中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項提升第24講 矩形的性質(zhì)與判定(練習(xí))(原卷版)

第五章四邊形第24講矩形的性質(zhì)與判定TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01矩形性質(zhì)的理解??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)??題型06矩形的折疊問題??題型07利用矩形的性質(zhì)證明??題型08矩形判定定理的理解??題型09添加一個條件使四邊形是矩形??題型10證明四邊形是矩形??題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度??題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長??題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積??題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型15與矩形有關(guān)的新定義問題??題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題??題型17與矩形有關(guān)的動點問題??題型18與矩形有關(guān)的最值問題??題型19矩形與函數(shù)綜合??題型20與矩形有關(guān)的存在性問題??題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題??題型01矩形性質(zhì)的理解1．（2024·貴州黔東南·一模）在下列立體圖形中，左視圖為矩形的是（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶·模擬預(yù)測）正方形具備而矩形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．四個角都是直角C．對角線互相平分 D．對角線相等3．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）下列圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A．等邊三角形 B．矩形 C．菱形 D．正六邊形4．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，矩形紙片的長為4，寬為3，矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進行剪裁，使其分成兩塊紙片．請在下列備用圖中，用實線畫出符合相應(yīng)要求的剪裁線．注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況．??題型02根據(jù)矩形的性質(zhì)求角度5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E．若∠ODA=30°，則∠BOE的度數(shù)為(

)

A．45° B．60° C．65° D．75°6．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）石油的提取物中含有稠環(huán)芳香烴，它的同系物的分子結(jié)構(gòu)中有一種物質(zhì)叫釋迦牟尼分子，它的分子式是CH2（部分結(jié)構(gòu)是正六邊形和矩形構(gòu)成），其中∠1的度數(shù)為7．（2024·海南?？凇つM預(yù)測）如圖，把一塊等腰直角三角尺EFG的直角頂點G放在矩形紙片ABCD的邊BC上，另外兩個頂點E、F分別在矩形紙片ABCD的邊AD、CD上，若∠GFC=76°，則∠AEG=（

）A．106° B．105° C．104° D．102°8．（2024·河北唐山·一模）如圖，直線a∥b，線段AB和矩形CDEF在直線a，b之間，點A，E分別在a，b上，點B、C、F在同一直線上，若∠α=80°，∠β=55°，則∠ABC=（A．130° B．135° C．140° D．150°??題型03根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長9．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD的中點，連接BE交對角線AC于點F．若AC=6，則AF的長為．10．（2024·河北石家莊·二模）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點P為CD的中點，若點P繞AB上的點Q旋轉(zhuǎn)后可以與點B重合，則AQ的長為（

）A．6 B．116 C．3 11．（2024·江蘇無錫·一模）如圖，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE=CF，將△BCF沿著BC方向向右平移到△EGH，連接DH、EH，當(dāng)DE=EH時，DH長是；運動過程中，△DEH的面積的最小值是．

12．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，點E在AD邊上，BE平分∠ABC，F(xiàn)，G分別是BE，CE的中點，AF=22，DG=5，則FG的值為（A．5 B．22 C．2313．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分別是AD,BC上的點（點E,F分別不與點A,C重合），且EF⊥BD，則BE+EF+DF的最小值為．??題型04根據(jù)矩形的性質(zhì)求周長，面積14．14．（2024·甘肅平?jīng)觥と＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，連接EF，則△AEF的周長為．15．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，點E是矩形內(nèi)部一動點，且∠BAE=∠CBE，已知DE的最小值等于2，則矩形ABCD的周長=16．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在長方形ABCD中，AB=5，AD=3，以點D為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段CD延長線于點E，點F為BC邊上一點，若CF=2BF，連接EF，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留17．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=4，點P從點B出發(fā)沿BC邊勻速移動到點C，同時點Q從點C出發(fā)沿CD、DA、AB邊向點B勻速移動，且點Q移動的速度是點P移動速度的2倍，設(shè)PB的長為x，△PCQ的面積為y，則下列各圖中能夠正確反映y與x的函數(shù)圖象的是（

