湖北省武漢市漢陽一中、江夏一中、洪山高中等學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

漢陽一中、江夏一中、洪山高中2024-2025學(xué)年度下學(xué)期2月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A. B. C. D.2.已知直線與平行，則（）A.或3 B.0或3 C.0或 D.或0或33.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.63 B.64 C.127 D.1284.已知直線與雙曲線相交于、兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.如圖，已知平行四邊形，，且，沿對(duì)角線將折起，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，則A與C之間距離為（）A.2 B. C. D.6.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A.3 B.4 C.5 D.67.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)在（）A.直線上 B.圓上 C.拋物線上 D.橢圓上8.定義：，兩點(diǎn)間的“M距離”為把到兩定點(diǎn)，的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”，則“橢圓”的面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若方程，所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（）A.曲線C可以表示圓 B.若曲線C是橢圓，則C.曲線C不可能表示直線 D.若，則C為雙曲線10.已知直三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.平面C.異面直線與所成的角的余弦值為D.直三棱柱的外接球的表面積為11.（多選）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線與直線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是__________.13.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則__________.14.如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)大小不同的球，，使得它們分別與圓錐的側(cè)面和平面都相切，平面分別與球，相切于點(diǎn)，.數(shù)學(xué)家GerminalDandelin利用這個(gè)模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，，為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也被稱為Dandelin雙球.若球，的半徑分別為6和3，球心距離，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓A經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心A在直線上.（1）求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與圓A相切的直線方程.16.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求整數(shù)的最小值．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面平面，點(diǎn)在棱PB上，且平面ACE.（1）求證：為PB的中點(diǎn)；（2）求平面ACE與平面ACD夾角的正弦值.18.已知橢圓：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離最短為，到焦點(diǎn)距離最長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，的面積分別為，，求的最大值．19.已知拋物線（為正整數(shù)），為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為（其中）．（1）證明：成等差數(shù)列；（2）若，記等差數(shù)列的公差為．（i）用和表示；（ii）初等數(shù)論是研究數(shù)的規(guī)律，特別是整數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支．初等數(shù)論中有如下定理：若兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)為1，且這兩個(gè)正整數(shù)的乘積是某個(gè)正整數(shù)的平方，則這兩個(gè)正整數(shù)都為完全平方數(shù)．請(qǐng)用該定理證明下面的問題：若為正奇數(shù)，為正整數(shù)，且這三個(gè)數(shù)兩兩之間的最大公約數(shù)都為1，證明：一定可以表示為某兩個(gè)正整數(shù)的平方之和．

參考答案1-8【答案】D【答案】B【答案】C【答案】D【答案】C【答案】B【答案】B【答案】C9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】##14.【答案】15.【答案】（1）（2）或16.【答案】（1）（2）17.【小問1詳解】證明：連接BD交AC于點(diǎn)，連接EF，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以為BD的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BD，平面平面，所以，又因?yàn)闉锽D的中點(diǎn)，所以為PB的中點(diǎn).【小問2詳解】解：取CD的中點(diǎn)，連接PO，F(xiàn)O，因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面，所以平面ABCD，所以，所以O(shè)F，OC，OP兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF，OC，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可得，，則，由上可知為平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面ACE的法向量為，則令，則，所以，所以，所以平面ACE與平面ACD夾角的正弦值為.18.【小問1詳解】由題意，，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，則，所以，，由于異號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為．綜上所述，的最大值為．19.【小問1詳解】由題意有，點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，直線的方程為，代入，有，整理為，有，有，同理有，可得是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，有,又由，同理有，有，故成等差數(shù)列；【小問2詳解】（i）若，有，可得，有，故有；（ii）由（i）有，又由為正整數(shù)，為正整數(shù)，為正奇數(shù)，且這三個(gè)數(shù)兩兩之間的最大公約數(shù)都為1，可得為奇