2022年廣東省深圳市部分學校九年級下學期第三次模擬診斷數(shù)學試題（解析版）

2021－2022學年九年級第三次模擬診斷數(shù)學試卷第Ⅰ卷選擇題（本卷共計30分）一、選擇題：（每小題只有一個正確選項，每小題3分，共計30分）1.下列四個數(shù)中，最小的是（）A.－2 B.－1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】在有理數(shù)中：負數(shù)<0<正數(shù)，兩個負數(shù)，絕對值大的反而小，據(jù)此可求得最小的數(shù)．【詳解】解：因為，所以，所以最小的數(shù)是．故選：A．【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，其方法如下：負數(shù)<0<正數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?.如圖，將一個正方形紙片沿圖中虛線剪開，能拼成下列四個圖形，其中是中心對稱圖形的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拼成的四個圖形是否存在中心對稱點，即可判斷圖形是否為中心對稱圖形．【詳解】解：依照中心對稱圖形的特征：若圖形存在中心對稱點，沿中心對稱點旋轉(zhuǎn)180°后可與原圖形重合．選項A圖形無中心對稱點，故不是中心對稱圖形，不符合題意；選項B圖形有中心對稱點，故是中心對稱圖形，符合題意；選項C圖形無中心對稱點，故不是中心對稱圖形，不符合題意；選項D圖形無中心對稱點，故不是中心對稱圖形，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查中心對稱圖形的性質(zhì)特征，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3.中國疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國已無償向80個國家和3個國際組織提供疫苗援助．預(yù)計2022年中國新冠疫苗產(chǎn)能有望達到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢獻．數(shù)據(jù)“50億”用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)．【詳解】解：50億．故選C．【點睛】本題考查了科學記數(shù)法，科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原來的數(shù)，變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值時，是負數(shù)，確定與的值是解題的關(guān)鍵．4.下列運算錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單項式乘單項式、積的乘方、同底數(shù)冪的的除法、合并同類項分別進行計算，作出判斷即可．【詳解】解：A．，故選項正確，不符合題意；B．，故選項錯誤，符合題意；C．，故選項正確，不符合題意；D．，故選項正確，不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了單項式乘單項式、積的乘方、同底數(shù)冪的的除法、合并同類項等知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．5.深圳市某學校對學生上學方式進行一次抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的扇形統(tǒng)計圖，其中“其他”部分對應(yīng)的圓心角是36°，則“步行”部分所占百分比是（）A.64% B.35% C.36% D.40%【答案】D【解析】【分析】先求出“其他”部分所占百分比，再用1減去35%，再減去15%與“其他”部分所占百分比，即可求解．【詳解】解：∵“其他”部分對應(yīng)的圓心角是36°，∴“其他”部分所占百分比是，∴“步行”部分所占百分比是．故選：D．【點睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計圖，明確題意，準確從統(tǒng)計圖獲取信息是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若△ADE的周長是3cm，則△ABC的周長為（）A.6cm B.9cm C.3cm D.12cm【答案】A【解析】【分析】利用中位線的性質(zhì)，可知BC=2DE，由此可知△ABC的周長是△ADE的周長的2倍，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴BC=2DE，∵AB=2AD，AC=2AE，∴△ABC的周長是△ADE的周長的2倍，即：△ABC的周長為6cm，故選：A．【點睛】本題主要考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號”動車，當動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時間后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的運動路程是（）米（結(jié)果保留根號）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作BC⊥AC于點D，在中利用三角函數(shù)求得AD的長，在中，利用三角函數(shù)求得CD的長，則AC即可求得．