）.A． B． C． D．18．（2024·山東菏澤·二模）利用圖形的分、和、移、補探索圖形關(guān)系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=6，b=4，則矩形ABCD的面積是．19．（2024·廣東清遠(yuǎn)·模擬預(yù)測）y=?x+6與y=x+2的圖象交于點M，設(shè)點M的坐標(biāo)為(m，n)，求邊長分別為m、??題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)20．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=?12x+4分別與x軸、y軸交于點A、B，點M在坐標(biāo)軸上，點N在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、M、N為頂點的四邊形為矩形，則點N21．（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO兩邊與坐標(biāo)軸重合，OA=2，OC=1．將矩形ABCO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2025次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點B的坐標(biāo)為（

）A．1,2 B．2,1 C．?2,?1 D．?1,222．（2023·河南商丘·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，點A，C分別在y軸、x軸上，且點B4,3，D為邊BC上一點，將∠B沿AD所在直線翻折，當(dāng)點B的對應(yīng)點B'恰好落在對角線AC上時，點D的坐標(biāo)為(A．4,43 B．4,5323．（2022·河北邢臺·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點坐標(biāo)分別為A8，0

（1）矩形OABC（不包含邊界）內(nèi)的偶點的個數(shù)為；（2）若雙曲線L：y=kxx>0將矩形OABC（不包含邊界）內(nèi)的偶點平均分布在其兩側(cè)，則k24．（2024·四川樂山·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，OC=3，OA=26，D是BC的中點，將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD，延長OG交AB于點E，連接DE，則點GA．365,35 B．66??題型06矩形的折疊問題25．（2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊，使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD=3，則CD的長為．26．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A4,0，C0,42是矩形OABC的頂點，點M,N分別為邊AB,OC上的點，將矩形OABC沿直線MN折疊，使點B的對應(yīng)點B'在邊OA的中點處，點C的對應(yīng)點C'27．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD的長BC=15，將矩形ABCD對折，折痕為PQ，展開后，再將∠C折到∠DFE的位置，使點C剛好落在線段AQ的中點F處，則折痕DE=28．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，將一個矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點O(0,0)，點B(23,2)．D是邊BC上一點（不與點B重合），過點D作DE∥OB交OC于點E．將該紙片沿DE折疊，得點C的對應(yīng)點C'．當(dāng)點C'落在OB上時，點??題型07利用矩形的性質(zhì)證明29．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，EF⊥AD于點F，DG⊥AE于點G，DG與EF交于點O．(1)判斷四邊形ABEF的形狀，并說明理由；(2)若AD=AE，AF=1，求DG的長．30．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖①，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，AD=1．將△BCD沿射線BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'為BD中點，連接AB'(1)求證：四邊形AB(2)四邊形ABC'D(3)將四邊形ABC31．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A(1)求證：△A(2)若∠ACB=30°，試問當(dāng)點C'在線段AC上的什么位置時，四邊形AB??題型08矩形判定定理的理解32．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）小穎和小亮參加數(shù)學(xué)實踐活動，檢驗一個用斷橋鋁制作的窗戶是否為矩形，下面的測量方法正確的是（）A．度量窗戶的兩個角是否是90°B．測量窗戶兩組對邊是否分別相等C．測量窗戶兩條對角線是否相等D．測量窗戶兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等33．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某學(xué)習(xí)小組的四位同學(xué)擬訂的方案，其中正確的是（

）A．測量對角線是否互相平分 B．測量各頂點到對角線交點距離是否相等C．測量一組對角是否都為直角 D．測量兩組對邊是否分別相等34．（2023·安徽蚌埠·三模）如圖推理中，空格①②③④處可以填上條件“對角線相等”的是（

）

A．①② B．①④ C．③④ D．②③??題型09添加一個條件使四邊形是矩形35．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知?ABCD，下列條件能使?ABCD成為矩形的是（

）A．AB=BC B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠A=∠C36．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是(1)求證：BE=DF；(2)連接DE，BF．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形37．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，AE⊥BC于點E，點F為AD上一點，連接CF，請你添加一個條件，使得四邊形AECF為矩形．（不再添加其他線條和字母）(1)你添加的條件是__________；(2)根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．38．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC所在直線上，∠ABE=∠CDF．

