2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共2頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.3.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線與平行，則（）A. B.0 C.1 D.22.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是（）A.m<1 B.m>1C.m< D.<m<15.過點(diǎn)的直線的斜率為，則（）A.10 B. C. D.1806.已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（）A. B.C.或 D.或7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.88.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，正確的有（）A.直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為B.直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為C.直線和沒有交點(diǎn)D.直線和兩兩相交10.如圖，直線，，斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.11.下列結(jié)論正確的是（）A.已知點(diǎn)Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相交D.若圓：x?42+y?42=r2r>0)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為________13.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是______.14.已知實(shí)數(shù)滿足，，，則的最大值為___________.四、解答題:本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，直線l過點(diǎn)．（1）若直線l斜率為，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)；（2）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．16已知圓過點(diǎn)，圓.（1）求圓的方程；（2）判斷圓和圓的位置關(guān)系并說明理由；若相交，則求兩圓公共弦的長(zhǎng).17.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長(zhǎng)為16米，最大高度CD的長(zhǎng)為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求該圓弧所在圓方程；（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時(shí)兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時(shí)車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長(zhǎng)方體）18.已知一條動(dòng)直線，（1）求直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.19.已知圓和點(diǎn)，直線．（1）點(diǎn)A在圓Q上運(yùn)動(dòng)，且A為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡曲線T的方程；（2）點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作（1）中曲線T的兩條切線、，切點(diǎn)為B，C，求直線所過定點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）設(shè)E為（1）中曲線T上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E向圓Q引一條切線，切點(diǎn)為F．試探究：x軸上是否存在定點(diǎn)G（異于點(diǎn)Q），使得為定值？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)石嘴山市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分，共2頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.3.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線與平行，則（）A. B.0 C.1 D.2【正確答案】D【分析】由兩直線平行得斜率相等且截距不等，即可得解.【詳解】直線與平行，且的斜率為2，它們?cè)谳S上的截距不相等，且直線的斜率也為2，即.故選：D2.已知點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式求解即可；【詳解】解析：，又因?yàn)樗裕蔬x：B.3.圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心和半徑，再求出圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)即可得到對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以所求對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D4.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圓的條件是（）A.m<1 B.m>1C.m< D.<m<1【正確答案】A【分析】根據(jù)二元二次曲線表示圓，化標(biāo)準(zhǔn)形式即可求解.【詳解】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，標(biāo)準(zhǔn)形式，表示圓的條件是，解得．故選：A5.過點(diǎn)的直線的斜率為，則（）A.10 B. C. D.180【正確答案】B【分析】由斜率公式求得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算即可．【詳解】由題意得，，解得，所以，所以，故選：B．6.已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可求得斜率的取值范圍.【詳解】因?yàn)樾甭?，且，其中時(shí)直線無斜率，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；故選：C.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8【正確答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)椋傻?，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.8.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)，若其歐拉線的方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【詳解】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為代入歐拉線方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中點(diǎn)為（1，2），AB的中垂線方程為，即x-2y+3=0．聯(lián)立解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8

②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A本題考查了直線方程，求直線方程的一般方法：①直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接求出直線方程．②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列選項(xiàng)中，正確的有（）A.直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為B.直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為C.直線和沒有交點(diǎn)D.直線和兩兩相交【正確答案】BCD【分析】將直線方程化為斜截式，即可判斷A和C；聯(lián)立方程組求解即可判斷B；將三條直線化為斜截式，得出斜率，即可判斷三條直線的位置關(guān)系．【詳解】對(duì)于A，直線，，兩直線重合，故有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，聯(lián)立方程組，解得，所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故B正確；對(duì)于C，直線，，兩直線斜率相等且不重合，故與平行，所以沒有交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，直線，，可知直線的斜率分別為，斜率都不相等，故三條直線兩兩相交，故D正確；故選：BCD．10.