藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第07講向量法求距離探索性及折疊問題高頻考點精講原卷版

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點到直線的距離題型二：利用空間向量求點到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問題題型四：立體幾何綜合問題第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：點到直線的距離已知直線的單位方向向量為，是直線上的定點，是直線外一點.設(shè)，則向量在直線上的投影向量，在中，由勾股定理得：知識點二：點到平面的距離如圖，已知平面的法向量為，是平面內(nèi)的定點，是平面外一點.過點作平面的垂線，交平面于點，則是直線的方向向量，且點到平面的距離就是在直線上的投影向量的長度.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點到直線的距離典型例題例題1．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，，則點到直線的距離為（

）A．2 B． C． D．例題2．（2022·河北·邢臺市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線過點，且方向向量為，則點到的距離為（

）A． B． C． D．3例題3．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（文））在直四棱柱中，底面為正方形，．點在側(cè)面內(nèi)，若平面，則點到的距離的最小值為________．題型歸類練1．（2022·湖北孝感·高二階段練習(xí)）已知空間三點，，，則到直線的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．2.（2022·河南·高二階段練習(xí)）空間內(nèi)有三點，，，則點P到直線EF的距離為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平行四邊形中，，，，，且平面ABCD，求點P到直線BC的距離．題型二：利用空間向量求點到平面的距離典型例題例題1．（2022·河南省葉縣高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的一個法向量為，點在平面內(nèi)，則平面外一點到平面的距離為（

）A． B． C． D．1例題2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若平面的一個法向量，則點到平面的距離為___________.例題3．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，點是的中點．(1)求點到平面的距離；(2)求證：平面⊥平面．例題4．（2022·上海虹口·高二期末）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，平面，且，．(1)求點到平面的距離；題型歸類練1．（2022·全國·高二單元測試）已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為________________2．（2022·河南·高二階段練習(xí)）如圖，已知圓錐的頂點為，點是圓上一點，，點是劣弧上的一點，平面平面，且.(1)證明：.(2)求點到平面的距離.3．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測）已知正四棱柱，其中．(1)若點是棱上的動點，求三棱錐的體積．(2)求點到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問題典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知三角形PAD是邊長為2的正三角形，現(xiàn)將菱形沿折疊，所成二面角的大小為，此時恰有.(1)求的長；(2)求二面角的余弦值.例題2．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）如圖1，已知矩形，其中，，線段，的中點分別為點，，現(xiàn)將沿著折疊，使點到達(dá)點，得到四棱錐，如圖2.(1)求證：；(2)當(dāng)四棱錐體積最大時，求二面角的大小.題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直角梯形中，是邊的中點，將三角形沿折疊到位置，使得二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇宿遷·高二期末）在直角梯形中，，A為線段的中點，四邊形為正方形．將四邊形沿折疊，使得，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)F為線段的中點時，求二面角的余弦值．題型四：立體幾何綜合問題典型例題例題1．（2022·天津市翔宇力仁學(xué)校高二階段練習(xí)）在正四棱柱中，為的中點.(1)求證:平面.(2)若為中點，求直線與平面所成角的正弦值，例題2．（2022·河南省實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四棱錐，底面為菱形，，為上的點，過的平面分別交，于點，且平面.(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點，，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.例題3．（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，底面為以為斜邊的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.(1)證明：平面；(2)若，設(shè)為棱的中點，求當(dāng)幾何體的體積取最大值時與所成角的正切值.例題4．（2022·河北·高三階段練習(xí)）如圖1，一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板中，，，，，將兩三角板的邊與重合，拼成一個空間圖形，且三角板可繞邊旋轉(zhuǎn).設(shè)是的中點，是的中點.(1)如圖2，若，求證：平面平面；(2)如圖3，若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.題型歸類練1．（2022·天津市翔宇力仁學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中平面，且，點在棱上，點為中點.(1)證明:若，則直線平面：(2)求平面CPD與平面NPD所成角的余弦值.2．（2022·湖北·黃岡中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，四邊形為菱形，，與相交于點，平面，平面，，為中點.(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)當(dāng)直線與平面所成角為時，求異面直線與所成角的余弦值.3．（2022·河北·邢臺市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，.(1)平面平面；(2)點是棱上一點，當(dāng)時，求二