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于點D，∵在中，，∴，(米)，∵中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對直角邊是斜邊的一半．8.下列命題錯誤的是（）A.頂角相等的兩個等腰三角形相似 B.若，則C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 D.不是最簡二次根式【答案】D【解析】【分析】根據(jù)解不等式、相似的判定、菱形的判定，以及最簡二次根式的判定逐項判斷即可是．【詳解】解：A.頂角相等的兩個等腰三角形底角也相等，滿足兩角分別相等的兩個三角形相似．故是真命題；B.，等式兩邊同時除以，得，故是真命題；C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，根據(jù)菱形的判定，故是真命題；D.，滿足被開方數(shù)不含開得盡的因數(shù)或因式，所以是最簡二次根式，故是假命題，故選：D．【點睛】本題主要考查了命題與定理，掌握解不等式、相似的判定、菱形的判定，以及最簡二次根式的判定是解題的關(guān)鍵．9.學校為創(chuàng)建“書香校園”購買了一批圖書．已知購買科普類圖書花費10000元，購買文學類圖書花費9000元，其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格貴5元，且購買科普書的數(shù)量比購買文學書的數(shù)量少100本．求科普類圖書平均每本的價格是多少元？若設(shè)科普類圖書平均每本的價格是x元，則可列方程為（）A.﹣=100 B.﹣=100C.﹣=100 D.﹣=100【答案】B【解析】【分析】直接利用購買科普書的數(shù)量比購買文學書的數(shù)量少100本得出等式進而得出答案．【詳解】解：科普類圖書平均每本的價格是x元，則可列方程為：﹣=100，故選B．【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)（m為常數(shù)），當時，函數(shù)值y的最小值為-3，則m的值是（）A B. C.-2或 D.或【答案】C【解析】【分析】分類討論拋物線對稱軸的位置確定出m的范圍即可．【詳解】解：由二次函數(shù)（m為常數(shù))，得到對稱軸為直線x=m，拋物線開口向上，①當m≥2時，由題意得：當x=2時，y最小值為-3，代入得：4-4m=-3，即：m=<2，不合題意，舍去；②當-1<m<2時，由題意得：當x=m時，y最小值為-3，代入得：，即m=或m=(舍去)；③當m≤-1時，由題意得：當x=-1時，y最小值-3，代入得：1+2m=-3，即m=-2，綜上，m的值是-2或．故選：C．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的最值，利用了分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．第Ⅱ卷非選擇題（本卷共計70分）二、填空題：（每小題3分，共計15分）11.分解因式：2x2﹣8=_______【答案】2（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式，再運用平方差公式．【詳解】2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．【點睛】考核知識點：因式分解.掌握基本方法是關(guān)鍵．12.如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查同弧所對的圓周角相等、求角的正切值，掌握同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交AC于點D，連接BD，若，，則______．【答案】20°【解析】【分析】根據(jù)題意可知，直線MN為線段BC的垂直平分線，，由此即可求出結(jié)果．【詳解】解：由題意可知，直線MN為線段BC的垂直平分線，∴DB=DC，∴，∵，∴，故答案為：20°．【點睛】本題主要考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上任意一點到該線段兩端點的距離相等，掌握其性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．14.已知函數(shù)的圖象如圖所示，點P是y軸正半軸上一動點，過點P作y軸的垂線交圖象于A，B兩點，連接OA、OB．若，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，得到，，推出，，，易得，可得，列出方程求出，即可得到點A和點B的坐標，進而求出AO和AB的長度，最后利用銳角三角函數(shù)的定義即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，則，，∴，，．∵，過點P作y軸的垂線交圖象于A，B兩點，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、兩點間距離公式、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活利用參數(shù)，構(gòu)建方程得到點A和點B的坐標．15.如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上一動點，連結(jié)BE，以BE為對角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對角線BD相交于點H，連結(jié)AF，有以下四個結(jié)論：①∠CBG=∠DBE；②△ABF∽△DBE；③2BG2=BH?HD；④若AB=4，連接CG，則△ECG的面積最大值為1．你認為其中正確結(jié)論的序號是______．