高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)三十四　直線與平面垂直(1)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)三十四直線與平面垂直(1)含答案三十四直線與平面垂直(1)(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(多選)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況,能保證該直線與平面垂直的是()A.三角形的兩邊 B.梯形的兩邊C.圓的兩條直徑 D.正六邊形的兩條邊【解析】選AC.由線面垂直的判定定理知,直線垂直于A,C圖形所在的平面,對(duì)于B,D圖形中的兩邊不一定是相交直線,所以該直線與它們所在的平面不一定垂直.2.(5分)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.如圖所示,連接B1D1,則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1=BB1B1D1=13=333.(5分)如圖,α∩β=l,點(diǎn)A,C∈α,點(diǎn)B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,直線l與平面ABC的關(guān)系是()A.在平面內(nèi) B.平行C.垂直 D.不確定【解析】選C.因?yàn)锽A⊥α,α∩β=l,l?α,所以BA⊥l,同理BC⊥l,又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.4.(5分)(2023·信陽(yáng)高一檢測(cè))已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2,則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.3913 B.13013 C.22 【解析】選A.取A1C1的中點(diǎn)D,連接AD,B1D,如圖,由正三棱柱的性質(zhì)得B1D⊥平面ACC1A1,所以∠DAB1為直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角,在Rt△DAB1中,sin∠DAB1=B1DAB1=313=3913.所以AB1與側(cè)面5.(5分)(多選)下列說(shuō)法中正確的是()A.若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥αB.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直C.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直D.過(guò)直線外一點(diǎn)只可作一條直線與已知直線垂直【解析】選BC.由直線與平面垂直的定義與判定定理知,A不正確,B,C正確;過(guò)直線外一點(diǎn)作平面與直線垂直,則平面內(nèi)的所有直線都與該直線垂直,故D不正確.6.(5分)在三棱錐S-ABC中,SA=SB=SC,則點(diǎn)S在平面ABC上的射影一定在()A.BC邊的中線上B.BC邊的高線上C.BC邊的垂直平分線上D.∠BAC的平分線上【解析】選C.如圖,設(shè)點(diǎn)S在平面ABC上的射影為點(diǎn)O,連接OA,OB,OC,則SO⊥平面ABC.因?yàn)镾A=SB=SC,所以O(shè)A=OB=OC,所以O(shè)為△ABC的外心,所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影一定在BC邊的垂直平分線上.7.(5分)將一本書(shū)打開(kāi)后豎立在桌面上(如圖),則書(shū)脊所在直線AB與桌面的位置關(guān)系為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)桌面所在平面為平面α,由AB⊥BC,AB⊥BE,且BC?平面α,BE?平面α,且BC∩BE=B,可得AB⊥平面α.答案:垂直8.(5分)若正四棱錐(底面為正方形,頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心)的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1,則側(cè)棱與底面所成的角為_(kāi)_________.

【解析】如圖,正四棱錐的頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影為O,則O為正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD.連接OB,由題意可知OB=22,PB=1,∠PBO為側(cè)棱PB與平面ABCD所成的角因?yàn)樵赗t△POB中,cos∠PBO=OBPB=22,所以∠PBO答案:45°9.(5分)設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H,若∠ABC=90°,H是AC的中點(diǎn),則PA,PB,PC的關(guān)系是__________.

