江蘇省常州市溧陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題2025.1注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)將本試卷答案寫在答題卡相應(yīng)位置上；2.考試時(shí)間為120分鐘，試卷總分為150分.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出的值，由此可知準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故選：D.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義直接得出結(jié)果.【詳解】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，則，解得.所以該直線的傾斜角為.故選：D3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相離 C.內(nèi)切 D.外切【答案】A【解析】【分析】求出兩圓的圓心及半徑，求出圓心距，從而可得出結(jié)論.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則兩圓圓心距，因，所以兩圓相交.故選：A.4.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則數(shù)列的公比為（）A.1 B. C.1或2 D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項(xiàng)和的意義，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)列式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，則，所以或.故選：D5.在二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A. B.5 C.10 D.40【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通項(xiàng)特征即可求解得解.【詳解】的通項(xiàng)為令，故，所以含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，故選：D6.（）A.55 B.120 C.165 D.220【答案】C【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】.故選：C7.已知點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的實(shí)軸長(zhǎng)為4 B.的兩條漸近線夾角大于60°C.到的漸近線的距離為4 D.上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由雙曲線方程為，得，所以，所以實(shí)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)?，所以漸近線的傾斜角大于小于，所以雙曲線的兩條漸近線夾角大于，故B正確；雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：B.8.若橢圓與直線交于點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，直線（為原點(diǎn)）的斜率小于，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合斜率關(guān)系求出離心率范圍.【詳解】依題意，由消去得：，,，解得，設(shè)，則，點(diǎn)，由直線的斜率小于，得，則，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：聯(lián)立方程求出中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判斷焦點(diǎn)位置是求解的關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.為了探究某次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)是否與性別存在關(guān)聯(lián)，小華進(jìn)行了深入的調(diào)查，并繪制了下側(cè)所示的列聯(lián)表（個(gè)別數(shù)據(jù)暫用字母表示）：數(shù)學(xué)成績(jī)性別合計(jì)男女優(yōu)秀2770非優(yōu)秀58110合計(jì)180經(jīng)計(jì)算得：，參照下表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項(xiàng)正確的為（）A.B.C.可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”D.沒有充分的證據(jù)顯示“數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)與性別有關(guān)”【答案】ABD【解析】【分析】利用列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算判斷AB；結(jié)合的觀測(cè)值及臨界值表判斷CD.【詳解】對(duì)于AB，由列聯(lián)表知，，AB正確；對(duì)于CD，由知，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 D.數(shù)列的前項(xiàng)和不超過(guò)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列首項(xiàng)公比，再逐項(xiàng)求解判斷得解.【詳解】等比數(shù)列中，，而，則數(shù)列單調(diào)遞減，由，得，又，解得，對(duì)于A，，解得，A正確；對(duì)于B，，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，D正確.故選：ACD11.已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2，動(dòng)點(diǎn)形成軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線是中心對(duì)稱圖形B.C.直線斜率的取值范圍為D.若，則的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解B，根據(jù)斜率公式即可求解C，根據(jù)垂直的坐標(biāo)關(guān)系，求解，，即可求解D.【詳解】設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，由于，故，對(duì)于A，滿足，故曲線是中心對(duì)稱圖形，A正確，對(duì)于B,，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號(hào)，由于，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,，故C正確，對(duì)于D，由可得，故，聯(lián)立與可得，故，故,故D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)可得，故，求，.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2位同學(xué)分別從甲、乙、丙3門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同選法共有______種．【答案】【解析】【分析】由于兩人選修的課程不同，屬于排列問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】2位同學(xué)分別從甲、乙、丙3門課程中選修1門，且2人選修的課程不同，

則有種.

故答案為：.13.在等差數(shù)列中，已知，，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求解.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，即，解得，而，所以.故答案為：14.如圖，在紙上畫一個(gè)半徑為2的圓，再取一定點(diǎn)，，將紙片折起，使圓周通過(guò)，然后展開紙片，得到一條折痕（為了看清楚，可把直線畫出來(lái)）.這樣繼續(xù)下去，得到若干折痕，這些折痕圍成的輪廓構(gòu)成曲線.若點(diǎn)在曲線上，且，則的面積為________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性分可知，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求面積.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)在圓上，直線為線段的垂直平分線，則，可得，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線，靠近點(diǎn)的一支，因?yàn)?，若，則，可得，即，可得，所以的面積為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意結(jié)合對(duì)稱性分析可知，則的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線，靠近點(diǎn)的一支，進(jìn)而可得面積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓，，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若在圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系列式求解.（2）求出直線的方程，利用切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】圓，則，由在圓內(nèi)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，圓的圓心，半徑，直線方程為：，即，由直線與圓相切，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）9；（2）.【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出，進(jìn)而列式求出值.（2）利用賦值法求出，再利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出.【小問(wèn)1詳解】依題意，，所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.17.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表.耕種深度81012141618每公頃產(chǎn)量67891113（1）求樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并判斷它們是否具有較強(qiáng)線性相關(guān)性；（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：，，.【答案】（1），有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，，故，故有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，【小問(wèn)2詳解】，故，將代入可得，故回歸直線方程為18.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若，則在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）①；②不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）由可得；（2）①由等差數(shù)列可得，進(jìn)而可得；②根據(jù)錯(cuò)位相減法可得，進(jìn)而可得，由，，得，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，故為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.【小問(wèn)2詳解】由題意，得，得.由可得，故，，上面兩式相減可得，得，，由題意，，得，得，化簡(jiǎn)得，得，這與成等差數(shù)列相矛盾，故不存在這樣的3項(xiàng).19.已知圓的圓心在軸上，且過(guò)，兩點(diǎn)，拋物線與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求的最小值；（3）當(dāng)取最小值時(shí)，過(guò)拋物線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，它們分別交于點(diǎn)，（，均異于點(diǎn)），設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】（1）；（2）1（3）為定值4，證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意建立關(guān)于a的等量關(guān)系求出a即可得解；（2）聯(lián)立圓與拋物線方程，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由拋物線與圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)得關(guān)于a的不等式即可求解；（3）設(shè)和過(guò)點(diǎn)M的圓E的切線方程為，由圓心到切線距離為半徑1結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式整理得方程，進(jìn)而得兩切線斜率滿足，接著設(shè)，分別由兩切線與拋物線聯(lián)立依次求出和，再由計(jì)算即可得證.【小問(wèn)1詳解】由題可設(shè)，則，解得，所以圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立或，因?yàn)閽佄锞€與圓有