2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)綜合（五大考向）含答案

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第十九講-導(dǎo)數(shù)綜合(五大考向)-專項(xiàng)訓(xùn)練

-：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

22(1)

2024?新高考I卷，

18(1)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

2024?新高考I卷，

18(3)

2022?新高考n卷，

22(2)

1.高考中，導(dǎo)數(shù)是必考內(nèi)容。

2022?新高考I卷,

難度、廣度和深度較大。常規(guī)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)

22(2)

基礎(chǔ)考查求導(dǎo)公式與幾何意

2023?新高考I卷，

義；中等難度考查求單調(diào)區(qū)

19(1)

間、極值、最值等；壓軸題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

2022?新高考n卷,

查零點(diǎn)、不等式證明、恒成立

22(1)

或者存在問題、分類討論求參

2023?新高考I卷，

數(shù)等，和數(shù)列、不等式、函數(shù)

19(2)

等知識(shí)結(jié)合。

2022?新高考n卷,

導(dǎo)數(shù)與不等式證明

22(3)

2023?新高考n卷,

22(1)

2023?新高考n卷,

22(2)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

2024?新高考n卷,

16(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值、函數(shù)的對稱性、恒成立問題的綜

合運(yùn)用，難度較難。n卷考查了曲線的切線和函數(shù)的極值求參數(shù)，常規(guī)考查，難度適

中。導(dǎo)數(shù)的高頻考點(diǎn)有：含參函數(shù)的參數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性

結(jié)合考查等。導(dǎo)數(shù)中頻考點(diǎn)有：用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。焕煤瘮?shù)證明不等式或求

不等式的解；求參數(shù)的取值范圍等。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及恒成

立、求參問題。

三：試題精講

一、解答題

1.(2024新高考I卷?18)已知函數(shù)〃x)=ln'L+辦+6a-以

2-x

(1)若6=0,且八求。的最小值;

(2)證明：曲線>=/(x)是中心對稱圖形；

⑶若當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,求b的取值范圍.

2.(2024新高考n卷T6)已知函數(shù)=e*-ox-”'.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線>=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若Ax)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

高考真題練

一、解答題

1.(2022新高考I卷,22)已知函數(shù)/(>)=/-◎和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線y=和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且

從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

2.（2023新高考I卷-19）已知函數(shù)/（x）=a（e，+a）-x.

(1)討論/(尤)的單調(diào)性;

3

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>21na+-.

3.（2022新高考D卷-22）已知函數(shù)/'（x）=xe"'-e"

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論“X)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，/?<-1,求。的取值范圍；

111,,,、

(3)設(shè)“eN",證明：]2+]三+…+/2>ln(〃+D.

4.(2023新高考n卷-22)(1)證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinx<x；

(2)已知函數(shù)/(x)=cosax-ln(l-x2),若》=。是/(x)的極大值點(diǎn)，求。的取值范

圍.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、恒成立和有解問題思路一覽

設(shè)函數(shù)/(X)的值域?yàn)槲榱?或[。,可，或僅,回或[凡6)中之一種，則

①若讓/(X)恒成立(即2</(X)無解)，則42[/(x)]max;

②若4V/(x)恒成立(即皆〉/(x)無解)，則XW[/(x)]mm；

③若於/(X)有解(即存在X使得A>/(x)成立)，則於[/(x)]min；

④若2</(X)有解(即存在X使得2<f(x)成立)，則4V[/(x)]max；

⑤若2=fix)有解(即2w/(x)無解)，則4e｛團(tuán)y=f(x)｝；

⑥若X=/(x)無解(即4H/(%)有解)，則AeCu{y\y=/(%)}.

【說明】(1)一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法.

(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號(hào)

的取舍！(即端點(diǎn)值的取舍)

二、分離參數(shù)的方法

①常規(guī)法分離參數(shù)：如4/(x)=g(x)=>2=史2；

/(x)

②倒數(shù)法分離參數(shù)：如4/(x)=g(x)nL=3；

Ag(x)

【當(dāng)f(x)的值有可能取到，而g(x)的值一定不為0時(shí)，可用倒數(shù)法分離參數(shù).】

￡-:，g(x)〉o

③討論法分離參數(shù):如:2g(x)>/(%)?::

花笑g(x)<0

[g(x)

2</(〃),〃為正偶數(shù)

(—1"V/(〃)(〃eN*)<

-2</(〃),〃為正奇數(shù)

④整體法分離參數(shù)：如萬+4=/(x)；

⑤不完全分離參數(shù)法：如2=lnx+x-x2；

x

⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù).

