等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，，，，．在中，，．答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)A作，垂足為．，，．,在中，，．,在中，，，．答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．25.如圖，在中，O為上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，與相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作交BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且．（1）若，則°；（2）求證：為的切線；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)、垂線的定義以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)O作的垂線，證明即可；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理可求出，，，進(jìn)而求出，再由相似三角形的性質(zhì)可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：∵，∴，即，∴，∵為的切線，點(diǎn)是切點(diǎn)，∴，即，∴，又∵，∴，故答案為：30；【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)E，由（1）可得，∵，∴，即，，∵，∴，∴，即是的平分線，又∵，，∴，∵是半徑，∴點(diǎn)到的距離等于半徑，∴為的切線；【小問(wèn)3詳解】解：∵，，∴，在中，由于，設(shè)，則，∴，∵，∴，即，，在中，，∵，，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定方法以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．26.2023年5月30日上午9點(diǎn)31分，神舟十六號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_(tái)演播大廳觀看現(xiàn)場(chǎng)直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購(gòu)進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．（1）求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？（2）已知畢業(yè)班同學(xué)一共有300人，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫，求有幾種購(gòu)買方案？（3）在實(shí)際購(gòu)買時(shí)，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購(gòu)人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，試求m值．【答案】（1）A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，（2）一共有六種購(gòu)買方案（3）【解析】【分析】（1）設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，然后根據(jù)用500元購(gòu)進(jìn)A款和用400元購(gòu)進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買A款文化衫a件，則購(gòu)買B款文化衫件，然后根據(jù)，學(xué)校計(jì)劃用不多于14800元，不少于14750元購(gòu)買文化衫列出不等式組求解即可；（3）設(shè)購(gòu)買資金為W元，購(gòu)買A款文化衫a件，則購(gòu)買B款文化衫件，求出，根據(jù)（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，可得W的取值與a的值無(wú)關(guān)，由此即可求出．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)A款文化衫每件x元，則B款文化衫每件元，由題意得，，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解，∴，∴A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元，答：A款文化衫每件50元，則B款文化衫每件40元；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買A款文化衫a件，則購(gòu)買B款文化衫件，由題意得，，解得，∵a是正整數(shù)，∴a的取值可以為275，276，277，278，279，280，∴一共有六種購(gòu)買方案；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)購(gòu)買資金為W元，購(gòu)買A款文化衫a件，則購(gòu)買B款文化衫件，由題意得，，∵（2）中的所有購(gòu)買方案所需資金恰好相同，∴W的取值與a的值無(wú)關(guān)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的實(shí)際應(yīng)用，整式的加減的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程和不等式組是解題的關(guān)鍵．27.某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為10，，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）（2），理由見解析（3）【解析】【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，可求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案