如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】利用斜率與傾斜角的定義，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】由圖可得，，故A、D正確.故選：AD.11.下列結(jié)論正確的是（）A.已知點(diǎn)Px,y在圓：上，則的最大值是B.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知是圓外一點(diǎn)，直線的方程是，則直線與圓相交D.若圓：上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】根據(jù)三角換元可得，，由此可得，再求其最值，判斷A；由直線方程可得直線過定點(diǎn)，結(jié)合圖象，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可求的范圍，判斷B；由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，求的圓心到直線的距離，比較其與半徑的大小，判斷C；求到點(diǎn)距離為的點(diǎn)的軌跡方程，由條件可得改曲線與圓相交，列不等式求的范圍，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)Px,y在圓：上，故可設(shè)，，，所以，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，取最大值，最大值是，A正確；對(duì)于B，方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，直線的斜率為，因?yàn)橹本€和以，為端點(diǎn)的線段相交，所以或，其中，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槭菆A外一點(diǎn)，所以，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，C正確；到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以圓與圓相交，又，所以，又，所以，故的取值范圍是，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過點(diǎn)且在軸，軸上截距相等的直線方程為________【正確答案】和【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線截距式方程即可求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線方程為，且在軸，軸的距離均為0，符合題意，當(dāng)直線在軸，軸均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，故和13.直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是______.【正確答案】【分析】先求得兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，再求得直線上一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，即兩直線的交點(diǎn)為，由方程，令，可得，即直線過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則滿足，解得，即，所以，所以對(duì)稱直線的方程為，即.故答案為.14.已知實(shí)數(shù)滿足，，，則的最大值為___________.【正確答案】【分析】設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由題意兩點(diǎn)在圓上，且三角形為等邊三角形，，由的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離與之和，記線段的中點(diǎn)分別是，到直線的距離為，根據(jù)，且即可得答案.【詳解】解：設(shè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，由，可得兩點(diǎn)在圓上，且，則，所以三角形為等邊三角形，，的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離與之和，記線段的中點(diǎn)分別是，到直線的距離為，則有，且，所以，所以的最大值為，故答案為.四、解答題:本題共5小題，其中第15題13分，第16，17題15分，第18，19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15已知圓，直線l過點(diǎn)．（1）若直線l的斜率為，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)；（2）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）由點(diǎn)斜式得方程并化簡(jiǎn)，直接由圓心到直線的距離結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求解.（2）分直線斜率是否存在進(jìn)行討論，結(jié)合直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【小問1詳解】由題意直線l的斜率為，過點(diǎn)，所以它的方程為，即，圓的圓心坐標(biāo)、半徑分別為，圓心0,1到直線的距離為，所以直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為.【小問2詳解】若直線l的斜率不存在，此時(shí)它的方程為，圓心0,1到的距離為,即直線l與圓C相切，滿足題意；若直線l的斜率存在，此時(shí)設(shè)它的方程為，若直線l與圓C相切，則圓心0,1到的距離為，解得，所以此時(shí)l的方程為，即；綜上所述，滿足題意的l的方程為或.16.已知圓過點(diǎn)，圓.（1）求圓的方程；（2）判斷圓和圓的位置關(guān)系并說明理由；若相交，則求兩圓公共弦的長(zhǎng).【正確答案】（1）（2）和圓相交，理由見解析，【分析】（1）先設(shè)出圓的一般方程，把已知點(diǎn)代入，可求解；（2）先確定兩個(gè)圓的圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和、差的關(guān)系，確定兩圓的位置關(guān)系.再用直線與圓相交求弦長(zhǎng)的方法求公共弦長(zhǎng).【小問1詳解】設(shè)圓的一般方程為：，把已知點(diǎn)代入得：，所以圓的方程為：【小問2詳解】由（1）得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.∴，，，∵所以圓和圓相交，設(shè)交點(diǎn)為A，B，直線AB方程為即：，所以到直線AB的距離所以.兩圓公共弦的長(zhǎng).17.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面AB的長(zhǎng)為16米，最大高度CD的長(zhǎng)為4米，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（1）求該圓弧所在圓的方程；（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.6米，車輛行駛時(shí)兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時(shí)車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長(zhǎng)方體）【正確答案】（1）（2）4輛【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心的位置，結(jié)合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數(shù)量.【小問1詳解】由圓的對(duì)稱性可知，該圓弧所在圓的圓心在y軸上，設(shè)該圓的半徑為r米，則，解得，故該圓弧所在圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，則，解得．若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度為，故該隧道不能并排通過5輛該種汽車．若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度為．隧道能并排通過4輛該種汽車．綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車．18.已知一條動(dòng)直線，（1）求直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）（3）或【分析】（1）將直線整理成直線系方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）由直線不經(jīng)過第二象限，分類整合求出m的取值范圍即可.（3）由題意設(shè)出直線的截距式方程，代入定點(diǎn)，解出方程再化成一般式即可.【小問1詳解】由題意，整理得，所以不管取何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即【小問2詳解】由上問可知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線是，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，由直線不經(jīng)過第二象限，直線與軸有交點(diǎn)時(shí)，則縱截距小于或等于零