【注意】

(1)分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法(大多數(shù)題可以使用此方法).但

如果難以分離參數(shù)或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時(shí)就用含

參轉(zhuǎn)化法.

(2)恒成立命題對自變量的范圍有時(shí)有一部分或端點(diǎn)是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉

這一部分或端點(diǎn)，再分離參數(shù)求解.【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題

三、其他恒成立類型一

①/(x)在[。,切上是增函數(shù)，則20恒成立.(等號(hào)不能漏掉).

②/(x)在[a,可上是減函數(shù)，則/8)<0恒成立.(等號(hào)不能漏掉).

③/(x)在[2口上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)

四、其他恒成立類型二

①VX]e4mx2e8,使得方程g(x2)=/(^)成立

=5y=/(x),x"}u{my=g(x),XEB}.

②eA,Bx2EB,使得方程g(x2)=/(xj成

o3y=/(x),xeA}c{y\y^g(x),xeB}^0.

五、其他恒成立類型三

①VX]eA,\/x2eB,/a)2g(*2)O/(X])min2g(%2)max；

②VX]e4*2e8，/(再)，g(%)of(xjmin>g(%Un；

③叫&A,Xfx2eB,/(X])2g(%2)o/(%)max2g(%2)max；

?叫e4%2e8,/(X])2g(%)O/a)max之g(》2)min-

六、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題思路

利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式

來求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/[g(x)]>/["x)]；

(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)脫掉，得

到具體的不等式(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

七、構(gòu)造函數(shù)解不等式解題技巧

求解此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，下

面是常見函數(shù)的變形

模型1.對于/'(x)〉g'(x),構(gòu)造〃(x)=/(x)-g(x)

模型2.對于不等式/(6>左丁#0),構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx+b.

模型3.對于不等式/(x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)

拓展：對于不等式/(x)+4f(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=*/(x)

模型4.對于不等式/'(x)-/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=堂

e

模型5.對于不等式xf'[x)+/(x)>0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf[x}

拓展：對于不等式獷''(x)+7/(x)〉0,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x"(x)

模型6.對于不等式V"(x)-/(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)=?(x中0)

X

拓展：對于不等式力⑴-4(x)〉。，構(gòu)造函數(shù)g(x)=/學(xué)

f'(\

模型7.對于今Mx〉0,分類討論：(1)若/(x)〉0,則構(gòu)造〃(x)=ln/(x);

/(x)

(2)若/(x)<0,則構(gòu)造〃(x)=ln[—/(x)]

模型8.對于f'(x)+In模(x)>0(<0),構(gòu)造h(x)=axf(x).

模型9.對于/'(x)lnx+區(qū)D〉0(<0),構(gòu)造〃(x)=/(x)lnx.

模型10.(1)對于/'(x)〉/(x)tanx(^/-,(x)</(x)tanx),即

f\x)cosx-/(x)sinx>0(<0),

構(gòu)造/z(x)=f(x)cosx.

(2)f'(x)cosx+f(x)sinx>0(<0),構(gòu)造〃(x)=/也.

cosx

模型11.(1)f\x)sinX+/(x)cosx=[f(x)sinx\(2)

f'(x)sinx-f(x)cosx_r/(x)r

sin2xsinx

名校模擬練

一、解答題

eT+x-l

1.(2024?浙江?三模)

e'

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若曲線>=〃x)在點(diǎn)(0,0)處的切線與二次曲線>="2+(2。+5.-2只有一個(gè)公共

點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

2.(2024?河北張家口?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx+5x-4.

⑴求曲線J=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

3

(2)證明：/?>---2.

5x

2

3.(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)〃x)=lirr-ax,g(x)=/,aw0.

