福建省部分高中2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁2024~2025學(xué)年第二學(xué)期福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高中畢業(yè)班2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）溫馨提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式確定集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】或x>1，，所以，故選：D．2.已知向量若，則m等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，解?故選：A.3.已知圓柱和圓錐的底面半徑及高均相等，且圓錐側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓柱和圓錐的側(cè)面積的比值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖是半圓，結(jié)合圓周長(zhǎng)和扇形的弧長(zhǎng)公式，結(jié)合圓錐和圓柱的側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，得，即，圓錐的高，所以圓柱的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面積為，故圓柱和圓錐的側(cè)面積之比為．故選：D4.已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項(xiàng)，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與，求出的關(guān)系，根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，求出的值，再求即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，又因?yàn)?，即，可得，又由，即，即，即，且正?xiàng)等差數(shù)列，即解得，則.故選：C．5.已知，且，則（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，結(jié)合余弦的差角公式，可得答案.【詳解】由，，可得，則，，則或，由于，所以，，，故選：B6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需要的平均時(shí)間.在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量n與入侵時(shí)間K（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出，據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的8倍所需要的時(shí)間為（）天，（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.19【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出的值，設(shè)初始時(shí)間為，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的8倍的時(shí)間為，利用，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，解得，設(shè)初始時(shí)間為，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的8倍的時(shí)間為，則（天），所以該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的8倍所需要的時(shí)間為天，故選：C.7.已知直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得，分、、討論，代入利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】由，解得，可得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，則無意義；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立；綜上，，或.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入利用基本不等式求最值.8.已知的部分圖象如下圖，點(diǎn)x0≠0是圖象上一點(diǎn)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.若，則D.若點(diǎn)處切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，求得，對(duì)于A項(xiàng)，只需判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)在的單調(diào)性即可；對(duì)于B項(xiàng)，求出平移后的函數(shù)解析式，判斷奇偶性即得；對(duì)于C項(xiàng)，由代入化簡(jiǎn)得，再對(duì)進(jìn)行齊次化變換，代入即得；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，化簡(jiǎn)即得.【詳解】由圖象可知，的最大值為2，又，所以．設(shè)最小正周期為，由圖象可知，則，則,又，故，所以，將點(diǎn)代入,可得，即．因?yàn)?，則，所以，則，所以．對(duì)于A項(xiàng)，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，，因在上先減后增，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)解析式，易知是奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由，得，化簡(jiǎn)得，則故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，點(diǎn)處的切線方程為，將坐標(biāo)原點(diǎn)代入，得，所以，故D項(xiàng)正確.故選:D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先解讀圖象信息，求出函數(shù)解析式，再根據(jù)選項(xiàng)，將看成整體角，通過正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，利用平移變換得解析式判斷奇偶性，利用三角恒等變換求三角函數(shù)值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具求切線方程，檢驗(yàn)結(jié)論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知虛數(shù)滿足，則（）A.的實(shí)部為 B.的虛部為C. D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念寫出，進(jìn)而判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，得，所以的實(shí)部為的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選：ACD10.離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，是非零實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）20242025A. B.服從兩點(diǎn)分布C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得判定A正確；根據(jù)二點(diǎn)分布的定義，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)分布列的期望和方差的計(jì)算公式，可判定C、D正確.【詳解】對(duì)于A中，由分布列的性質(zhì)，則滿足，所以A正確；對(duì)于B中，根據(jù)二點(diǎn)分布知，隨機(jī)變量的取值為和，所以B不正確；對(duì)于C中，由期望的公式，可得，因?yàn)?，所以，即，所以C正確；對(duì)于D中，由方差的公式，可得，即，所以D正確.故選：ACD.11.如圖，中，，，是中點(diǎn)，是邊上靠近的四等分點(diǎn)，將沿著翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)處，得到四棱錐，則（）A.到平面的距離的最小值為B.存在點(diǎn)使得平面平面C.中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.四棱錐外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)無限接近時(shí)，到平面的距離趨近去，即可判斷A；連接點(diǎn)與中點(diǎn)，連接，證明平面，可得，再證明存在點(diǎn)使得即可判斷B；找出底面的外接圓圓心，易得該點(diǎn)為四棱錐外接球球心時(shí)有最小半徑，即可判斷D；以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用相關(guān)點(diǎn)法求出中點(diǎn)的軌跡方程即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)無限接近時(shí)，到平面的距離趨近去，所以到平面的距離沒有最小值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接點(diǎn)與中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，由題意可得為中點(diǎn)，是中點(diǎn)，故，所以，故，，又，、平面，故平面，又平面，所以，則當(dāng)時(shí)，又、平面，，故有平面，又平面，故平面平面，即需，由題意可得，，，即當(dāng)時(shí)，有，由，故存在點(diǎn)，使，故B正確；對(duì)D：由，故，由，故，即四邊形四點(diǎn)共圓，連接，為該圓直徑，故四棱錐外接球球心必在過中點(diǎn)，且垂直平面的直線上，則當(dāng)球心在中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球半徑最小，此時(shí)中點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于一半，故，由，有平面，又平面，故，故球心可在中點(diǎn)，由是中點(diǎn)，故，則，則半徑為，此時(shí)表面積為，即四棱錐外接球表面積的最小值為，故D正確；對(duì)于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，由，得，所以，即，由，得，整理得，所以中點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為，故C正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓，試寫出一個(gè)半徑為1，且與軸和圓都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】所求圓的圓心為，則，結(jié)合兩圓位置關(guān)系列式求解即可.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑，設(shè)所求圓的圓心為，則，且或，若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；若，，無解，不合題意；若，，解得或，可得圓心為或，所求圓的方程為或；若，，解得，可得圓心為，所求圓的方程為；故答案：（答案不唯一）.13.若直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則直線的斜率為_________________.【答案】或【解析】【分析】聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，然后根據(jù)方程解得個(gè)數(shù)討論求解.【詳解】將代入雙曲線方程中得到：，展開整理得.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程變?yōu)橐淮畏匠蹋藭r(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)方程是二次方程，若直線與雙曲線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則判別式，展開得到：.進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，則.解得.