(1)求證：BE=DF；(2)連BF，DE．請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形BFDE為矩形，并需要說明理由．??題型10證明四邊形是矩形39．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，AB∥CD．求證：四邊形ABCD是矩形．40．（2022·西藏·模擬預(yù)測）在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接(1)求證：△BDF≌△CDE；(2)若DE=12BC41．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，?ABCD中，AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點.(1)求證：BE=DF；(2)設(shè)ACBD=k，直接寫出k=時，四邊形42．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC，尺規(guī)作圖所得射線AF交BC于點D，且四邊形ABDE是平行四邊形，求證：四邊形ADCE是矩形．??題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度43．（2024·福建泉州·一模）“已知∠MON，點A，B是ON邊上不重合的兩個定點，點C是OM邊上的一個動點，當(dāng)△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB的值最大．”這是由德國數(shù)學(xué)家米勒提出的最大角問題，我們稱之為米勒定理．已知矩形ABCD，AD=4，點E是射線AD上一點，點F是射線AB上的一動點．當(dāng)AE=12時，則∠DFE的值最大為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°44．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，連接EG、FH．(1)求證：△AEH≌△CGF；(2)若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度數(shù)．45．（2023·廣東梅州·一模）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC=6:7，求∠ADO的度數(shù)．??題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長46．（22-23八年級下·重慶梁平·期末）如圖，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6．E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F，EG⊥OD于點G，連接FG，則FG的最小值為（）A．2.4 B．3 C．4.8 D．447．（2024·遼寧盤錦·三模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，點D在AC上，且AD=2，點E是AB上的動點，連接DE，點F，G分別是BC和DE的中點，連接AG，F(xiàn)G，當(dāng)AG=FG時，線段DE的長為．48．（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點D，E，連接DE，則DE的最小值是（

A．132 B．6013 C．125??題型13根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求周長，面積49．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=5，延長DC至點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F，連接AC，BE，∠AFC=2∠D．(1)求證：四邊形ABEC是矩形；(2)求?ABCD的面積．50．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF與AC相交于點O，(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AE=BE，AB=2，sin∠ACB=51．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）問題探究（1）如圖1，在?ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，AB，BC，CD上的點（不與?ABCD的頂點重合），連接EG，F(xiàn)H，當(dāng)EG∥AB，F(xiàn)H∥AD時，求證：S四邊形問題解決（2）某設(shè)計師根據(jù)客戶要求在一塊圓形場地進行布景設(shè)置．如圖2，設(shè)計師通過設(shè)計軟件畫出圓形場地，記作⊙O，主區(qū)域△ABC內(nèi)接于⊙O，AB經(jīng)過圓心O，M為AB上一點，ME⊥AC，MF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，要求AE=BF．觀賞區(qū)為△AEM與△BMF，已知AB=25m．設(shè)AM=xm，觀賞區(qū)△AEM與△BMF的面積的和為①求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．②當(dāng)S最大時，求△ABC的面積．52．（2024·貴州遵義·二模）如圖，把四邊形的某些邊向兩方延長，其它各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖，在凹四邊形ABCD中，BC=2,AB=23,∠C=30°,∠A=15°53．（2024·四川遂寧·二模）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，A．19 B．20 C．21 D．22??題型14根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題54．（2023·四川達州·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，點E、O、F在另一條直線上．以下結(jié)論：①△AEG∽△DGF；②AB=2AD；③S△COF=12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個55．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=6，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF．展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q，再次展平，連接BN,MN，延長MN交BC于點G．有如下結(jié)論：①∠ABN=60°；②AM=3；③△BMG是等邊三角形；④P為線段BM上一個動點，H是線段BN的動點，則PN+PH的最小值是33．其中正確結(jié)論的序號是56．（2024·上海閔行·二模）在矩形ABCD中，AB<BC，點E在邊AB上，點F在邊BC上，聯(lián)結(jié)DE、DF、EF，AB=a,BE=CF=b,DE=c,∠BEF=∠DFC，以下兩個結(jié)論：①(a+b)2+(a?b)2=cA．①②都正確 B．①②都錯誤；C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確57．（2023·山東臨沂·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，點E不與A，B重合，且EF=AB，G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=GF且∠EGF=90°的點，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①∠AEG與∠GFB一定相等；②點G到邊AB，BC的距離一定相等；③點G到邊AD，DC的距離可能相等；④點G到邊DC的距離的最小值為3，其中正確的是