(1)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若〃x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

4.(2024?山西呂梁?三模)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+alnx,(aeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若對任意的士,%?0,+向戶戶工2,使)＞。恒成立,則實(shí)數(shù)。的取值范

玉~X2

圍.

5.(2024?廣西欽州?三模)已知函數(shù)/(x)=asinx+xcosjf.

(1)若。=o,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程;

(2)若。＞-1,證明:/卜)在(-兀，兀)上有3個(gè)零點(diǎn).

29

6.(2024?天津河西?三模)已知函數(shù)/(x)=-2alnx--,g(x)=ax-(2a+l)lnx―-,其

xx

中Q￡R.

⑴若/'(2)=0,求實(shí)數(shù)。的值

⑵當(dāng)。＞0時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若存在xe%，使得不等式〃x)Vg(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7.(2024?河北?三模)已知函數(shù)/(x)=cosx+2x.

(1)當(dāng)xe(-oo,0)時(shí),證明:/(x)＜e\

(2)若函數(shù)g(x)=ln(x+l)+e―/(x),試問:函數(shù)g(x)是否存在極小值？若存在，求出

極小值；若不存在，請說明理由.

8.(2024?四川南充?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=l二一ainx,aeR.

X

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。＞0時(shí),函數(shù)/㈤與函數(shù)g(x)=a(l-ef-x+1有相同的最大值,求。的值.

9.(2024廣東汕頭三模)已知函數(shù)"x)=xe-辦2),

(1)若曲線〉=/(》)在％=-1處的切線與了軸垂直，求y=的極值.

(2)若/(X)在(0,+co)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

10.(2024?北京?三模)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)+Mx+l).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

⑶求證：名皿＜3.("N且心2)

,=2，+14

11.(2024?四川自貢?三模)已知函數(shù)/(x)=l+'+alnx(〃＞0)

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)X],函數(shù)g(x)=x-sinx-：?在R上的零點(diǎn)為入2.證明:

e

再＜馬.

12.(2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(x)=g/一sinx+ax.

(1)當(dāng)a=l時(shí),求f(x)的最小值;

(2)①求證：有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)。?-1-兀,1］時(shí)，設(shè)〃x)的極值點(diǎn)為七,若8(苫)=-1/+2$加-2》.求證：

/(x0)＞g(x0)

2

13.(2024?黑龍江雙鴨山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnx+——〃a+l)(a￡R).

x

(1)當(dāng)Q=-1時(shí)，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若王,々(玉＜匕)是/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

14.(2024?北京?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=ln(l+x)+cosx+a(x3+x2)-x,xe(-1,^).

(1)當(dāng)a=0時(shí)；

(i)求曲線＞=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(ii)求/(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵當(dāng)a＞0時(shí)，直接寫出。的一個(gè)值，使得x=0不是/(x)的極值點(diǎn)，并證明.

15.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ax-lnx-a,若/⑴的最小值為0,

⑴求。的值；

⑵若g(x)=MXx),證明:g(x)存在唯一的極大值點(diǎn)％,且g(Xo)＜；.

16.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)"x)=lnx-,

(1)當(dāng)。=一1時(shí),求/(X)的極值;

(2)若“X)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

3n+\

(3)證明：e，〃>(〃+1)，￡N*).

cinV

17.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)=#-鞏龍e(0,兀).

e

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若X1<%,滿足/(%)=/(%)=。.

(i)求小的取值范圍；

(ii)證明：再+々<7i.

18.(2024?湖北荊州?三模)已知函數(shù)〃x)=xe*-“(lnx+x),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線的斜截式方程；

⑵當(dāng)a=e時(shí)，求出函數(shù)的所有零點(diǎn)；

(3)證明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

19.(2024?北京順義?三模)已知函數(shù)〃x)=xln(2x+l)-加.

⑴求曲線y=在點(diǎn)(0,〃0))處的切線方程；

⑵當(dāng)"0時(shí)，求證：函數(shù)/(x)存在極小值；

(3)求函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

20.(2024?廣東茂名?一■模)設(shè)函數(shù)〃%)=/+公2，xe[0,+co).

⑴當(dāng).=-1時(shí)，+l在[0,+“)上恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

(2)若。>0J(x)在[0,+功上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.(2024?青海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)(aeR).

