2024-2025學年廣西南寧二中高二（下）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣西南寧二中高二（下）開學數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若m是2和18的等比中項，則實數(shù)m的值是(

)A.6 B.?6或6 C.10 D.?10或102.設函數(shù)y=f(x)在定義域內可導，其圖象如圖所示，則導函數(shù)y=f′(x)的大致圖象為(

)A.B.

C.D.3.已知A，B兩點的坐標分別是(?2,0)，(2,0)，直線PA，PB相交于點P，且它們的斜率之和是2，則點P的軌跡方程是(

)A.x24?y28=1(x≠±2) B.4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BB1的中點，動點F沿著線段A.直線D1F與直線AB為共面直線

B.∠D1FA恒為鈍角

C.三棱錐5.已知數(shù)列{an}中，an=1+A.96 B.97 C.98 D.996.已知橢圓C的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過上頂點A作直線AF2交橢圓于另一點B，若5|AB|=4|F1A.13 B.54 C.7.已知圓A：(x?1)2+(y+1)2=8，圓B：(x?aA.(5,9) B.(?7,?3)

C.(?7,?3)∪(5,9) D.(?∞,?7)∪(9,+∞)8.已知α,β∈[?π2,π2]A.α<β B.α2<β2 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列數(shù)列{an}中，一定是單調遞增數(shù)列的是A.an=n+32n B.an=210.已知a>0，b>0，且a≠b，雙曲線C1：x2a2A.它們的實軸長相等 B.它們的焦點相同 C.它們的離心率相等 D.它們的漸近線相同11.過點P(0,?18)有三條直線和曲線y=x3+aA.0 B.3 C.6 D.4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線l1：x+9y?3=0與直線l2：x+m2y+m=013.已知向量a=(2,?1,2),b=(?1,3,?3),c=(1,λ,?5)，若a,14.已知在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M是底面ABCD內的動點，點N為棱四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x?lnx．

(1)過原點作曲線y=f(x)的切線，求該切線的方程；

(2)設g(x)=x2+f(x)，求g(x)在[16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD=2AD，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M，N分別為AD，PD的中點．

(Ⅰ)證明：PA//平面MNC；

(Ⅱ)求直線PB與平面MNC所成角的正弦值；

(Ⅲ)求二面角M?NC?D的余弦值．17.(本小題12分)

記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=2，an+1=Sn+n．

(1)證明：當n≥2時，數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an18.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(0,3)，離心率為22．

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點M(2,1)的直線l與橢圓交于A，B兩點，與x軸交于點P，與y軸交于點Q，

(ⅰ)若點19.(本小題12分)

對于函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y′=f′(x)，若在其定義域內存在實數(shù)x0，t，使得f(x0+t)=(t+1)f′(x0)成立，則稱y=f(x)是“躍點”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y=f(x)的“t躍點”．

(1)若m為實數(shù)，函數(shù)y=sinx?m，x∈R是“π2躍點”函數(shù)，求m的取值范圍；

(2)若a為非零實數(shù)，函數(shù)y=x3?2x2+ax?12，x∈R是“2躍點”函數(shù)，且在定義域內存在兩個不同的“2躍點”，求a的值；

(3)參考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.D

7.D

8.B

9.ABC

10.BD

11.BCD

12.3

13.7

14.5815.解：(1)設切點為(x0,y0)，因為f(x)=x?lnx，

所以f′(x)=1?1x=x?1x，

所以所求切線的斜率為x0?1x0=y0x0，

即x0?1x0=x0?lnx0x0，

所以lnx0=1，即x0=e，

故切點為(e,e?1)，

所以所求切線的斜率為1?1e，

切線方程為y?(e?1)=(1?1e)(x?e)，

故所求切線的方程為y=(1?1e)x．

(2)由條件知g(x)=x2+f(x)=x2+x?lnx，x>0，

所以g′(x)=2x+1?116.(Ⅰ)證明：因為M，N分別為AD，PD的中點，

所以MN/?/PA，

又PA?平面MNC，MN?平面MNC，

則PA//平面MNC．

(Ⅱ)解：因為PD⊥CD，PD⊥AD，且AD∩CD=D，

AD，CD?平面ABCD

所以PD⊥平面ABCD，

又底面ABCD為正方形，

則以點D為原點建立空間直角坐標系D?xyz(如圖)，設AD=2，

可得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，

N(0,0,2)，M(1,0,0)，P(0,0,4)．

向量PB=(2,2,?4)，

NC=(0,2,?2)，MN=(?1,0,2)．

設n=(x,y,z)為平面MNC的法向量，

則NC?n=0MN?n=0即2y?2z=0?x+2z=0，

不妨令y=1，可得n=(2,1,1)為MNC平面的一個法向量，

設直線PB與平面MNC所成角為α，

于是有sinα=cos?n?PB?=n?PB|n17.解：(1)證明：因為a1=2，an+1=Sn+n，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，

當n=1時，a2=S1+1=2+1=3，

當n≥2時，由an+1=Sn+n①，可得an=Sn?1+n?1②，

?②可得an+1?an=an+1，即an+1=2an+1，所以，an+1+1=2(an+1)，

又因為a2+1=3+1=4≠2(a1+1)，

18.解：(1)由題意得ca=22b=3a2=b2+c2，解得a2=6b2=3，

所以橢圓E的方程為x26+y23=1；

(2)由題意可知：直線的斜率必定存在，故設直線l的方程為y?1=k(x?2)，

聯(lián)立方程x26+y23=1y=k(x?2)+1，

消去y整理得(1+2k2)x2?4k(2k?1)x+2(2k?1)2?6=0，

所以x1+x2=4k(2k?1)2k2+1,x1?x2=2(219.解：(1)函數(shù)y=sinx?m的導函數(shù)y′=cosx，

若函數(shù)y=sinx?m是“π2躍點“函數(shù)，則方程sin(x0+π2)?m=(π2+1)cosx0有解，

即?m=π2cosx0有解，

又cosx0∈[?1,1]，

所以?m∈[?π2,π2]，

所以m∈[?π2,π2].

(2)函數(shù)y=x3?2x2+ax?12的導函數(shù)y′=3x2?4x+a．

若該函數(shù)是“2躍點“函數(shù)，

則方程(x+2)3?2(x+2)2+a(x+2)?12=3(3x2?4x+a)①有解，

即x3?5x2+(a+16)x?a?12=0有解，

所以(x?1)(x2?4x+a+12)=0有解，

當x=1時，方程(x?1)(x2?4x+a+12)=0成立，

所以x=1是方程的一個實數(shù)根，

當x≠1時，x2?4x+a+12=0②，

當a=?8時，方程②有兩個相等的實數(shù)根2，

此時方程①的根為1，2，2，

所以函數(shù)有兩個不同的“2躍點“，

當a>?8時，方程②