2025屆高考預(yù)測(cè)卷（四）解析版

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆高考預(yù)測(cè)卷（四）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名?班級(jí)?考場(chǎng)號(hào)/座位號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案的標(biāo)號(hào)：非選擇題答案使用0.5毫米黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卷面及答題卡清潔，不折疊，不破損，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀.第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，則的實(shí)部為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)相等建立方程組，解出即可.【詳解】設(shè)，由，得，，解得，故的實(shí)部為，故選：C.2．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出一元二次不等式的解集，依題借助于數(shù)軸得到關(guān)于的不等式組，解之即得.【詳解】或，或，又，解得.故選:D.3．已知圓，過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則直線的斜率為（

）A．1或 B．或C．3或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析圓的圓心與半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)與點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．【詳解】由圓，整理得，所以圓心，半徑.由已知得圓心到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的斜率為或，故選：D.4．函數(shù)在上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷A，再由函數(shù)零點(diǎn)及函數(shù)值變化趨勢(shì)判斷BCD.【詳解】由，可知，函數(shù)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由可得，故D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)比增長(zhǎng)快，所以C正確B錯(cuò)誤.故選：C5．如圖所示的圓錐中，軸截面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為圓上一點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】解法一：首先得出異面直線與所成的角即為（或其補(bǔ)角），在中利用余弦定理求解即可；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求即可求解.【詳解】解法一：如圖，過點(diǎn)作，交圓于點(diǎn)，連接，則即異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.

易知，，所以，又，在中，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值是.解法二：由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知，可以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，圓所在平面內(nèi)過點(diǎn)且垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，為等邊三角形，，所以，，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是.

故選：A.6．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式求解即可.【詳解】由，可知，故，又，則，，解得.所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵：①根據(jù)角的范圍和角的正切值判斷角的余弦值的符號(hào)；②尋找角和角之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求的值.7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，設(shè)直線的方程為易得，再由得到，從而，然后利用切線長(zhǎng)定理和雙曲線的定義，結(jié)合，求得，然后將代入雙曲線的方程求解.【詳解】解：如圖所示：

由題意可知直線的方程為，，因?yàn)?，又，所以，極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線的方程得，所以.設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點(diǎn)，由雙曲線的定義得，易知，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得，因?yàn)?，所?解法一

所以雙曲線的方程為，將的坐標(biāo)代入，得，得，故雙曲線的焦距為.解法二

易知軸，即為等腰直角三角形.由雙曲線的定義可得，則，得，故雙曲線的焦距為.故選：D8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)的圖象作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合絕對(duì)值函數(shù)的圖象可畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：

令，則方程，即方程，，①當(dāng)時(shí)，式無實(shí)數(shù)根，直線和的圖象無交點(diǎn)，原方程無實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，式有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線和的圖象最多有4個(gè)交點(diǎn)，因此要使有8個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則式有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為，且，則.則，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于借助導(dǎo)數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意得到一元二次方程根的分布，從而得到關(guān)于的不等式組，二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知正實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為24 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為18【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.【詳解】選項(xiàng)A，D：因?yàn)椋裕?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，故即的最小值為24，故A正確，D錯(cuò)誤.選項(xiàng)B，C：由，得，故，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故B正確，C錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，若對(duì)于任意的，恒成立，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的值是B．圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為C．的單調(diào)遞減區(qū)間為D．在上的最小值為【答案】BC【分析】選項(xiàng)A：由題意得到，從而，再由是的一個(gè)零點(diǎn)求解；選項(xiàng)B：由A得到，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解；選項(xiàng)D：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】選項(xiàng)A：設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則易知，所以.因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以，則，由，得，又，所以，所以，故A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：由A得，令，得，令，得，故B正確.選項(xiàng)C：令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，故C正確.選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，故，所以在上的最小值為1，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．如圖1，在矩形中，已知為的中點(diǎn)，連接，將沿折起，得四棱錐，如圖2所示，則下列說法正確的是（

）

A．設(shè)平面與平面的交線為，則B．在折起過程中，直線與平面所成角的最大值是C．在折起過程中，存在某個(gè)位置，使得D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的外接球半徑是2【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A，由線面平行的性質(zhì)證明線線平行；選項(xiàng)B，定義法求線面角并判斷最大值；選項(xiàng)C，由線面垂直證明線線垂直；選項(xiàng)D，把三棱錐擴(kuò)成長(zhǎng)方體，求外接球半徑.【詳解】選項(xiàng)A：，平面，平面，平面，平面，平面平面，，故A正確.選項(xiàng)B：如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，過作平面，垂足為，連接，則就是直線與平面所成的角，當(dāng)平面平面時(shí)，平面，有最大值，在中，，的最大值為，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C：在矩形中，與都是等腰直角三角形，可得，折起過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，平面平面，平面，平面，平面，，故C正確.選項(xiàng)D：由選項(xiàng)C知當(dāng)平面平面時(shí)，，又，，為直角三角形且，把三棱錐擴(kuò)成長(zhǎng)方體，如圖所示，