??題型15與矩形有關(guān)的新定義問題58．（2024·浙江·一模）我們定義：若一條直線既平分一個圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“紫金線”．(1)如圖1，已知△ABC，AB=AC,AC≠BC，①用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“紫金線”；（保留作圖痕跡）②過點C能作出△ABC的“紫金線”嗎？若能，用尺規(guī)作圖作出；若不能，請說明理由；(2)如圖2，若MN是矩形ABCD的“紫金線”，則依據(jù)圖中已有的尺規(guī)作圖痕跡，可以將∠ACD用含α的代數(shù)式表示為；(3)如圖3，已知四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°,AB=3,BC=8,CD=5．用尺規(guī)作圖作出四邊形ABCD的“紫金線”PQ．（保留作圖痕跡）59．（2024·河南漯河·一模）定義：若一個三角形的面積是另一個三角形面積的n倍，就說這個三角形是另一個三角形的“n倍三角形”，另一個三角形是這個三角形的“n分之一三角形”．如圖1，△ABC的中線AD把三角形分成面積相等的兩部分，即△ABD和△ACD的面積都是△ABC面積的一半，所以△ABC是△ABD或△ACD的“2倍三角形”，△ABD和△ACD都是△ABC的“2分之一三角形”．(1)①如圖2，△ACP是△ABP的“2倍三角形”，那么△ABP是△ABC的“________分之一三角形”；②若點O是△ABC的重心，連接OB，OC，則△ABC是△OBC(2)在△ABC中，AB=2BC，分別延長邊BA，BC到點M，N，連接MN．已知AM=AB，△BMN是△ABC的“16倍三角形”．求證：△BMN與△ABC是相似三角形；(3)如圖3，在矩形ABCD中，AB=4，連接AC，過點D作DE⊥AC于點E，點P，Q分別是線段AD，AE上的動點，連接EP，PQ．已知△ABC是△CDE的“4倍三角形”，求EP+PQ的最小值．60．（2024·遼寧本溪·二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，圖象上任意一點Px,y的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的差即y?x的值稱為點P的“坐標(biāo)差”；例如：點A3,7的“坐標(biāo)差”為理解：（1）求二次函數(shù)y=?x運用：（2）若二次函數(shù)y=?x2?bx+cc≠0的“特征值”為?1，點B與點C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸，y軸的交點，且點拓展：（3）如圖，矩形ODEF，點E的坐標(biāo)為7,4，點D在x軸上，點F在y軸上，二次函數(shù)y=?x2+px+q的圖象的頂點在“坐標(biāo)差”為3①當(dāng)二次函數(shù)y=?x②當(dāng)二次函數(shù)y=?x2+px+q參考公式：y=ax61．（2023·江西上饒·一模）我們給出如下定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖，∠B=∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是．①平行四邊形

②矩形

③菱形

④等腰梯形(2)如圖，在四邊形ABCD中，AB，CD的垂直平分線恰好交于BC邊上一點P，連結(jié)AC，BD，且AC=BD，求證：四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(3)如圖，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B=∠BCD，CE⊥AE，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，猜想PM，PN，CE之間的數(shù)量關(guān)系？并請說明理由．??題型16與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問題62．（2020·遼寧·中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，延長DA到點E，使AE=DA，連接EB，點F1是CD的中點，連接EF1，BF1，得到ΔEF1B；點F2是CF1的中點，連接EF2，BF2，得到ΔEF2B；點

63．（2024·安徽阜陽·三模）鄰邊不相等的矩形紙片，剪去一個正方形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第n次操作余下的四邊形是正方形，操作停止，這樣第n次操作后所得到的余下的正方形則稱為原矩形的n階正方形，如圖，相鄰兩邊長分別為3和5的矩形，最后所得到的正方形為原矩形的3階正方形．矩形相鄰的兩邊長操作次數(shù)最后所得到的正方形為2和11原矩形的1階正方形3和22原矩形的____階正方形8和3__________原矩形的____階正方形(1)完成上表：(2)已知矩形的兩相鄰邊長分別為a,b，滿足a=6b+m,b=3m（m為正整數(shù)），則最后所得到的正方形是原矩形的_____________階正方形．64．（23-24九年級上·山東青島·期中）如圖，依次連接第一個矩形各邊上的中點，得到一個菱形，在依次連接菱形各邊上的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積是1，則第n個矩形的面積是．65．（2024·河南鄭州·三模）綜合實踐【問題】