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)的最值;

(2)當(dāng)。目一1』時(shí)，證明：對任意的占，x2e[-2,2],都有|/(再)一〃X2)|We2T.

22.(2024?新疆?三模)已知函數(shù)

⑴討論〃x)的單調(diào)性;

⑵若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

23.(2024?北京?三模)已知/(x)=(2x-l)e*-x在》=0處的切線方程為x+y+6=0.

⑴求實(shí)數(shù)的值；

(2)證明：〃x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)%,且/(%)<-“

⑶若g(x)=(丘T)/-x,是否存在上使得g(x"T恒成立，存在請求出左的取值范

圍，不存在請說明理由

參考答案與詳細(xì)解析

考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考I卷，

22(1)

2024?新高考I卷,

18(1)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值

2024?新高考I卷，

18(3)

2022?新高考n卷，

22(2)

1.高考中，導(dǎo)數(shù)是必考內(nèi)容。

2022?新高考I卷，

難度、廣度和深度較大。常規(guī)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)

22(2)

基礎(chǔ)考查求導(dǎo)公式與幾何意

2023?新高考I卷，

義；中等難度考查求單調(diào)區(qū)

19(1)

間、極值、最值等；壓軸題考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性

2022?新高考n卷，

查零點(diǎn)、不等式證明、恒成立

22(1)

或者存在問題、分類討論求參

2023?新高考I卷，

數(shù)等，和數(shù)列、不等式、函數(shù)

19(2)

等知識(shí)結(jié)合。

2022?新高考n卷,

導(dǎo)數(shù)與不等式證明

22⑶

2023?新高考n卷，

22(1)

2023?新高考n卷,

22(2)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值

2024?新高考n卷,

16(2)

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考I卷考查了導(dǎo)數(shù)中函數(shù)最值、函數(shù)的對稱性、恒成立問題的綜

合運(yùn)用，難度較難。n卷考查了曲線的切線和函數(shù)的極值求參數(shù)，常規(guī)考查，難度適

中。導(dǎo)數(shù)的高頻考點(diǎn)有：含參函數(shù)的參數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的影響；用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)

性、極值或最值；求曲線切線的方程；函數(shù)的零點(diǎn)討論；函數(shù)的圖像與函數(shù)的奇偶性

結(jié)合考查等。導(dǎo)數(shù)中頻考點(diǎn)有：用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；利用函數(shù)證明不等式或求

不等式的解；求參數(shù)的取值范圍等。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及恒成

立、求參問題。

三：試題精講

一、解答題

1.(2024新高考I卷?18)已知函數(shù)〃x)=ln」」+辦+/工-1)3

2-x

(1)若6=0,且匿x)N0,求。的最小值;

(2)證明：曲線>=/(幻是中心對稱圖形；

(3)若/(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,求6的取值范圍.

【答案】⑴-2

⑵證明見解析

2

(3)62一§

【分析】(1)求出/■'(x)a=2+“后根據(jù)八X”0可求。的最小值；

(2)設(shè)尸(加,〃)為了=/(x)圖象上任意一點(diǎn)，可證尸(私成關(guān)于(1,。)的對稱點(diǎn)為

0(2-刃,2a-〃)也在函數(shù)的圖像上，從而可證對稱性；

(3)根據(jù)題設(shè)可判斷了⑴=-2即0=一2,再根據(jù)〃x)>-2在(1,2)上恒成立可求得

【詳解】(1)6=0時(shí)，/(x)=ln-^+ox,其中xe(O,2),

2—x

112

則，'(x)\+—=k^+a，xe(O,2),

因?yàn)閤(2-x)《上產(chǎn)：=1,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)等號(hào)成立，

故r(x)1nm=2+4,而/'(x"0成立，故a+220即北-2,

所以。的最小值為-2.,

(2)〃x)=ln——+a無+/x-l)3的定義域?yàn)槲?2),

設(shè)尸(加為>="X)圖象上任意一點(diǎn)，

尸("")關(guān)于(1,。)的對稱點(diǎn)為。(2-加

因?yàn)槭?加,小在y=/(x)圖象上，故〃=lnj--+am+b^m-1^,

2-m

JfJ/(2-m)=In-~~—+tz(2-m)+6(2-m-l)3=-In———+2a,

m[_2—m_

=-n+2a9

所以0(2-加,2a-〃)也在y=/(x)圖象上，

由P的任意性可得y=〃x)圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為(1,。).

