高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第五講 函數(shù)的概念與性質(zhì)(原卷版)

函數(shù)的概念與性質(zhì)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)函數(shù)的考查，重點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性，需要關(guān)注周期性、對(duì)稱性、奇偶性結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查。2.高考對(duì)函數(shù)的考查重點(diǎn)關(guān)注以基本初等函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)以及抽象函數(shù)為載體，對(duì)函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進(jìn)行考查，考查函數(shù)的定義域、值域，函數(shù)的表示方法及性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）、圖像等。冪、指、對(duì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)2023·新高考Ⅰ卷，42023·新高考Ⅰ卷，102023·新高考Ⅱ卷，4抽象函數(shù)的性質(zhì)2022·新高考Ⅰ卷，122023·新高考Ⅰ卷，112024·新高考Ⅰ卷，82022·新高考Ⅱ卷，8函數(shù)與不等式結(jié)合2024·新高考Ⅱ卷，8分段函數(shù)、三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2024·新高考Ⅰ卷，62024·新高考Ⅰ卷，102024·新高考Ⅱ卷，11二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了分段函數(shù)、抽象函數(shù)、三次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，難度處于適中及較難。Ⅱ卷考查了三次函數(shù)的性質(zhì)及將函數(shù)與不等式結(jié)合考查，難度是較難的?？傮w來(lái)說(shuō)函數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情景為主，備考應(yīng)以常見(jiàn)的選擇題和填空題為主進(jìn)行訓(xùn)練，難度跨度大，既有容易題，也有中檔題，更有困難題，而且?？汲Ｐ?。函數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ)，要求考生要在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì)，準(zhǔn)確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì)，會(huì)處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，會(huì)識(shí)別函數(shù)圖像的變化。同時(shí)，指對(duì)運(yùn)算也是?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)，考生應(yīng)加強(qiáng)對(duì)公式的理解及應(yīng)用的訓(xùn)練。（2）函數(shù)性質(zhì)、零點(diǎn)、圖像等問(wèn)題是函數(shù)專題的重點(diǎn)考察內(nèi)容，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸思想以及構(gòu)造新函數(shù)的訓(xùn)練，為突破難點(diǎn)作好準(zhǔn)備工作。三：試題精講一、單選題1．（2024新高考Ⅰ卷·6）已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024新高考Ⅰ卷·8）已知函數(shù)為的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．3．（2024新高考Ⅱ卷·8）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題1．（2024新高考Ⅰ卷·10）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，2．（2024新高考Ⅱ卷·11）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心高考真題練一、單選題1．（2023新高考Ⅰ卷·4）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．13．（2023新高考Ⅱ卷·4）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1二、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·12）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅰ卷·10）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．3．（2023新高考Ⅰ卷·11）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零：（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點(diǎn)：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對(duì)應(yīng)法則∫下，括號(hào)內(nèi)式子的范圍相同；（7）對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實(shí)際意義再限制，從而得到實(shí)際問(wèn)題函數(shù)的定義域．二、基本初等函數(shù)的值域（1）的值域是．（2）的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)椋?）的值域是．（4）且的值域是．（5）且的值域是．三、函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間：如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．=1\*GB3①屬于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；=2\*GB3②任意兩個(gè)自變量，且；=3\*GB3③都有或；=4\*GB3④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).四、函數(shù)的奇偶性函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．五、函數(shù)的對(duì)稱性(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．六、函數(shù)的周期性（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.七、常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)八、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算1、指數(shù)(1)根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．(2)根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)九、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算1、對(duì)數(shù)式的運(yùn)算(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，讀作以為底的對(duì)數(shù)，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見(jiàn)對(duì)數(shù)：①一般對(duì)數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對(duì)數(shù)；②常用對(duì)數(shù)：以為底，記為；③自然對(duì)數(shù)：以為底，記為；(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對(duì)數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，十、函數(shù)與方程1、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).2、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).3、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.4、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.5、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【函數(shù)性質(zhì)常用結(jié)論】1、單調(diào)性技巧（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（3）記住幾條常用的結(jié)論：①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增(或減)函數(shù)，則在和的公共定義域上為增(或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；④若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．2、奇偶性技巧(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.(5)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.記，，則.(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.(7)復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型奇函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)或函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)或函數(shù)=4\*GB3④函數(shù)或函數(shù)．注意：關(guān)于=1\*GB3①式，可以寫(xiě)成函數(shù)或函數(shù)．偶函數(shù)：=1\*GB3①函數(shù)．=2\*GB3②函數(shù)．=3\*GB3③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對(duì)稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．名校模擬練一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．22．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）地震震級(jí)通常是用來(lái)衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級(jí) B．6.4級(jí) C．7.4級(jí) D．7.6級(jí)4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個(gè)極值點(diǎn)B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，，，有以下四種說(shuō)法：①②③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說(shuō)法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．410．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．二、多選題14．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形15．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則16．（2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）已