故答案為：或.14.甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)抽卡游戲，規(guī)則如下：有編號(hào)的卡片各1張，兩人輪流從中不放回的隨機(jī)抽取1張卡片，直到其中1人抽到的卡片編號(hào)之和等于12或者所有卡片被抽完時(shí)，游戲結(jié)束.若甲先抽卡，求甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束的概率是______.【答案】【解析】【分析】依題意可知游戲結(jié)束時(shí)共抽取了5張卡片，甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12，分別計(jì)算出所對(duì)應(yīng)的排列總數(shù)即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知甲抽了3張卡片時(shí)，恰好游戲結(jié)束相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張，且甲抽取的三張卡片數(shù)字之和為12，乙抽取的兩張卡片數(shù)字之和不為12；總的情況相當(dāng)于從7張卡片中抽取了5張并進(jìn)行全排列，即共種排法；其中三張卡片數(shù)字之和為12的組合有；；；；共5種情況；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為；；；時(shí)，乙在剩余的4個(gè)數(shù)字中隨意抽取兩張卡片再進(jìn)行排列，共有種；當(dāng)甲抽取的數(shù)字為時(shí)，若乙抽取的兩張卡片數(shù)字可能為，此時(shí)不合題意，此時(shí)共有種；所以符合題意的排列總數(shù)為種，可得所求概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于首先明確游戲結(jié)束時(shí)甲乙兩人抽取的卡片張數(shù)以及數(shù)字之和的所有情況，再利用全排列公式計(jì)算出各種情況對(duì)應(yīng)的種類數(shù)可得結(jié)論.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)的和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量可求出；利用和的關(guān)系，構(gòu)造出即可求出；（2）由（1）可知，利用錯(cuò)位相減法求解即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列知：，整理得：，即或者，因?yàn)楣畲笥?，故.且，故.數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足①，且，解得，故當(dāng)時(shí)，②，①式減②式得：，即，故是公比為2的等比數(shù)列，則，故；【小問2詳解】由（1）可知，故則故故則16.已知銳角的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求A的值．（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計(jì)算可得.（2）使用正弦定理將邊化角，再利用三角形內(nèi)角和為和輔助角公式，將周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)內(nèi)角為變量的最值問題，由角的范圍進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，由余弦定理，所以，又，所以；【小?詳解】由正弦定理得，∴，.∴在銳角中，，，又∵，∴，∴，綜上可得，∴，∴∴周長(zhǎng)的取值范圍為.17.如圖，三棱柱中，，，，點(diǎn)M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，且，．（1）證明：平面ABC；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可證，，即可證線面垂直，（2）可證平面.建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】連接，因?yàn)椋?，則，可知，且點(diǎn)M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，則，∥，則，可知，又因?yàn)椋瑒t，可得，可知，且，平面，所以平面ABC.【小問2詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，則，又因?yàn)?，∥，則，且，平面，所以平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由平面可知：平面的法向量可以為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比.已知橢圓與橢圓：相似.（1）求橢圓的離心率；（2）若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)為上異于其左?右頂點(diǎn)，的一點(diǎn).①當(dāng)時(shí)，過分別作橢圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)直線，的斜率為，，證明：為定值；②當(dāng)時(shí)，若直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）首先得到、的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、依題意可得，從而得到，再由離心率公式計(jì)算可得；（2）①設(shè)Px0,y0，則直線的方程為，進(jìn)而與橢圓聯(lián)立方程，并結(jié)合判別式得，同理得到，進(jìn)而得，再根據(jù)即可求得答案；②由題知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得，故設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，進(jìn)而得其對(duì)應(yīng)的方程，再與橢圓聯(lián)立方程并結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式得、，進(jìn)而得．【小問1詳解】對(duì)于橢圓：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為，依題意可得，所以，則橢圓的離心率.【小問2詳解】①由相似比可知，，解得，所以橢圓：，設(shè)Px0,y0，則直線的方程為記，則的方程為，將其代入橢圓的方程，消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，將代入上式，整理得，同理可得，所以為關(guān)于的方程的兩根，所以，又點(diǎn)Px0,所以，所以，為定值．②由相似比可知，，解得，所以橢圓：，其左、右頂點(diǎn)分別為，，恰好為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)，易知直線、的斜率均存在且不為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以．設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由，得，設(shè)，，則，，所以，同理可得，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為