(3)因?yàn)?(*)>-2當(dāng)且僅當(dāng)1<》<2,故x=l為〃x)=-2的一個(gè)解，

所以/(1)=-2即。=一2,

先考慮l<x<2時(shí)，〃x)>-2恒成立.

此時(shí)即為In白+2(l-x)+6(x-l)3>0在(1,2)上恒成立，

設(shè)/=x-l?0,l),則In巖-2/+次>o在(01)上恒成立,

設(shè)g⑺=lnp~+,

??t2(-3bt2+2+3b)

貝n!Ig，⑺=二_2+3bti=」------——』，

'71-t21-t2

當(dāng)620,-3療+2+3Z?N-3b+2+36=2>0,

故g'?)>0恒成立,故g⑴在(0』)上為增函數(shù),

故g0>g(O)=O即〃x)>-2在(1,2)上恒成立.

2

當(dāng)-時(shí)，-3bt2+2+3b>2+3b>0,

故g?N0恒成立,故g⑴在(0,1)上為增函數(shù),

故g(f)>g(O)=O即/(力>-2在(1,2)上恒成立.

當(dāng)貝！)當(dāng)0</<^17^<1時(shí)，g，(0<0

故在卜行京］上g(。為減函數(shù)，故g(O<g(o)=o,不合題意，舍;

7

綜上，〃尤)>-2在(1,2)上恒成立時(shí)心-；.

2

而當(dāng)時(shí)，

而時(shí)，由上述過程可得g?)在(0,1)遞增，故g⑺>。的解為(0,1),

即/(尤)>-2的解為(1,2).

2

綜上，6"一

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一個(gè)函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對應(yīng)的解，

而解的端點(diǎn)為函數(shù)對一個(gè)方程的根或定義域的端點(diǎn)，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定

參數(shù)范圍時(shí)，可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等

式的解的情況.

2.(2024新高考n卷?16)已知函數(shù)/(x)=e，-?-/.

⑴當(dāng)。=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J(l))處的切線方程；

(2)若/(X)有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【答案】⑴(e-l)x-y-1=0

⑵(1，+°°)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析。<0和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析

可得/+lna-l>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知/(x)=e=a有零

點(diǎn)，可得a>0,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求“X)的單調(diào)性和極值，分析可得d!2+lntz—1>0,構(gòu)建

函數(shù)解不等式即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，則〃x)=ex-x-l,/,(x)=ev-l,

可得〃l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為y-(e-2)=(e-l)(x-l),gp(e-l)x-j；-l=0.

(2)解法一：因?yàn)?⑴的定義域?yàn)镽,且/'(x)=e=a,

若aW0,則1(x)N0對任意xeR恒成立，

可知/⑴在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-8,In<7)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則/(x)有極小值/(Ina)=a-aIna-a，,無極大值，

由題意可得：/(Ina)-a-alna-a3<0,gpa2+lna-l>0,

構(gòu)建g(q)=/+lnq-l,q>0,貝!)g，(a)=2a+工>0,

可知g(a)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式/+出”1>0等價(jià)于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(1,+8)；

解法二：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且1(x)=e，-a,

若/(x)有極小值，則/'(xhex-a有零點(diǎn)，

令/1<x)=e*-a=0,可得e*=a,

可知…與y=”有交點(diǎn)，則。>0,

若。>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-叫Ina)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+功內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(刈有極小值/。110)="01110-/,無極大值，符合題意，

2

由題意可得：/(lna)=a-alna-/<0,gpa+lna-l>0,

構(gòu)建g(q)="+lnq_l,q>0,

因?yàn)閯tV=a2,y=Ina-1在(0,+℃)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g(a)在(0,+s)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式J+ina-l〉。等價(jià)于g(〃)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(1,+s).