小張、小王、小袁在《解析與檢測》中發(fā)現(xiàn)這樣一道題：如圖1，在矩形ABCD中，O為對角線BD的中點，∠ABD=60°，動點E在線段OB上，動點F在線段OD上，點E,F同時從點O出發(fā)，分別向終點B,D運動，且始終保持OE=OF．點E關(guān)于AD,AB的對稱點為E1,E2；點F關(guān)于BC,CD的對稱點為【探究】（1）小張覺得在點E,F運動的過程中，四邊形E1E2（2）小王覺得小張說的不全面，于是三人繼續(xù)探索：①小王看到四邊形E1E2F1F2的四邊分別經(jīng)過了原矩形的四個頂點，并說道：在圖1中，連接DE1和D②小王發(fā)現(xiàn)，點E,F在點O時，四邊形E1E2F1F2為菱形；點E,F分別運動到終點B,D時，四邊形E1E2F1F【應(yīng)用】（3）經(jīng)過探索，三人得出了四邊形E1E2F1F2形狀的變化依次是菱形、平行四邊形、矩形、平行四邊形、菱形的結(jié)論．如圖3，在原題的基礎(chǔ)上，將條件∠ABD=60°變?yōu)锳B=6??題型17與矩形有關(guān)的動點問題66．（2024·河北石家莊·三模）如圖1，，在矩形ABCD中，BC=4,E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF,EF交CD于點F，設(shè)BE=x,CF=y，圖2是點E從點B運動到點C的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則AB的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．867．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點E是邊AD上的動點，連接CE，以CE為邊作矩形CEFG(點D、G在CE的同側(cè))，且CE=2EF，連接BF．(1)如圖1，當(dāng)點E在AD的中點時，點B、E、F在同一直線上，求BF的長；(2)如圖2，當(dāng)∠BCE=30°時，求證：線段BF被CE平分．68．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）出入相補原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一，如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，對角線AC與BD交于點O，點E為BC邊上的一個動點，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分別為(1)當(dāng)E為BC的中點時，求證：EG=EF；(2)當(dāng)E為BC邊上任意一點時，求EF+EG的值．69．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）（1）問題導(dǎo)入：

如圖1，在正方形ABCD中，AB=2+22，E為線段BC上一動點，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，若AB（2）問題探究：

如圖2，在矩形ABCD中，E為線段BC上一動點，設(shè)AE=mAB，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，延長AB'交CD于點F，若AF=mAE（3）問題深挖：

如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，E為直線BC上一動點，設(shè)AE=mAB，將△ABE沿AE翻折，得到△AB'E，在AB'的延長線上找一點F，使得AF=mAE，當(dāng)△AEC是以70．（2023·江蘇蘇州·二模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=8cm，BD=6cm，動點E、G分別從點A、C同時出發(fā)，均以1cm/s的速度沿AB、CD向終點B、D勻速運動；同時，動點H、F也分別從點A、C出發(fā)，均以2cm/s的速度沿AD、CB向終點D、B勻速運動，順次連接EF、FG、GH、HE．設(shè)運動的時間為t?s，若四邊形EFGH??題型18與矩形有關(guān)的最值問題71．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F72．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）同學(xué)在學(xué)習(xí)矩形時，發(fā)現(xiàn)了矩形的一些神奇性質(zhì)，如圖1，P為矩形ABCD內(nèi)任意一點，PA、PB、PC、PD之間存在一種特殊的數(shù)量關(guān)系：PA(1)若點P在矩形ABCD外部，以上結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)若如圖3，點P在正方形ABCD內(nèi)，若PA=1，PB=2，(3)如圖4，△OAB中，E為內(nèi)部一點，且OA=2，OB=3，OE=1且AE⊥BE，求AB的最小值．73．（2024·吉林長春·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC=16，BD=12，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F,EG⊥OD于點G，連接FG．(1)求證：四邊形OGEF為矩形．(2)求GF的最小值．74．（2024·湖南長沙·一模）如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，D是斜邊AC上一個動點，過點作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，連接EF