【解析】因?yàn)镠為AC中點(diǎn),∠ABC=90°,所以AH=BH=CH,又PH⊥平面ABC,由勾股定理知PA=PB=PC.答案:PA=PB=PC10.(10分)(2024·上海閔行高二期末)已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為正方形,邊長(zhǎng)為3,PD⊥平面ABCD.(1)求證:BC⊥平面CDP;(2)若DP=4,求直線PB與平面PCD所成角的正切值.【解析】(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以BC⊥DC;因?yàn)镻D⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC;又PD,CD?平面PCD,且PD∩CD=D,所以BC⊥平面CDP.(2)因?yàn)锽C⊥平面CDP,所以∠BPC即為直線PB與平面PCD所成的角.在Rt△PCB中:∠PCB=π2,BC=3,PC=PD2+所以tan∠BPC=BCPC=3【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(多選)如圖,在以下四個(gè)正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是()【解析】選BD.對(duì)于A,由AB與CE所成角為45°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對(duì)于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;對(duì)于C,由AB與CE所成角為60°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對(duì)于D,連接AC(圖略),由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.12.(5分)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等,則頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的()A.內(nèi)心 B.重心 C.外心 D.垂心【解析】選C.如圖,設(shè)點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O,連接OA,OB,OC.因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩相等,所以PA=PB=PC.因?yàn)镻O⊥底面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,所以O(shè)A=OB=OC,故頂點(diǎn)P在底面的射影為底面三角形的外心.13.(5分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件__________時(shí),有AB1⊥BC1(答案不唯一,填上你認(rèn)為正確的一種條件即可).

【解析】如圖所示,連接B1C,由BC=CC1,可得BC1⊥B1C,因此,要證AB1⊥BC1,則只要證明BC1⊥平面AB1C,即只要證AC⊥BC1即可,由直三棱柱可知,只要證AC⊥BC即可.因?yàn)锳1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要證A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件,如∠A1C1B1=90°等)答案:A1C1⊥B1C1(答案不唯一)14.(10分)如圖所示,AB是圓柱的母線,BD是圓柱底面圓的直徑,C是底面圓周上一點(diǎn),且AB=BC=2,∠CBD=45°.(1)求證:CD⊥平面ABC;(2)求直線BD與平面ACD所成角的大小.【解析】(1)因?yàn)锽D是底面圓的直徑,所以CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.因?yàn)锳B∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.(2)如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,由(1)知BE⊥CD,又E是AC的中點(diǎn),AB=BC=2,∠ABC=90°,所以BE⊥AC,所以BE⊥平面ACD,所以直線BD與平面ACD所成的角為∠BDE.而B(niǎo)E⊥平面ACD,則BE⊥ED,即△BED為直角三角形.又AB=BC=2,∠CBD=45°,則BD=22,BE=2,所以sin∠BDE=BEBD=12,所以∠BDE15.(10分)如圖,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求證:PC⊥平面AEF;(2)設(shè)平面AEF交PD于G,求證:AG⊥PD.