江西省新八校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

江西省東鄉(xiāng)一中都昌一中豐城中學(xué)贛州中學(xué)景德鎮(zhèn)二中上饒中學(xué)上栗中學(xué)新建二中新八校2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題人：新建二中邊群根審題人：贛州中學(xué)陳麗玲考試時間：120分鐘 滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．3．已知，則（）A．1080 B．80 C．－10 D．－804．向量，，且，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，所得圖象關(guān)于原點對稱，則的圖象的對稱軸可以為（）A． B． C． D．6．設(shè)是公差為2的等差數(shù)列，且，若，則（）A．2024 B．2025 C．4048 D．40507．從某個角度觀察籃球可以得到一個對稱的平面圖形，如圖所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長8等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．在直四棱柱中，底面為菱形且，，，．平面過點、且與平行，點在平面上且滿足，則點的軌跡為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線一部分 D．拋物線一部分二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．2024年全民健身運動的主題“全民健身與奧運同行”，為了滿足群眾健身需求，某健身房近幾年陸續(xù)購買了幾臺型跑步機，該型號跑步機已投入使用的時間（單位：年）與當(dāng)年所需要支出的維修費用（單位：千元）有如下統(tǒng)計資料：234562.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到線性回歸方程為．，則（）A．與的樣本相關(guān)系數(shù)B．C．表中維修費用的第60百分位數(shù)為6D．該型跑步機已投入使用的時間為10年時，當(dāng)年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元10．已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A．的圖象關(guān)于點（2，1）對稱 B．是以8為周期的周期函數(shù)C． D．11．曲線的方程為，下列對曲線的描述正確的是（）A．曲線關(guān)于原點對稱B．曲線與橢圓無公共點C．曲線圍成的封閉圖形的面積大于橢圓圍成的封閉圖形的面積D．曲線上的點到原點距離的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．曲線在，兩點處的切線互相垂直，則_______．13．已知，則銳角_______．14．已知有窮數(shù)列共項，數(shù)列中任意連續(xù)三項，，，如下條件：（1）至少有兩項相等；（2），，但成立；（3）以，，為邊長的三角形兩兩均不全等．若，則的最大值為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．（1）求的值；（2）若時，求的面積．16．（15分）如圖，在四棱柱中，平面，底面為梯形，，，，為的中點，為的中點．（1）證明：直線平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．17．（15）隨著教育部的“雙減政策”落地，為了豐富高中基礎(chǔ)年級學(xué)生的課余生活，2025年元旦期間，某校師生舉行一場驚心動魄的足球比賽；由教師代表隊、高一學(xué)生代表隊和高一學(xué)生代表單調(diào)性規(guī)則為：球隊勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分．由教師代表隊與國積和高二學(xué)生代表隊的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽：教師隊勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；由教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽；教師代表隊勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨立．（1）求教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分的概率；（2）用表示教師代表隊兩場比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．18．（17分）已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與圓相切．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，過點作的兩條切線，，切點分別為、，試求面積的取值范圍．19．（17分）黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一．它與函數(shù)（，，為常數(shù)）密切相關(guān)，請解決下列問題．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明有唯一極值點；（3）在（2）成立的條件下，記的唯一極值點為，求證．新八校2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．【答案】C【解析】，，．故選C2．【答案】A【解析】，，3．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以．的展開式的通項，取得．故選B．4．【答案】D【解析】因為，所以，即，即，，故，故選：D5．【答案】D【解析】由題意可得的圖象關(guān)于點對稱，取與，代入可得，即．故，令，，可得的圖象的對稱軸為，．故選：D．6．【答案】B【解析】由，得，則，從而．故選：B7．