高考數(shù)學(xué)第二輪專題第6講-三角恒等變換與解三角形

高考第二輪專題數(shù)學(xué)新高考2第6講三角恒等變換與解三角形1.[2019·全國卷Ⅱ]已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα= A.15 B.55 C.33 2.[2018·全國卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB= (A.42 B.30C.29 D.253.[2020·全國卷Ⅲ]在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB= (A.19 B.13 C.12 4.[2018·全國卷Ⅲ]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2+b2-cA.π2 B.π3 C.π4 5.[2020·全國卷Ⅰ]如圖M2-6-1,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

圖M2-6-16.[2019·浙江卷]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

三角恒等變換與求值1(1)已知cosπ4+θ=223,則sin2θ的值是 ()A.-79 B.-29 C.29 (2)若sinα+π5=-13,α∈(0,π),則cosπ20-α= ()A.4-26 C.-4-26 D【規(guī)律提煉】三角恒等變換主要是利用兩角和與差的公式及二倍角公式解決相關(guān)的三角函數(shù)問題.一般地,若α∈[0,π],應(yīng)該選擇計(jì)算它的余弦值,若α∈-π2,π2,應(yīng)該選擇計(jì)算它的正弦值,可以避免不必要的兩解.如果題中給出的是部分角的正切值,那么可以去求所求角的正切值.總之,要根據(jù)角的范圍合理選擇正弦、余弦、正切,減少討論.測題1.設(shè)α,β滿足tanα+3π4=3,tanβ+π4=2,則tan(α+β)= ()A.-1 B.-12 C.17 D2.已知α∈0,π2,β∈0,π2,若sin2αcosβ=2cos2α(1+sinβ),則下列說法中正確的是 ()A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=3.已知tanθ+π4=12,則tanθ-π2=.

利用正、余弦定理解三角形角度1三角形中基本量的求解2(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知C=2π3,sinB=3sinA,若△ABC的面積為63,則c= (A.22 B.226 C.214 D.47(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則“asinB=b+csinC+sinA”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【規(guī)律提煉】三角形中共有七個(gè)幾何量(三邊三角以及外接圓的半徑),一般地,知道其中的三個(gè)量(除三個(gè)角外),可以求得其余的四個(gè)量.(1)如果知道三邊或兩邊及其夾角,那么用余弦定理;(2)如果知道兩邊及一邊所對的角,那么用正弦定理(也可以用余弦定理求第三條邊);(3)如果知道兩角及一邊,那么用正弦定理.測題1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且acosC-(2b-c)cosA=0,則角A的大小為()A.π4 B.π3 C.π2 2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若A=60°,b>1,c=a+12,則當(dāng)△ABC的周長最短時(shí),b的值為 (A.2+22 B.2C.1+22 D.1+3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=.

角度2三角形的綜合問題3(1)設(shè)a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足cosAa+cosBb=23sinC3a,若b=2A.3 B.23 C.233 D(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積等于8,a=5,tanB=-43,則△ABC的外接圓的半徑為 (A.565 B.565C.5654 D【規(guī)律提煉】1.三角形的綜合問題,常常和基本不等式、基本函數(shù)甚至導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系,特別地,如a+b+ab≥2ab+ab,再令ab=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題,或a+b+ab≤a+b+a+b22,再令a+b=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題等.有時(shí)利用余弦定理、正弦定理與等角(或角互補(bǔ))構(gòu)造等式解題2.三角形中的取值范圍問題.解三角形中的求最值與取值范圍問題主要有兩種方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是將所求式轉(zhuǎn)化為含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)的形式,結(jié)合角的取值范圍確定所求式的取值范圍.測題1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,且c=2a,則sinB的值為 ()A.34 B.74 C.1 D2.在△ABC中,若B=π3,AC=3,則AB+2BC的最大值為.圖M2-6-23.如圖M2-6-2,在平面凸四邊形ABCD中,AB=AD=CD=2BC=4,P為對角線AC的中點(diǎn).若PD=3PB,則PD=,∠ABC=.

解三角形的實(shí)際應(yīng)用4(1)春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式,圖M2-6-3開始時(shí)使用提水吊桿——桔槔,后發(fā)展成轆轤.19世紀(jì)末,由于電動(dòng)機(jī)的發(fā)明,離心泵得到了廣泛應(yīng)用,為發(fā)展機(jī)械提水灌溉提供了條件.圖M2-6-3為灌溉抽水管道在等高圖上的投影,在A處測得B處的仰角為37°,在A處測得C處的仰角為45°,在B處測得C處的仰角為53°,A點(diǎn)所在等高線值為20米,若BC管道長為50米,則B點(diǎn)所在等高線值為參考數(shù)據(jù):sin37°=35 ()A.30米 B.50米C.60米 D.70米(2)如圖M2-6-4,為測量某公園內(nèi)湖的岸邊A,B兩處間的距離,一無人機(jī)在空中P點(diǎn)處測得A,B的俯角分別為α,β,此時(shí)無人機(jī)的高度為h,則A,B間的距離為 ()圖M2-6-4A.h1sin2αC.h1cos2α【規(guī)律提煉】解三角形的實(shí)際應(yīng)用主要體現(xiàn)在解決一些實(shí)際問題中的測高和測距問題,這樣就需要將實(shí)際問題中已知以及待求的角度、距離等融合到一個(gè)或幾個(gè)三角形中,再結(jié)合正、余弦定理求解.測題1.珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的,這種擠壓一直在進(jìn)行,珠穆朗瑪峰的高度也一直在變化.由于地勢險(xiǎn)峻,氣候惡劣,通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身高”.攀登者們攜帶高精度測量儀器,采用分段測量的方法,從山腳開始,直到到達(dá)山頂,再把所有的高度差累加,就會(huì)得到珠峰的高度.2020年5月,中國珠峰高程測量登山隊(duì)8名隊(duì)員開始新一輪的珠峰測量工作.在測量過程中,已知豎立在B點(diǎn)處的測量覘標(biāo)BC高10米,攀登者們在A處測得覘標(biāo)底點(diǎn)B和頂點(diǎn)C的仰角分別為70°,80°,如圖M2-6-5所示,則A,B的高度差約為(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,sin80°≈0.98) ()圖M2-6-5A.10.00米 B.9.80米 C.9.40米 D.8.62米2.如圖M2-6-6,某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為120°