(1)求證：四邊形BEDF是矩形；(2)在D點的運動過程中，求EF的最小值；(3)若四邊形BEDF為正方形，求ADDC75．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，連接BD，M、N分別為邊AD、BC上的動點，且MN⊥BD于點P，連接DN、BM，則DN+BM的最小值為．

76．（2024·安徽淮南·模擬預(yù)測）如圖，E是線段AB上一點，在線段AB的同側(cè)分別以AE，BE為斜邊作等腰Rt△ADE和等腰Rt△BCE，F(xiàn)，M分別是CD，AB的中點．若A．FA+FB的最小值為35 B．四邊形ABCD面積的最小值為C．△CDE周長的最小值為32+3 D．??題型19矩形與函數(shù)綜合77．（2024·陜西漢中·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L1：y=ax2+bx+24（a、b為常數(shù)，且(1)求拋物線L1(2)點C為拋物線L1上一點，連接AC、BC，過點C作CD⊥x軸于點D，點F為x軸上的動點，作拋物線L，關(guān)于原點O對稱的拋物線L2，當(dāng)點C在拋物線L?的對稱軸左側(cè)，且△ABC的面積為12時，在拋物線L2上是否存在點E，使得以點C、D、E、F78．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）函數(shù)y=6x和函數(shù)y=?12x的圖像如圖所示，點A是函數(shù)y=6x的圖像在第一象限上的一點，它的橫坐標(biāo)為m，過點A分別作AB平行于x軸、AD平行于y軸，分別與函數(shù)y=?12x的圖像交于點

(1)點D的縱坐標(biāo)為（用含m的代數(shù)式表示）；并求證：點C在函數(shù)y=6(2)若點E在函數(shù)y=6x的圖像上，CE∥BD，當(dāng)m＝3時，直接寫出點79．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．拋物線y=?13x2+13x+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．與y軸交于點C，D是(1)求直線AD的函數(shù)表達式；(2)如圖2．在線段AB上有一條2個單位長度的動線段MN（點M在點N的左側(cè)），過點M作x軸的垂線，交拋物線于點F，交直線AD于點P；過點N作x軸的垂線，交拋物線于點G．交直線AD于點Q，連接FG，MQ．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，請解答下列問題：①線段FM的長為________；（用含m的代數(shù)式表示）②當(dāng)m=?12時，判斷四邊形③求當(dāng)m為何值時，MQ∥FG．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點M在拋物線的對稱軸上時．連接AC，試探究；此時在第一象限內(nèi)是否存在點T．使以T，G，Q為頂點的三角形與△ACD相似？若存在．請直接寫出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．80．（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)是一個不斷思考，不斷發(fā)現(xiàn)，不斷歸納的過程（Pappus，約300﹣350）把△AOB三等分的操作如下：（1）以點O為坐標(biāo)原點，OB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，繪制反比例函數(shù)y=1（3）以點C為圓心，2OC為半徑作弧，交函數(shù)y=1（4）分別過點C和D作x軸和y軸的平行線，兩線交于點E，M；（5）作射線OE，交CD于點N，得到∠EOB．

(1)判斷四邊形CEDM的形狀，并證明；(2)證明：O、M、E三點共線；(3)證明：∠EOB=1??題型20與矩形有關(guān)的存在性問題81．（2023·貴州黔東南·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，BD為對角線．點P為線段CD上一動點，點P從點D出發(fā)，向點C勻速運動，速度為1cm/s；點Q為BC上一動點，過點Q作BD的垂線，交BD于點M，交AD于點N，點Q從點C向點B運動，速度為1cm/s，當(dāng)點P停止運動時，點(1)當(dāng)t為何值時，PQ∥BD？(2)設(shè)四邊形NQPD的面積為ycm2，求y與(3)是否存在某一時刻t，使四邊形NQPD的面積是矩形ABCD面積的1748，若存在，請求出此時t82．（2024·山東青島·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發(fā)沿DA向終點A運動同時動點Q從點A出發(fā)沿對角線AC向終點C運動．過點P作PE∥DC，交AC于點E，動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為x秒，當(dāng)點Q與點E重合時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)