【證明】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,所以AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC?平面PBC,所以AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,所以AE⊥PC.又因?yàn)镻C⊥AF,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF,所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG,同理CD⊥平面PAD,AG?平面PAD,所以CD⊥AG,PC∩CD=C,PC,CD?平面PCD,所以AG⊥平面PCD,PD?平面PCD,所以AG⊥PD.三十五直線與平面垂直(2)(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1B1C1D1,則()A.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B與l異面但不垂直D.B1B與l相交但不垂直【解析】選B.因?yàn)锽1B⊥平面A1B1C1D1,又因?yàn)閘⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.【補(bǔ)償訓(xùn)練】△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,若m與l不重合,則直線l,m的位置關(guān)系是()A.相交 B.異面C.平行 D.不確定【解析】選C.因?yàn)閘⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC,同理m⊥平面ABC,所以l∥m.2.(5分)直線l垂直于平面α,m?α,則有()A.l∥m B.l和m異面C.l和m相交 D.l和m不平行【解析】選D.因?yàn)閘⊥α,m?α,所以l⊥m,則l和m可能相交,也可能異面,即l和m不平行.3.(5分)地面上有兩根相距a米的旗桿,它們的高分別是b米和c米(b>c),則它們上端的距離為()A.a2+b2 C.a2+b2-c【解析】選D.如圖,由線面垂直的性質(zhì)定理可知AB∥CD,作AE⊥CD于E,則DE=b-c,故AD=a24.(5分)(多選)如圖,PA⊥矩形ABCD,下列結(jié)論中正確的是()A.PD⊥BD B.PD⊥CDC.PB⊥BC D.PA⊥BD【解析】選BCD.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA⊥CD,PA⊥BC,又AD⊥CD,BC⊥AB,所以CD⊥平面PAD,BC⊥平面PAB,所以PD⊥CD,PB⊥BC,選項(xiàng)BCD正確;若PD⊥BD,PA∩PD=P,所以BD⊥平面PAD.又AB⊥平面PAD,所以BD∥AB,不成立.5.(5分)已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=12,AB=5,則B1C1到平面A1BCD1的距離為()A.5013 B.5513 C.6013 【解析】選C.如圖,因?yàn)锽1C1∥BC,且B1C1?平面A1BCD1,BC?平面A1BCD1,所以B1C1∥平面A1BCD1.所以點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離即為所求.過(guò)點(diǎn)B1作B1E⊥A1B于點(diǎn)E.由題意知BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.因?yàn)锽C∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,所以線段B1E的長(zhǎng)即為所求.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B所以點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離為60136.(5分)(多選)矩形ABCD沿BD將△BCD折起,使C點(diǎn)在平面ABD上的投影在AB上,折起后下列關(guān)系正確的是()A.△ABC是直角三角形B.△ACD是直角三角形C.AD∥BCD.AD⊥BC【解析】選ABD.折起后將C點(diǎn)記為P點(diǎn),設(shè)P在AB上的投影為O,由PO⊥底面ABD,可得PO⊥AD,又由AB⊥AD,可得AD⊥平面PAB,進(jìn)而AD⊥PB,又由PD⊥PB,故PB⊥平面PAD,故PB⊥PA,即折起后△ABC是直角三角形,故A正確;由A中,AD⊥平面PAB,可得AD⊥PA,即折起后△ACD是直角三角形,故B正確;折起后AD與BC異面,故C錯(cuò)誤;由A中,AD⊥平面PAB,可得AD⊥PB,即AD⊥BC,故D正確.7.(5分)已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如圖所示,且AF=DE,AD=6,則EF=__________.