則的中點(diǎn)為長(zhǎng)方體的外接球球心，即三棱錐的外接球球心，則外接球的半徑，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決翻折問題的關(guān)鍵是確定翻折前后各量之間的關(guān)系，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的兩個(gè)“不變關(guān)系”：①與折痕垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；②與折痕平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知等差數(shù)列的公差不為零，成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】設(shè)的公差為，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到，再由求出、，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，即，解得，，，解得，.故答案為：13．已知向量與的夾角為，，設(shè)在上的投影向量為，則.【答案】/【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及向量數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合投影向量的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為，，所以，所以在上的投影向量為，所以.故答案為：.14．已知拋物線，動(dòng)點(diǎn)在拋物線上且，線段所在直線與軸交于點(diǎn)，，若線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到軸的距離取得最小值時(shí)，的值為.【答案】3或【分析】先確定點(diǎn)到軸的距離取得最小值時(shí)的狀態(tài)，結(jié)合焦半徑公式或者弦長(zhǎng)公式可求答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，連接，分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)與重合，且點(diǎn)到軸的距離取得最小值．解法一

設(shè)此時(shí)直線的傾斜角為，易知，則，又，所以，同理，故.又，所以，故或.因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故的值為3或.故答案為：3或.解法二

易知，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，消去可得.設(shè)，其中，則，.由，可得.由，知.當(dāng)時(shí)，可得，則；當(dāng)時(shí)，可得，則.故的值為3或.故答案為：3或.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．如圖所示的多面體中，四邊形為直角梯形，，，四邊形為正方形，為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)若平面平面，求平面與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用已知條件及線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)而證明，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明，從而證明平面，即可證明；（2）先根據(jù)已知條件尋找垂直關(guān)系，再建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求兩個(gè)平面的法向量，最后利用向量的夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】（1）四邊形為正方形，.，，，又平面，平面，，平面.平面..為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面，平面.（2）平面平面，平面平面，平面，，平面，易知兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得平面的一個(gè)法向量為.則，設(shè)平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的正弦值為.16．已知在中，.

(1)求；(2)設(shè)，若為的外接圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在優(yōu)弧上，如圖，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)即可；（2）解法一：根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合正弦定理可得，再設(shè)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式與余弦定理可得，進(jìn)而可得面積的最大值.解法二：設(shè)的外接圓圓心為，外接圓半徑為，連接，則，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則易知此時(shí)取得最大值.進(jìn)而根據(jù)幾何與三角形關(guān)系可得，由正弦定理可得外接圓半徑，進(jìn)而可得面積的最大值.【詳解】（1），，，，即，又，即，又，得.（2）解法一：由（1）知，為銳角，故，，，由正弦定理得，.設(shè)易知，故.在中，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，故面積的最大值為.解法二：設(shè)的外接圓圓心為，外接圓半徑為，連接，則，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則易知此時(shí)取得最大值.在中，由（1）知，，易知，又，.由正弦定理得，外接圓半徑.在直角三角形中，，則，故面積的最大值為.

【點(diǎn)睛】解三角形中的最值（取值范圍）問題的求解方法求解三角形的邊、角、面積及周長(zhǎng)的取值范圍或最值問題的常用方法如下：函數(shù)法通過正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為“一角一函數(shù)”的形式，最后結(jié)合角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和值域求解.基本不等式法利用正、余弦定理，面積公式建立之間的等量關(guān)系與不等關(guān)系，然后利用基本不等式求解.幾何法根據(jù)已知條件畫出圖形，結(jié)合圖形，找出臨界位置，數(shù)形結(jié)合求解.17．已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)的一個(gè)“橢點(diǎn)”.直線與橢圓交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為.問：是否存在過點(diǎn)的直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，或【分析】（1）利用橢圓離心率和的面積列出關(guān)于的方程組，解之即得橢圓方程；（2）先對(duì)直線就直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元得到一元二次方程，設(shè)點(diǎn)，得點(diǎn)，依題，需探究是否滿足，通過代點(diǎn)運(yùn)用韋達(dá)定理，解方程求出值即得.【詳解】（1）由題意得，故，結(jié)合得，則，，得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得，解得或，不妨令，則.因，故此時(shí)以為直徑的圓不過坐標(biāo)原點(diǎn).②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，如圖，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，消去得，設(shè)，則，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，(*)若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，而，因此，即，將（*）代入得，因，化簡(jiǎn)得，解得.故直線的方程為或.18．一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)質(zhì)地、大小均相同的小球，其中2個(gè)白球，8個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，若抽到的是黑球，則放回袋子中，不做任何改變；若抽到的是白球，則用一個(gè)質(zhì)地、大小均與袋中的黑球相同的黑球替換該白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，則第二次抽取時(shí)袋中就有1個(gè)白球，9個(gè)黑球）.(1)若從袋子中隨機(jī)抽取小球3次，記為抽到白球的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記第（且）次恰好抽到第二個(gè)白球的概率為，求.【答案】(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即得.（2）利用獨(dú)立重復(fù)事件求出第次抽到第一個(gè)白球，第次抽到第二個(gè)白球的概率，再利用互斥事件的概率公式，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出