高考真題練

一、解答題

1.(2022新高考I卷-22)已知函數(shù)=和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)證明：存在直線V=6,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且

從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】⑴。=1

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等

可求a.注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)6>1時(shí)，e-x=6的解的個(gè)數(shù)、x-lnx=6的解的個(gè)數(shù)均為2,

構(gòu)建新函數(shù)/心)=e"+Inx-2x,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得/(x),g(x)的

大小關(guān)系，根據(jù)存在直線歹=6與曲線7=/(X)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得6的取

值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.

【詳解】(1)/⑺=二-?的定義域?yàn)槌?，而八x)=e*-a,

若aVO,則/'(x)>0,此時(shí)/(x)無最小值，故。>0.

8。)="-111%的定義域?yàn)?0,+8),而g(x)="L=竺」.

XX

當(dāng)x<lna時(shí)，f\x)<0,故/G)在(-8,Ina)上為減函數(shù),

當(dāng)x>lna時(shí),f\x)>0,故f(分在(Ina,+e)上為增函數(shù),

r^/Wmin=f(lnfl)=a-alna.

當(dāng)0<x/時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在(()/］上為減函數(shù)，

a<a)

當(dāng)x>!時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在(—,+00］上為增函數(shù)，

a\aJ

故g(x)而n=gt］=1TnL

因?yàn)?(x)=e*-辦和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，

1/J—1

故1—In—=a—alna整理得至！j----=lna,其中。>0,

a91+a

設(shè)g(a)=FLlna,a>0,則g，(a)=(、2=3―

1+6Z(1+a)aa(l+a)

故g(a)為(0,+s)上的減函數(shù)，而g⑴=。，

故g(a)=0的唯一解為。=1,故j^Tna的解為a=l.

綜上，。=1.

(2)［方法一］:

由(1)可得/(x)=e*-X和g(x)=x-lnx的最小值為1-lnl=l-ln；=l.

當(dāng)b〉l時(shí)，考慮e-x=6的解的個(gè)數(shù)、x-lnx=b的解的個(gè)數(shù).

xrx

設(shè)S(x)=e-x-b9S(x)=e-19

當(dāng)xvO時(shí)，5r(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，>0,

故S（x）在（-8,0）上為減函數(shù)，在（0,+8）上為增函數(shù)，

所以S（x）mM=S（0）=lj<0，

而S（-6）=e">0,S0）=e1-26,

設(shè)〃（6）=e"-2b,其中6>1,則/（6）=e&-2>0,

故"（6）在（,+8）上為增函數(shù),故"伍）>w（l）=e-2>0,

故S伍）>0,故S（x）=e-x-6有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e，-x=6的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)T（x）=x-lnx-b,=---,

當(dāng)0<x<l時(shí)，T'^x）<0,當(dāng)x>l時(shí)，T[x）>0,

故T（x）在（0,1）上為減函數(shù)，在（1,+”）上為增函數(shù)，

所以7（工g=7（1）=1一6<°，

而？（『）=『>0,T（eb）=eb-2b>0,

7（x）=工-111》-6有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即工-111%=6的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)6=1,由（1）討論可得x-lnx=6、僅有一個(gè)解，

當(dāng)6<1時(shí)，由（1）討論可得x-lnx=6、e"-x=6均無根，

故若存在直線>=6與曲線>=/（x）、>=g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則6>1.

設(shè)〃（x）=e*+lnx-2x,其中x>0,故、（x）=e*+,-2,

設(shè)s(x)=eX-x-l,x>0,貝！Js<x)=e*T>0,

故S(x)在(o,+e)上為增函數(shù)，故s(x)>s(o)=o即e，>x+l,

所以/x)>x+』-122-l>0,所以雙x)在(0,+”)上為增函數(shù)，

？

而以l)=e-2>0,/；(.1)=e-3-4-<e-3-4<0?