【解析】因?yàn)锳F⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又AF=DE,所以四邊形AFED是平行四邊形,所以EF=AD=6.答案:68.(5分)線段AB在平面α的同側(cè),點(diǎn)A,B到α的距離分別為3和5,則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)_________.

【解析】如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為M,分別過(guò)A,M,B向α作垂線,垂足分別為A1,M1,B1,則由線面垂直的性質(zhì)可知,AA1∥MM1∥BB1,四邊形AA1B1B為直角梯形,AA1=3,BB1=5,MM1為其中位線,所以MM1=4.答案:49.(5分)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)都是2,側(cè)棱兩兩垂直,則頂點(diǎn)到底面的距離是________.

【解析】設(shè)頂點(diǎn)到底面的距離為h,由題意知,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則13×34×22·h=13×12×2×所以h=63答案:610.(10分)如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB.求證:a∥l.【證明】因?yàn)镋A⊥α,α∩β=l,即l?α,所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.因?yàn)镋B⊥β,a?β,所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,所以a⊥平面EAB.由線面垂直的性質(zhì)定理,得a∥l.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E是A1D上的點(diǎn),F是AC上的點(diǎn),且EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1.【證明】如圖所示,連接AB1,B1C,BD,B1D1,因?yàn)镈D1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因?yàn)镋F⊥A1D,又A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又EF⊥AC,AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·黃山高一檢測(cè))如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BDC,∠BDC=90°,AB=8,BD=6,則點(diǎn)B到平面ACD的距離為()A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.6【解析】選C.因?yàn)锳B⊥平面BDC,所以AB⊥BD,AB⊥CD,又因?yàn)椤螧DC=90°,則CD⊥BD,AB∩BD=B,AB?平面ABD,BD?平面ABD,所以CD⊥平面ABD,AD?平面ABD,所以CD⊥AD,因?yàn)锳B=8,BD=6,所以AD=10,所以S△BDC=12×6×CD=3CD,所以S△ACD=12×10×CD=5CD,設(shè)B到平面ACD的距離為h,因?yàn)閂A-BCD=VB-所以13×3CD×8=13×5CD×h,解得h=4.12.(5分)(多選)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥底面ABC,AB⊥BC,E,F分別是棱PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)AE⊥PB時(shí),△AEF一定為直角三角形B.當(dāng)AF⊥PC時(shí),△AEF一定為直角三角形C.當(dāng)EF∥平面ABC時(shí),△AEF一定為直角三角形D.當(dāng)PC⊥平面AEF時(shí),△AEF一定為直角三角形【解析】選ACD.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA,AB?平面PAB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥AE.在A選項(xiàng)中,因?yàn)锳E⊥PB,PB,BC?平面PBC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,所以△AEF一定為直角三角形,故A正確.在C選項(xiàng)中,因?yàn)镋F∥平面ABC,EF?平面PBC,平面PBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC,所以EF⊥AE,所以△AEF一定為直角三角形,故C正確.在D選項(xiàng)中,因?yàn)镻C⊥平面AEF,所以PC⊥AE.因?yàn)锳E⊥BC,PC,BC?平面PBC,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,所以AE⊥EF,所以△AEF一定為直角三角形,故D正確.B選項(xiàng)中,結(jié)論無(wú)法判斷,故B不正確.13.(5分)已知直線l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A?α,B?α,且OA=AB.若AC⊥平面α,垂足為C,BD⊥平面α,垂足為D,AC=1,則BD=__________.

【解析】因?yàn)锳C⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.所以AC,BD共面.由題意知點(diǎn)O,C,D在平面ABDC與平面α的交線上.連接OD,所以O(shè)AOB=ACBD,因?yàn)镺A=AB,所以O(shè)AOB=12,因?yàn)锳C答案:214.(10分)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1.(1)證明:直線BC1∥平面D1AC;(2)求直線BC1到平面D1AC的距離.【解析】(1)因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體,故AB∥C1D1,AB=C1D1,故四邊形ABC1D1為平行四邊形,故BC1∥AD1,所以直線BC1∥平面D1AC.(2)直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離,設(shè)為h,考慮三棱錐D1-ABC的體積,以平面ABC為底面,可得V=13×12×1×2×1=而△AD1C中,AC=D1C=5,AD1=2,cos∠ACD1=45,sin∠ACD1=3故S△AD1C=12×5×所以,V=13×32×h=13,故h即直線BC1到平面D1AC的距離為23【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知四棱錐P-ABCD,PA⊥PB,PA=PB=2,AD⊥平面PAB,BC∥AD,BC=3AD,直線CD與平面PAB所成角的大小為π4,M是線段AB的中點(diǎn)(1)求證:CD⊥平面PDM;(2)求點(diǎn)M到平面PCD的距離.【解析】(1)因?yàn)锳D⊥平面PAB,PM?平面PAB,所以AD⊥PM.因?yàn)镻A=PB=2,M是線段AB的中點(diǎn),所以PM⊥AB,又AD∩AB=A,AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PM⊥平面ABCD,又CD?平面ABCD,所以PM⊥CD.取CB上點(diǎn)E,使得CE=13CB,連接AE所以AD∥CE且AD=CE,所以四邊形AECD為平行四邊形,所以CD∥AE,所以直線CD與平面PAB所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小,又AD⊥平面PAB,BC∥AD,所以BC⊥平面PAB,所以∠EAB為直線AE與平面PAB所成的角,所以∠EAB=π4,所以BE=因?yàn)镻A=PB=2,PA⊥PB,所以AB=2=BE,所以AD=1,BC=3,CD=22,所以DM=2,CM=10,所以DM2+DC2=CM2,所以CD⊥DM.