山西省名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列，則該數(shù)列的第211項為（）A. B.421 C. D.423【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)列寫出一個通項公式，再求出第211項.【詳解】該數(shù)列的通項公式為，所以故選：B2.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A. B.10 C. D.100【答案】B【解析】【分析】先由投影得點的坐標，再由向量模的坐標公式可得所求.【詳解】由題意得，則，故選：B.3.已知數(shù)列滿足，其前項和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性確定數(shù)列的周期，進而可得，利用周期性求.【詳解】因為是周期為4的周期數(shù)列，且，所以，則.故選：C4.若直線與互相平行，則（）A. B.3 C.或3 D.【答案】A【解析】【分析】由平行關(guān)系得到，求解并驗證即可；【詳解】由題意知，所以或.當(dāng)時，兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時，兩直線平行.故選：A5.對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學(xué)家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就與高階等差級數(shù)求和有關(guān).現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則（）A.210 B.209 C.211 D.207【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知有，應(yīng)用累加法求通項公式，進而求.【詳解】因為，所以，則.故選：B.6.經(jīng)過點所作曲線的切線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，后根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，轉(zhuǎn)化為：的根的個數(shù)，結(jié)合根的判別式判定即可.【詳解】因為，所以曲線在點處的切線方程為.將代入，得.因為，所以方程有兩個不同的根，且根不為0，所以方程共有3個不同的根，即經(jīng)過點所作曲線的切線有3條.故選：C.7.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為矩形，平面平面，，為的中點，，，若點到直線的距離為2，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點，證得平面，進而建系，利用異面直線夾角向量法求解即可；【詳解】取的中點，連接，則，因為平面平面，且平面與平面交于，所以平面.如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系.設(shè)，則，，，，所以，，所以點到直線的距離，解得.因為，，所以，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：D8.已知拋物線的準線與坐標軸的交點為，為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，當(dāng)最大時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由拋物線定義和兩點間的距離公式，結(jié)合基本不等式可求得的最大值，以及點的坐標，再由雙曲線的定義和離心率公式，可得所求值.【詳解】過點作準線的垂線交準線于點，則，由可得，設(shè)，則.令，則，當(dāng)，即時，取到最大值，此時.不妨設(shè)，因為雙曲線的焦點坐標為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，將代入上式，求得.設(shè)該雙曲線的離心率為，則，所以.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及雙曲線的定義和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列導(dǎo)數(shù)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法逐項判斷可得結(jié)果.【詳解】令，，因，，所以，故A正確；因為為常數(shù)，所以，故B錯誤；令，，因為，，所以，故C正確；因為，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則（）A.直線與圓相離B.過點的直線被圓截得的弦長的最小值為C.D.從點向圓引切線，切線長的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可判斷，對于B，由中點弦長即可判斷，對于C，由圓心到直線的距離減半徑即可判斷，對于D，設(shè)切點為，得到，由時，取得最小值，即可求解；【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；因為點在圓內(nèi)部，且，所以過點的直線被圓截得的弦長的最小值為，故B不正確；因為圓心到直線的距離，所以，故C正確；從點向圓引切線，設(shè)切點為，連接，則，則，易知當(dāng)時，取得最小值，由A知，即圓心到直線的距離7，此時取得最小值，即，故D正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別是棱，的中點，在線段上，在底面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若平面，則點的軌跡長度為C.存在平面D.平面截以為球心，長為半徑的球所得的截面面積的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】因為，所以的面積為定值，又平面平面，所以三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積為定值，可知A正確；建立空間直角坐標系，因為平面，可得點的軌跡方程，進而可得點的軌跡長度，可得B正確；假設(shè)存在平面，則.結(jié)合空間向量，可判斷C錯誤；結(jié)合空間向量，可得點到平面的距離，因為，所以該球的半徑.進而可得截面圓的半徑滿足，所以截面面積的取值范圍為，故D正確.【詳解】因為，所以的面積為定值.因為平面平面，所以三棱錐的高為定值2，所以，故A正確.如圖，以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.設(shè)，，，，則.因為平面，所以，即點的軌跡方程為.因為點在底面內(nèi)，所以點的軌跡長度為，故B正確.假設(shè)存在平面，則.由，得，，所以不存在平面，故C錯誤.因為平面，所以點到平面的距離為定值.因為，所以.因為，所以該球的半徑.因為截面圓的半徑滿足，所以，所以截面面積的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.【點睛】本題考查空間幾何體的體積、線面平行、線面垂直、截面面積等知識，考查空間想象力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上有一點，若，則________.