(1)當(dāng)x為何值時，點Q與點E重合？(2)當(dāng)x為何值時，PQ∥(3)當(dāng)點Q與點E不重合時，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）．(4)是否存在這樣的點P和點Q，使P、Q、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．83．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）問題情境圖①是一塊三角形形狀的邊角料，記作△ABC，BC=a，BC邊上的高AH=?．現(xiàn)要從這塊邊角料上剪出一個矩形DEFG，使頂點E，F(xiàn)在邊BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，設(shè)DG與高AH交于點M．初步探究(1)經(jīng)測量得a=8dm，?=6①如圖②，若四邊形DEFG是正方形，求邊DG的長．思考：設(shè)DG=xdm，由正方形的性質(zhì)可知DG∥BC，DG=DE=xdm，∠EDG=∠DEF=90°．由AH是BC邊上的高，可知∠EHM=90°，所以四邊形DEHM是矩形．所以MH=DE=xdm，AM=6?xdm．由DG②若矩形DEFG的面積為9dm2，求邊DG思考：設(shè)DG=xdm，由矩形DEFG的面積為9dm2，得到DE，再運用(2)按照上述要求，可以剪出無數(shù)個矩形，問：是否存在兩個不同的矩形，使得這兩個矩形的面積之和等于△ABC的面積？若存在，請求出這兩個矩形的周長；若不存在，請通過計算說明理由．84．（2024·北京·模擬預(yù)測）問題探究：(1)如圖1，在等邊△ABC中，AB=3，點P是它的外心，則PB＝；(2)如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，邊BC上存在點P，使∠APD=90°，求矩形ABCD面積的最小值；問題解決：(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=3，∠A=∠B=90°，∠C=45°，邊CD上存在點P，使∠APB=60°，在此條件下，四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．??題型21與矩形有關(guān)的材料閱讀類問題85．（2023·山西大同·二模）閱讀與思考下面是一篇數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．“三點共線模型”及其應(yīng)用背景知識：通過初中學(xué)習(xí)，我們掌握了基本事實：兩點之間線段最短．根據(jù)這個事實，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據(jù)不等式的性質(zhì)得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識拓展：如圖，在同一平面內(nèi)，已知點A和B為定點，點C為動點，且BC為定長（令BC＜AB），可得線段AB的長度為定值．我們探究AC和兩條定長線段AB，BC的數(shù)量關(guān)系及其最大值和最小值：當(dāng)動點C不在直線AB上時，如圖1，由背景知識，可得結(jié)論AB+BC＞AC，AB?BC＜AC．當(dāng)動點C在直線AB上時，出現(xiàn)圖2和圖3兩種情況．在圖2中，線段AC取最小值為AB?BC；在圖3中，線段AC取最大值為AB+BC．模型建立：在同一平面內(nèi)，點A和B為定點，點C為動點，且AB，BC為定長（BC＜AB），則有結(jié)論AB+BC≥AC，AB?BC≤AC．當(dāng)且僅當(dāng)點B運動至A，C，B三點共線時等成立．我們稱上述模型為“三點共線模型”，運用這個模型可以巧妙地解決一些最值問題．任務(wù)：(1)上面小論文中的知識拓展部分．主要運用的數(shù)學(xué)思想有；（填選項）A．方程思想