（填寫序號）【答案】①②④【解析】【分析】①由∠CBD=∠GBE=45°，可知∠CBG=∠DBE；②根據(jù)△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，可得，從而得到△ABF∽△DBE；③由∠BEH=∠EDB，∠EBH=∠DBE可證△BEH∽△BDE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可；④設(shè)EC=x，則DE=4-x，證明△BCG∽△BDE，求得CG=(4-x)，得到GI=(4-x)，根據(jù)三角形面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：①∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△CBD和△GBE都是等腰直角三角形，∴∠CBD=∠GBE=45°，∴∠CBG=∠DBE；∴①正確，符合題意；②∵正方形ABCD和正方形BGEF，∴△ABD和△FBE都是等腰直角三角形，∴，∠ABD=∠FBE=45°，∴∠ABF=∠DBE，∴△ABF∽△DBE，∴②正確，符合題意；③∵∠BEH=∠EDB=45°，∠EBH=∠DBE，∴△BEH∽△BDE，∴，∴BE2=BD×BH，∵BE=BG，∴2BG2=BD?BH，∴③錯誤，不符合題意；④過點G作GI⊥DC并交DC的延長線于點I，如圖：設(shè)EC=x，則DE=4-x，同理可證△BCG∽△BDE，∴，∠BCG=∠BDC=45°，∴CG=DE=(4-x)，△CGI是等腰直角三角形，∴CI=GI=CG=(4-x)，∴△ECG的面積=CE×GI=(x2-4x)=(x-2)2+1，∵<0，∴△ECG的面積有最大值，最大值為1，∴④正確，符合題意；綜上，正確的有①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題：（本題共7小題，其中第16題5分，第17題7分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題9分，第22題10分，共55分）16.計算：【答案】3【解析】【分析】按照絕對值的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪分別進行計算，再計算加減法即可．【詳解】解：＝＝3．【點睛】此題考查了絕對值的化簡、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、二次根式的混合運算等知識，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．17.先化簡，再求值：，其中是不等式的正整數(shù)解.【答案】1.【解析】【分析】將原式被除式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結(jié)果，再由關(guān)于x的不等式求出解集得到x的范圍，在范圍中找出正整數(shù)解得到x的值，將x的值代入化簡后的式子中計算，即可得到原式的值．【詳解】解：原式==的正整數(shù)解為但所以∴原式的值【點睛】此題考查一元一次不等式的整數(shù)解，分式的化簡求值，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.18.某學校九年級有12個班，每班50名學生，為了調(diào)查該校九年級學生平均每天的睡眠時間，并規(guī)定如下：設(shè)每個學生平均每天的睡眠時間為t(單位，小時)，將收集到的學生平均每天睡眠時間按t≤6、6<t<8、t≥8分為三類進行分析．（1）下列抽取方法具有代表性的是．A．隨機抽取一個班學生B．從12個班中，隨機抽取50名學生C．隨機抽取50名男生D．隨機抽取50名女生（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名學生，平均每天的睡眠時間數(shù)據(jù)如表：睡眠時間t(小時)55.566.577.588.5人數(shù)(人)11210159102①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________，__________；②估計九年級學生平均每天睡眼時間的人數(shù)大約為多少；（3）從樣本中學生平均每天睡眠時間的4個學生里，隨機抽取2人，畫樹狀圖或列表法求抽取的2人每天睡眠時間都是6小時的概率．【答案】（1）B；（2）①7，7；②144人；（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)抽取的樣本得當，就能很好地反映總體的情況，否則抽樣調(diào)查的結(jié)果會偏離總體情況進行分析；(2)①由眾數(shù)好中位數(shù)的定義求解即可；②由九年級人數(shù)乘以平均每天睡眼時間t≥8的人數(shù)所占的比例即可；(3)畫樹狀圖,共有12種等可能的結(jié)果，抽得2人平均每天睡眠時間都是6小時的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：（1）不具有全面性，故答案是：B．（2）①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為小時，中位數(shù)為，故答案是：．解②：估計九年級學生平均每天睡眠時間的人是大約為：答：九年級學生平均每天睡眠超過8小時人數(shù)約為144人．（3）畫樹狀圖如下：∴由樹狀圖可知，所有等可能結(jié)果有12種，2人睡眠時間都是6小時的結(jié)果有2種．∴．【點睛】本題考查了用列表法求概率以及抽樣調(diào)查、眾數(shù)和中位數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是：列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19.