故力⑺。(0,+動(dòng)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)%,5</<1且：

當(dāng)O<x<Xo時(shí)，〃(x)<0即e*-x<x-lnx即/(x)<g(x),

當(dāng)時(shí)，〃(x)>0即e*_x>x-lnx即/(x)>g(x),

因此若存在直線了=6與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

故6=/(Xo)=g(x0)>l,

此時(shí)e,-x=6有兩個(gè)不同的根國廣0(再<0<x(,),

此時(shí)x-lnx=6有兩個(gè)不同的根Xo，X4(O<x°<l<X4),

x

故11一西=6,e°-x0=b,x4-]nx4-b=0,xo-lnxo-/?=O

所以X4-b=lnx4gpX4即e…一(七一9一6=0,

故招-6為方程e*-x=b的解，同理/-6也為方程e*-x=6的解

又e4-X]=6可化為e*，=%+6即占一111(%+6)=0即(再+6)-111(網(wǎng)+b)-b=0,

故國+6為方程x-lnx=6的解，同理x°+6也為方程x—lnx=6的解，

所以{占,/}="0-6,匕-6},而b>l,

故"一:即―?

［方法二］:

由⑴知，f(x)=ex-X,g(x)=x-lnx,

且/(x)在(-*0)上單調(diào)遞減，在(0,+?0上單調(diào)遞增；

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+℃)上單調(diào)遞增，且=g(x)血”=L

①6<1時(shí)，此時(shí)/(X)血n=g(X)m?,=l>b,顯然>=6與兩條曲線.V=/(》)和〉=g(工)

共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

②6=1時(shí)，此時(shí)/。濡=g(X)mM=1=6,

故y=6與兩條曲線V=〃x)和y=g(x)共有2個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；

③6>1時(shí)，首先，證明>=6與曲線了=/(無)有2個(gè)交點(diǎn)，

即證明產(chǎn)(x)=/(X)-6有2個(gè)零點(diǎn)，F(xiàn)'(x)=f'(x)=ex-1,

所以尸(x)在(Y>,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)槭?-6)=/>0,F(0)=l-Z><0,F(b)=eb-2b>0,

(令f(b)=e"-2b,貝“S)=e，-2>0,t(b)>t(T)=e-2>0)

所以歹(x)=〃x)-6在(-*0)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為多，在(0,+8)上存在且只

存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為X2.

其次，證明)=6與曲線和y=g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，

即證明G(X)=g(x)-有2個(gè)零點(diǎn)，G'(x)=g'(x)=1--,

X

所以G(x)(0,l)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镚("")=e-“>0,G(l)=l—6<0,G(2b)=b-ln2b>0,

(令〃(b)=b-ln2b,則〃@=l」>0,/J(b)>//(I)=1-In2>0)

所以G(x)=g(x)-b在(0,1)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為馬,在(1,+=°)上存在且只存在

1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為乙.

再次，證明存在b,使得％=三：

因?yàn)槭?工2)=6(三)=。,所以6=*-x2=x3-lnx3,

若4=X3，貝！11一/—In%，即*_2X2+Inx2=0,

所以只需證明ex—2x+\nx=o在(0,1)上有解即可，

即(p(x)="-2%+Inx在(0,1)上有零點(diǎn)，

1_L9

因?yàn)橄?\)=e/---3<0,°(l)=e-2>0,

eer

所以0(x)=e，-2x+lnx在(0,1)上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為％,令x?=%=%即可，

此時(shí)取6=淖-%

則此時(shí)存在直線>=6,其與兩條曲線了=/(x)和kg(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),

最后證明再+X4=2x0,即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，

因?yàn)槭?占)=F(X2)=F(x0)=0=G(X3)=G(x。)=G(X4)

所以尸(Xi)=G(x。)=尸(In%),

又因?yàn)槭?x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，X1<0,0</<1即In/cO,所以xi=lnx0,

同理，因?yàn)槭?%)=G(e'0)=G(x4),

又因?yàn)镚(x)在(1,+功上單調(diào)遞增，％>0即1>1,%>1,所以x產(chǎn)建,

又因?yàn)樯?2%+Inx0=0,所以玉+%=e"+lnx0=2x0,

即直線y=6與兩條曲線昨/(x)和kg(x)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注

意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間

的關(guān)系.

2.(2023新高考I卷-19)已知函數(shù)f(x)=a(e，+a)-x.

⑴討論的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)”>0時(shí)，/(x)>21na+-.