【答案】C【解析】以為原點，所在直線為軸建系，不妨設(shè)則該雙曲線過點且，將點代入方程，即，解得，所以，故離心率為，故選：C．8．【答案】B【解析】在直四棱柱中，底面為菱形且，，所以，又因為，所以，因為，又因為，點在為旋轉(zhuǎn)軸，為半徑的圓錐的側(cè)面上，因為平面過點、且與平行，點在平面上，所以點的軌跡為平面與圓錐的側(cè)面的交線上，其軌跡為橢圓，故選B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．【答案】ABC【解析】根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點為（4，5），對于A，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，故A正確；對于B，將樣本中心點（4，5）代入回歸方程，可得，故B正確；對于C，維修費用從小到大依次為2.2，3.8，5.5，6.5，7，第60百分位數(shù)為，故C正確；對于D，根據(jù)回歸分析的概念，機床投入生產(chǎn)的時間為10年時，所需要支出的維修費用大概是12．38萬元，故D錯誤．故選：ABC．10．【答案】ABD【解析】對于A，根據(jù)題意由可得；又為奇函數(shù)，聯(lián)立，兩式相加可得，因此的圖象關(guān)于點（2，1）對稱，即A正確；對于B，由，，又為偶函數(shù)，所以，可得，即，所以，即是以8為周期的周期函數(shù)，可知B正確；對于C，易知，，即C不正確；對于D：由可得，又，所以；所以，即D正確；故選：ABD．11．【答案】AC【解析】對A：若滿足，則亦在曲線上，故A正確；對B：如即為兩個曲線公共點，故B錯誤；對C：記在曲線上，在曲線上，且，則有，，故，即除去，，其余上的點都在外，故C正確；對D：令，，則，，則，（其中，），所以曲線上的點到原點距離的最大值為，故D錯誤．故選：AC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】1【解析】由，不妨設(shè)，兩切線的斜率分別為，，由題意得，則有，，此時．13．【答案】【解析】，，可得．所以．14．【答案】16【解析】當(dāng)中含有“1，1，1”時，；當(dāng)中含有“1，1，2”時，不滿足“”，故舍去；當(dāng)中不含有連續(xù)的“1”時，連續(xù)三項的可能為：2，2，1，2，2，2，2，2，3，3，3，1，3，3，2，3，3，3，3，3，4，3，3，54，4，1，4，4，2，4，4，3，4，4，4，4，4，45，5，1，5，5，2，5，5，3，5，5，4，5，5，5其中2，2，1，3，3，1，4，4，1，4，4，2，5，5，1，5，5，2這6組不能同時滿足于前一項，后一項構(gòu)成3個符合題意的三角形．所以這6組只能位于數(shù)列的前三項或后三項，且至多出現(xiàn)2次．剩余共12組，由于相鄰4項組成的三角形中間2項是共用的，所以項數(shù)為三角形的個數(shù)加2項．此時，故當(dāng)最大時．所以的最大值為16．故答案為：16．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．【解析】（1），由余弦定理得，，又，，化簡得，．………………（6分）（2）由（1）得，………………（8分）為銳角，，…………（10分），的面積．……（13分）16．【解析】（1）證明：在四棱柱中，為的中點，為的中點，連接所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，直線在平面外，所以平面．……（6分）（2）過點作，垂足為，又因為平面，所以，，兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，……8分，，，設(shè)平面的法向量為，則有即令，得，，所以．……（11分）設(shè)平面的法向量為．則有即令，得，，所以．……（13分）所以．故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……（15分）17．【解析】（1）設(shè)事件“教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分為3分”，事件“教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分為1分”，事件“教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分為0分”，事件“教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分為3分”，事件“教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分為1分”，事件“教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分為0分”，事件“教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分”，，，，則，教師代表隊與高二學(xué)生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學(xué)生代表隊比賽獲得積分的概率為．……（7分）（2）由題意可知的所有可能取值為0，1，2，3，4，6．， ，， ， ．…………（13分）的分布列為012346．……（15分）18．【解析】（1）由題意得拋物線的焦點為，則直線，圓D的圓心為（0，－2），半徑，則，或（舍去），所以拋物線的方程為．……（6分）（2）設(shè)，，對于函數(shù)求導(dǎo)得，所以的斜率，……（7分）所以切線的方程為，即，即同理可得切線的方程為，……（9分）又因為點在兩切線上，，所以直線的方程為……（10分）聯(lián)立方程，，，，…………（13分）所以，點到直線的方程為，………………（15分）所以因為，所以面積的取值范圍為．…………（17分）19．【解析】（1）由，，可得，令，則，，即恒成立；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，可得恒成立，因此當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；……（5分）（2）當(dāng)時，由，，可得，令，則，令，可得，易知當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取得