河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題卷 含解析

鄭州市2024-2025學(xué)年上期期末考試高二數(shù)學(xué)試題（附答案）注意事項(xiàng):本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無(wú)效.交卷時(shí)只交答題卡.第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由直線方程求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求得答案.【詳解】直線化為所以直線的斜率為，設(shè)直線傾斜角為，則,因?yàn)樗裕蔬x：B.2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.x=-1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先寫(xiě)成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再求準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，開(kāi)口向上，準(zhǔn)線方程為.故選：D.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為254，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算可得首項(xiàng)和公比，即可由求和公式求解.【詳解】由于為正項(xiàng)數(shù)列，故，公比，由可得，由則，故公比為，因此，故，解得，故選：C4.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求出，從而根據(jù)求出離心率.【詳解】化為，則，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故，故雙曲線的離心率為.故選：D.5.在三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，若記，則（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，利用空間向量的線性運(yùn)算，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，作圖，.故選：C6.數(shù)列滿足，其前項(xiàng)的積為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求數(shù)列的周期，再求乘積.【詳解】，，，，所以數(shù)列的周期為4，且，所以.故選：A7.已知是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.8【答案】B【解析】【分析】利用圓心到直線的距離轉(zhuǎn)化求四邊形周長(zhǎng)的最小值.【詳解】圓，即，由對(duì)稱性可知，四邊形的周長(zhǎng)為，而，的最小值為點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為.故選：B8.在邊長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))滿足，則線段的長(zhǎng)度最小值為（）A.2 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用坐標(biāo)法表示垂直關(guān)系，再代入距離公式，即可求解.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，，，，因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，線段的最小值為.故選：A二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.與共面B.C.在上的投影向量為D.與夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】我們可以利用平面向量的基本定理判斷選項(xiàng)A；然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算其他選項(xiàng)即可.【詳解】假設(shè)與共面，則有解，即有解，解得，故選項(xiàng)A正確；，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)D正確；故選：AD10.已知是公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列的最小項(xiàng)為C. D.能使時(shí)的最大值為15【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再結(jié)合單調(diào)性及前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)判斷.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列是遞增數(shù)列，前8項(xiàng)均為負(fù)，從第9項(xiàng)起為正，則數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；對(duì)于C，由，得，因此，C正確；對(duì)于D，由，得，D錯(cuò)誤.故選：BC11.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為16B.若直線與恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍為C.若上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍為D.若為上一點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，即可判斷A，根據(jù)橢圓方程的形式，以及直線所過(guò)定義，即可判斷B，將存在點(diǎn)使，轉(zhuǎn)化為以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，再討論焦點(diǎn)的位置，即可列式求解，利用橢圓的定義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，即可判斷D.【詳解】A.若，則，，則的周長(zhǎng)為，故A正確；B.直線恒過(guò)定點(diǎn)，若直線與恒有公共點(diǎn)，則且，故B錯(cuò)誤；C.若上存在點(diǎn)，使得，則，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則，，解得，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則，，解得：，綜上可知，取值范圍為，故C正確；D.，橢圓方程為，，，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線，且，等號(hào)成立，所以的最小值為，故D正確.故選：ACD三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.12.已知，且，則_____.【答案】5【解析】【分析】由可得數(shù)量積為零，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得，故答案為?13.一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，求反射光線所在的直線方程_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)入射光線與反射光線所在直線的斜率關(guān)系，即可求反射光線所在直線的斜率，再代入點(diǎn)斜式直線方程，即可求解.【詳解】由條可知入射光線和反射光線所在直線的斜率互為相反數(shù)，入射光線的斜率，所以反射光線所在直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，所以反射光線所在的直線方程為，即.故答案為：14.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1，，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，即，.后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.記Sn為“斐波那契數(shù)列”的前項(xiàng)和，若，則_____.(結(jié)果用表示)【答案】【解析】【分析】由題意得當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可證得，再結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，所以，則，，，，即①，由題意得當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，所以，所以②，所以由①②可得.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與新定義有關(guān)的問(wèn)題的求解策略：1、通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2、遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問(wèn)題得以解決.四、解答題:本題共5小題，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線:上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求圓的方程；（2）利用弦長(zhǎng)公式求圓心到直線的距離，再討論直線的斜率，代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心的坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心在直線上，所以因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，有，即，由①②可得，故圓的方程為，【小問(wèn)2詳解】由(1)知，圓心為，半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為,則,若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為3，符合題意;若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,即,由題意可得，解得，此時(shí)，直線的方程為,即.綜上所述，直線的方程為或.16.已知拋物線上的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)在第一象限，則經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，求證：直線BD平行于拋物線的對(duì)稱軸.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為3、點(diǎn)到軸的距離為列出方程組可得答案；（2）聯(lián)立直線的方程、拋物線的準(zhǔn)線方程可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由直線的方程和拋物線聯(lián)立，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可得答案.【小問(wèn)1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由題意可得，整理可得，所以拋物線為：；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，則直線的方程為：①，拋物線的準(zhǔn)線方程是②，聯(lián)立①②可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，因?yàn)榻裹c(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，故直線的方程為③把③式和拋物線聯(lián)立，即，消去得，又因?yàn)辄c(diǎn)縱坐標(biāo)為，故可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，于是可得DB平行于軸.17.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，側(cè)棱底面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明:平面；（2）若平面與平面的夾角為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，由線面垂直判定定理證明；（2）設(shè)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用空間向量法中兩平面的夾角公式可得的值.【小問(wèn)1詳解】底面底面，，在中，，即，又平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得：，，由（1）可知，平面，所以平面的一個(gè)法向量，由題意可設(shè)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，設(shè)n1=x1,即，取，則，所以是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，解得，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn).18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列.（i）記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）根據(jù)和與項(xiàng)的關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）（i）根據(jù)題意可得，從而可求；（ii）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即.又所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】（i）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則為新數(shù)列的第1項(xiàng)，為新數(shù)列的第項(xiàng)，即，即；（ii）①，②，①一②得，，，，所以.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一個(gè)點(diǎn)，滿足關(guān)系式，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.（1）在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓；（2）已知曲線經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到的曲線是，且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)(在的左側(cè))，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與在軸右側(cè)有兩個(gè)交點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）若直線的斜率分別為，證明：為定值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）代入伸縮變換公式，利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）首先利用伸縮變換公式求曲線的方程，（?。┞?lián)立直線與曲線的方程，利用判別式和韋達(dá)定理，求得到取值范圍；（ⅱ）利用韋達(dá)定理表示和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】將伸縮變換代入，得到