【答案】⑴答案見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論。40與。>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)

系即可得解；

(2)方法一：結(jié)合(D中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函

數(shù)g(a)=a2_；_lna(a>0),利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)>0即可.

方法二：構(gòu)造函數(shù)Mx)=e*-x-l,證得e*2x+l,從而得到了(尤)2尤+lna+l+/-x,

進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為/>0的恒成立問題，由此得證.

【詳解】⑴因?yàn)椤▁)=a(e'+a)-x,定義域?yàn)镽,所以廣(x)=*-1,

當(dāng)aWO時(shí)，由于e，>0,貝|“e，40,故/'⑺=ae'T<0恒成立，

所以〃x)在R上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=ae*-l=O,解得x=-lna,

當(dāng)x<-lna時(shí),r(x)<0,則f(x)在(-8,-Ina)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>-Ina時(shí),/?(%)>0,則/(x)在(-Ina,+s)上單調(diào)遞增;

綜上：當(dāng)aWO時(shí)，“X)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，“X)在(-叫-Ina)上單調(diào)遞減，“可在㈠僦件⑹上單調(diào)遞增.

(2)方法一:

由(1)得，/口%正u/X-lnabMe-111"+a)+lna=1+/+lna,

331

/(x)>2In(2+—,艮［J證1+/+inq>2111。+,,艮fl證。之一,一Ina>0,恒成立,

令g(a)=/_；_lnQ(a>0),貝！|g(a)=2a——=——-,

2aa

令g'(a)<0,則0<a<#；令g'⑷>0,則a>白；

所以g(a)在0,苗上單調(diào)遞減，在］,+8上單調(diào)遞增，

萬丫r-

所以g(a)min=g,用

學(xué)"I"1112=ln^>()，貝Ug(a)>°恒成立,

3

所以當(dāng)a>0時(shí)，〃x)>21na+5恒成立，證畢.

方法二:

令〃(丁)=1—x—1,貝?。?

由于y=e，在R上單調(diào)遞增，所以"(無)=e-1在R上單調(diào)遞增,

又〃(0)=6。-1=0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，A,(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，/z,(x)>0；

所以〃(x)在0)上單調(diào)遞減，在(0,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

故Mx"40)=0,則e—x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)?(x)=a(e*+°)-x=ae*+/-x=產(chǎn)111"+a2-x>x+Inq+l+q2—x,

當(dāng)且僅當(dāng)x+lna=0,即x=-Ina時(shí)，等號(hào)成立，

331

所以要證/(%)>21na+,,即證x+lnq+l+q2>21114+5,即證"一,一lna>0,

令g(q)=Q2_7_lnq(q〉0),貝(Jg，(q)=2Q_,=———-，

2aa

令g'(a)<0,貝!)0<a(等；令g'(a)>。，貝！la>等；

所以g(a)在0,手上單調(diào)遞減，在拳,+8上單調(diào)遞增，

所以g(a)mm=gV=V-，ln與=ln亞>0,則8伍)>0恒成立，

I27<2J22

所以當(dāng)a>0時(shí)，〃x)>21na+1恒成立，證畢.

3.(2022新高考n卷22)已知函數(shù)/(x)=xe"，e".

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)x>0時(shí)，求a的取值范圍；

,11?,,,、

(3)設(shè)〃eN*,證明：I2+/2+…+/,>+D.

VI+112?+2

【答案】⑴"X)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(0,+8).

(2)?！?/p>

⑶見解析

【分析】(1)求出了'(x),討論其符號(hào)后可得〃X)的單調(diào)性.

(2)設(shè)〃(x)=xe"-e、+l,求出/(x),先討論a時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就

0<?<|結(jié)合放縮法討論"(X)符號(hào)，最后就a<0結(jié)合放縮法討論”x)的范圍后可得參

數(shù)的取值范圍.

/j1對任

(3)由(2)可得如對任意的"1恒成立,從而可得ln("+l)Tn〃<

7n+n

意的〃eN*恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.

【詳解】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=(x-l)e\則〃x)=xex,

當(dāng)尤<0時(shí)，r(x)<0,當(dāng)x>。時(shí)，/心)>0,

故〃x)的減區(qū)間為(-8,0),增區(qū)間為(。，+功.