【答案】18【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再由雙曲線定義求出，結(jié)合可得答案．【詳解】因為，所以，可得，因為，，所以，或，因為，所以舍去，故.故答案為：.13.已知某商品成本與銷量的函數(shù)關(guān)系式為，單價與銷量的函數(shù)關(guān)系式為，則當(dāng)利潤最大時，________.【答案】14【解析】【分析】先求出利潤與銷量的關(guān)系式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)利潤為，則.因為，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.故當(dāng)時，利潤取得極大值，也是最大值.故利潤最大時，.故答案為：14.14.若正整數(shù)，的公約數(shù)只有1，則稱，互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則________.若數(shù)列的前項和為，則________.【答案】①.6②.【解析】【分析】第一空由定義即可求解，第二空，由題意得到，，進而可求解【詳解】由題意可知：小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)有，所以.因為2為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，所以.因為3為質(zhì)數(shù)，在不超過正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個數(shù)為，所以，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，所以.故答案為：6；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三次函數(shù)在上不單調(diào)，只需導(dǎo)函數(shù)判別式大于0即可.（2）先判斷單調(diào)性，再結(jié)合端點值即可.【小問1詳解】因，所以.因為在上不單調(diào)，所以方程有兩個不同的根，則，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】因為，所以.由，得或，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因為，，，所以在上的值域為.16.圖1是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且二面角的平面角為，如圖2.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，.根據(jù)三線合一得到線線垂直，進而得到線面垂直，再用性質(zhì)得到即可.（2）建立空間直角坐標系，求出關(guān)鍵點坐標，還有平面法向量，結(jié)合向量夾角公式計算即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，，.在梯形中，可知，所以，為正三角形，所以，.因為，且，平面，所以平面.因為平面，所以.【小問2詳解】解：由（1）知二面角的平面角為，即.如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù)在上沒有極值.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意將函數(shù)求導(dǎo)，將問題等價轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，整理不等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分類討論，可得答案；（2）由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，化簡不等式，整理不等式利用同構(gòu)思想，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性，進一步化簡不等式，再利用對數(shù)運算分離參數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的最值，可得答案.【小問1詳解】因為，所以.因為在上沒有極值，且，所以在上恒成立.設(shè)，則.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，要證，只需證對恒成立，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時，要證，只需證對恒成立，因為在上單調(diào)遞減，且，所以.故.【小問2詳解】由（1）知在上單調(diào)遞增.因為，所以，即.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以等價于.因為，所以，所以，所以恒成立.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，故的取值范圍為.【點睛】難點點睛：本題解題的難點在于第二問，解題的關(guān)鍵在于兩點：1、利用函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，在化簡不等式時要注意括號里代數(shù)式的取值范圍與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的包含關(guān)系；2、整理不等式同構(gòu)函數(shù)，在同構(gòu)函數(shù)時要注意整體思想的應(yīng)用.18.已知橢圓上一點到兩焦點的距離之和為.（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線與軸垂直，與橢圓交于，兩點，若直線與橢圓的另一交點為，則直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）過定點，【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件代入求得，由此求得橢圓的方程，（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直線的方程求得定點坐標.【小問1詳解】由題知，把代入橢圓的方程得，計算得，故橢圓的方程為.【小問2詳解】由題知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，聯(lián)立方程組消去整理得，則，.直線的方程為.由橢圓的對稱性可知，若存在符合的定點，則該定點一定在軸上.令，得.故直線過定點.19.數(shù)列擴充是指在一個有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項得到一個新的數(shù)列，擴充的次數(shù)記為，次擴充后的新數(shù)列記為，項數(shù)記為，所有項的和記為.擴充規(guī)則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，如：數(shù)列經(jīng)過一次擴充后得到數(shù)列，，.已知數(shù)列.（1）求，，；（2）求，；（3）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），，（2），（3）【解析】【分析】（1）由新定義即可求解；（2）通過定義得到經(jīng)第次擴充后增加的項數(shù)為，進而得到，即可，再設(shè)第次擴充后數(shù)列的各