如圖，點C在⊙O的直徑AB的延長線上，點P是⊙O上任意一點，且滿足∠BPC=∠A．（1）求證：PC與⊙O相切；（2）若圓的半徑為，tan∠BPC=，求切線CP的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明OP為圓的切線，只要證明∠1+∠2=90°即可；（2）先求得PB=2，AP=4，證明△CPB∽△CAP，利用相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)BC=x，則PC=2x，AC=4x，利用AC=AB+BC，列方程，即可求解．【小問1詳解】證明：連接PO，∵AB為直徑，∴∠APB=∠2+∠3=90°，又∵OA=OP，∴∠A=∠3，∵∠1=∠A，∴∠1+∠2=90°，即OP為圓的切線；【小問2詳解】解：∵∠1=∠A，tan∠1=，∴在Rt△ABC中，AB=2，tan∠A=，即=，設(shè)PB=a，則AP=2a，∵AB2=PB2+AP2，∴(2)2=a2+(2a)2，解得a=2，∴PB=2，AP=4，又∵∠C=∠C，∠1=∠A，∴△CPB∽△CAP，∴，設(shè)BC=x，則PC=2x，AC=4x，又∵AC=AB+BC，∴4x=2+x，∴x=．∴PC=2x=．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．20.臨近畢業(yè)，某班計劃購買兩種畢業(yè)紀念冊，已知購買1本手繪紀念冊和2本圖片紀念冊共需85元，購買5本手繪紀念冊和4本圖片紀念冊共需275元．（1）求每本手繪紀念冊和每本圖片紀念冊的價格分別為多少元；（2）該班計劃購買手繪紀念冊和圖片紀念冊共50本，總費用不超過1350元，那么最多能購買手繪紀念冊多少本？【答案】（1）圖片紀念冊25元/本，手繪紀念冊35元/本；（2）最多購買手繪紀念冊10本．【解析】【分析】（1）設(shè)手繪紀念冊每本x元，圖片紀念冊每本y元，根據(jù)“購買1本手繪紀念冊和2本圖片紀念冊共需85元，購買5本手繪紀念冊和4本圖片紀念冊共需275元”列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)該班購買手繪紀念冊a本，則購買圖片紀念冊本，根據(jù)“購買手繪紀念冊和圖片紀念冊共50本，總費用不超過1350元”列出不等式，求出不等式的解集即可．【小問1詳解】解:設(shè)手繪紀念冊每本x元，圖片紀念冊每本y元，由題意得，解之得，答：圖片紀念冊25元/本，手繪紀念冊35元/本．【小問2詳解】解：設(shè)該班購買手繪紀念冊a本，則購買圖片紀念冊本，由題意得，∴，答：最多購買手繪紀念冊10本．【點睛】此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題意列出二元一次方程組和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．21.已知拋物線過點和兩點，交x軸于另一點B．（1）求拋物線解析式；（2）如圖1，點P是BD上方拋物線上一點，連接AD，BD，PD，當BD平分時，求P點坐標；（3）將拋物線圖象繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°形成如圖2的“心形”圖案，其中點M，N分別是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點，點E、F是旋轉(zhuǎn)前后拋物線的交點．①直線EF的解析式是______；②點G、H是“心形”圖案上兩點且關(guān)于EF對稱，則線段GH的最大值是______．【答案】（1）（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式；（2）過點B作軸交DP延長線與點E，過D作軸交x軸于點F．證明，求得點的坐標，進而求得直線DE的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式即可求解；（3）①根據(jù)順時針旋轉(zhuǎn)90°后點的坐標特征可知對稱軸為；②連接，交于點，則，過點作軸的垂線，交于點，當GM最大時，△GFE面積最大，設(shè)，則，根據(jù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得當時，△GFE面積最大，，根據(jù)①的方法求得的坐標，根據(jù)中點公式求得的坐標，根據(jù)勾股定理求得，由即可求解．【小問1詳解】∵過，∴解之得∴拋物線解析式為【小問2詳解】過點B作軸交DP延長線與點E，過D作軸交x軸于點F．由，令，得，則，即，∴，∴又∵，BD平分，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，解得∴直線DE的解析式為聯(lián)立解得則【小問3詳解】①直線EF解析式為．拋物線關(guān)于y軸對稱，所以旋轉(zhuǎn)后圖形關(guān)于x軸對稱，∴對于拋物線上任意一點關(guān)于原點旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點為在旋轉(zhuǎn)后圖形上，關(guān)于x軸對稱的點在旋轉(zhuǎn)后圖形上，∵與關(guān)于對稱，∴圖形2關(guān)于對稱，∴直線EF解析式為故答案為：②GH最大值為如圖，連接，交于點，則，過點作軸的垂線，交于點，∴當GM最大時，△GFE面積最大，又∵設(shè)，則∴∴當時，△GFE面積最大，由①可知關(guān)于的對稱點∴GH的最大值為：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函