B．統(tǒng)計思想

C．分類討論

D．函數(shù)思想(2)已知線段AB=10cm，點C為任意一點，那么線段AC和BC的長度的和的最小是cm(3)已知⊙O的直徑為2cm，點A為⊙O上一點，點B為平面內(nèi)任意一點，且OB=1cm，則AB的最大值是(4)如圖4，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在ON邊上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變．其中AB=2，BC=1．運動過程中，求點D到點O86．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）綜合與實踐背景閱讀早在三千多年前，我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3:4:5的三角形稱為3,4,5型三角形，例如：三邊長分別為9，12，15或32，42，52實踐操作如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在AB上的點E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平．第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點D與點F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF．第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD'H，再沿AD'折疊，折痕為AM，AM問題解決(1)請在圖4中判斷NF與ND(2)請在圖4中證明△AEN是3,4,5型三角形；(3)探索發(fā)現(xiàn)在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是3,4,5型三角形？請找出并直接寫出它們的名稱．87．（2024·全國·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，解決問題．如圖1，已知正六邊形ABCDEF，要求在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作一個矩形A1B1C1小明利用尺規(guī)作圖只作了部分，如圖2所示．(1)請你根據(jù)小明的作圖思路，補畫出矩形A1(2)在（1）的基礎(chǔ)上，連接AC，若AC=4，則線段A1D1的長為(3)如圖3，已知正五邊形A2B2M，N分別在邊A2B288．（2024·山西晉中·三模）閱讀與思考下面是小剛同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．梯形的中位線如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB<CD，E是AB的中點，F(xiàn)是CD的中點，連接EF，則EF叫作梯形ABCD的中位線，并滿足EF=AD+BC2，證明：如圖2，連接AF并延長，交BC的延長線于點G．∵AD∥∴∠DAF=∠G（依據(jù)1）．∵F是CD的中點，∴DF=CF．∵∠DAF=∠G，∠AFD=∠GFC，DF=CF，∴△ADF≌△GCF（依據(jù)2），……任務(wù)：（1）填空：材料中的依據(jù)1是指___________；依據(jù)2是指___________．（2）將上述方法的證明過程補充完整．（3）如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，以AB，CD分別為邊構(gòu)造正方形ABFE、CDHG，連接EH，取線段EH的中點為K，連接AK，DK則△ADK的面積為___________．1．（2023·江蘇連云港·中考真題）【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中點，AE⊥BM，垂足為E．設(shè)BC=x,AE=y，試用含x的代數(shù)式表示y．

【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達式中，y與x成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若x取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數(shù)圖像．

【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“x取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)值y的取值范圍是?42<y<42；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點A、B【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此時y關(guān)于x的函數(shù)表達式是__________；一般地，當(dāng)k≠0,x取任意實數(shù)時，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．2．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖1，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=4，AD=8，點E為AD邊上一點0<AE<3，連接EO并延長，交BC于點F，四邊形ABFE與A'B'FE關(guān)于EF所在直線成軸對稱，線段B'

(1)求證：GE=GF；(2)當(dāng)AE=2DG時，求AE的長；(3)令A(yù)E=a，DG=b．①求證：4?a4?b②如圖2，連接OB'，OD，分別交AD，B'F于點H，K.記四邊形OKGH的面積為S1，△DGK的面積為S23．（2024·湖南·中考真題）【問題背景】已知點A是半徑為r的⊙O上的定點，連接OA，將線段OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)得到OE，連接AE，過點A作⊙O的切線l，在直線l上取點C，使得∠CAE為銳角．【初步感知】（1）如圖1，當(dāng)α=60°時，∠CAE=°；【問題探究】（2）以線段AC為對角線作矩形ABCD，使得邊AD過點E，連接CE，對角線AC，BD相交于點F．①如圖2，當(dāng)AC=2r時，求證：無論α在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立：②如圖3，當(dāng)AC=43r，CEOE=4．（2024·重慶·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點B作BD(1)如圖1，若點D在點B的左側(cè)，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E．若點E是BC的中點，求證：AC=2BD；(2)如圖2，若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，連接BF并延長交AC于點G，連接CF．過點F作FM⊥BG交AB于點M，CN平分∠ACB交BG于點N，求證：AM=CN+2(3)若點D在點B的右側(cè)，連接AD，點F是AD的中點，且AF=AC．點P是直線AC上一動點，連接FP，將FP繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到FQ，連接BQ，點R是直線AD上一動點，連接BR，QR．在點P的運動過程中，當(dāng)BQ取得最小值時，在平面內(nèi)將△BQR沿直線QR翻折得到△TQR，連接FT．在點R的運動過程中，直接寫出FTCP一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，點M，N分別在邊BC，AD上．連接MN，將四邊形CMND沿MN翻折，點C，D分別落在點A，E處．則tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2=41°，則∠1的度數(shù)為（

）A．41° B．51° C．49° D．59°3．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E在AD上，當(dāng)△EBC是等邊三角形時，∠AEB為（

）A．30° B．45° C．60° D．120°4．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD，AD=12cm，CD=10第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN，將紙片展平．第二步