高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)十三　余弦定理含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)十三余弦定理含答案十三余弦定理(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)在△ABC中,AB=1,AC=2,cosA=56,則BC=(A.1 B.52 C.53 D【解析】選D.由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=53,解得BC=152.(5分)(2024·成都高一檢測(cè))在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則sinC=()A.378 B.34 C.74【解析】選A.由a=4,b=5,c=6,得cosC=42+5所以sinC=1-cos2C=1-(3.(5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知b2+c2-a2=2bc,則角A為()A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選B.因?yàn)閎2+c2-a2=2bc,所以cosA=b2+c2-又A∈(0,π),所以A=π4【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,A=60°,且邊AB,AC的和為9,積為323,那么BC=(A.5 B.6 C.7 D.8【解析】選C.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,由題意有b+c=9,bc=323,則BC=a=b(b+c)4.(5分)(2024·大同高一檢測(cè))已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=7,B=5π6,c=3,則a=(A.2 B.3 C.2 D.1【解析】選D.在△ABC中,因?yàn)閎=7,B=5π6,c=3,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-2a×3cos5π6,可得a2+3a-4=0,解得a=1或a=-4(舍去5.(5分)(2024·重慶高一檢測(cè))在△ABC中,5a=7b=8c,則△ABC的最大角與最小角的和是A.60° B.90° C.120° D.135°【解析】選C.結(jié)合5a=7b=8c,不妨設(shè)a=5,b=7,c=8,根據(jù)大邊對(duì)大角可知:A<B<C,由余弦定理可得:cosB=a2+c2-b22ac=25+64-492×5×8=12,又因?yàn)?°<B<180°,所以B6.(5分)(多選)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則下列說(shuō)法正確的是()A.在△ABC中,若a2+b2-c2>0,則C是銳角B.在△ABC中,若a2<b2+c2,則A>B+CC.在△ABC中,若4sinAcosA=0,則△ABC一定是直角三角形D.任何三角形的三邊之比不可能是1∶2∶3【解析】選ACD.對(duì)于A,由a2+b2-c2>0及余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab>0,又C∈(0,π),所以C∈0,π2,對(duì)于B,由a2<b2+c2及余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc>0,又A∈(0,π),所以A∈0,π2,所以A是銳角,所以B+C>對(duì)于C,因?yàn)?sinAcosA=0,A∈(0,π),所以sinA≠0,所以cosA=0,則A=π2,所以△ABC一定是直角三角形,故C正確對(duì)于D,若三角形三邊之比是1∶2∶3,不妨設(shè)三邊分別為x,2x,3x(x>0),則兩短邊之和為3x,不滿足三角形兩邊之和大于第三邊,故任何三角形的三邊之比不可能是1∶2∶3,故D正確.7.(5分)若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為_(kāi)_________.

答案:4【解析】由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC=2abcos60°=ab,則ab+2ab=4,所以ab=438.(5分)(2024·開(kāi)封高一檢測(cè))記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosC=23,a=3b,則cosA=答案:-6【解析】因?yàn)閏osC=23,a=3b,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,所以c2=9b2+b2-2×3b×b×23,所以c=6b,所以cosA=c2+b9.(5分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且acosB+acosC=b+c,則△ABC的形狀是______________.

答案:直角三角形【解析】在△ABC中,acosB+acosC=b+c,所以a×a2+c2-b22ac所以(b+c)(a所以a2-b2-c2+2bc=2bc,所以a2=b2+c2,則A=π2所以△ABC為直角三角形.10.(10分)(2024·忻州高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,根據(jù)下列條件解三角形:(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;(2)已知a=31,b=5,c=6,求A.【解析】(1)在△ABC中,b=3,c=1,A=60°,由余弦定理可得,a=b2+c2-2(2)在△ABC中,a=31,b=5,c=6,由余弦定理可得,cosA=b2+c2-a22bc=25+36-312×5×6=【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知A,B,C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角,其所對(duì)的邊分別為a,b,c,且2cos2A2+cosA=0(1)求A的大小;(2)若a=23,b=2,求c的值.【解析】(1)因?yàn)閏osA=2cos2A2-1,2cos2A2+cosA=0,所以2cos所以cosA=-12所以A=120°.(2)由余弦定理,知a2=b2+c2-2bccosA,又a=23,b=2,cosA=-12所以(23)2=22+c2-2×2×c×-12,化簡(jiǎn),得c2+2c-8=0,解得c=2或c=-4(舍去).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=6,c=4,sinB2=33,則b=(A.9 B.36 C.2 D.6【解析】選D.因?yàn)閟inB2=33,所以cosB=1-2sin2B2=1-2×332=13.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=62+42-2×6×4×13=36,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)在△ABC中,滿足(a2+c2-b2)tanB=3ac的角B的值為()A.π6 B.π3 C.5π6 【解析】選BD.因?yàn)?a2+c2-b2)tanB=3ac,所以a2+c2-即cosB·tanB=sinB=32因?yàn)?<B<π,所以角B的值為π3或2π12.(5分)(多選)(2024·張家口高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則下列結(jié)論正確的是()A.若cos2B2=a+c2cB.若ab>c2,則0<C<πC.若·>0,則△ABC是銳角三角形D.若△ABC為銳角三角形,則sinA>cosB【解析】選BD.對(duì)于A項(xiàng),因?yàn)閏os2B2=1+cosB2=a+c2c由cosB=a2+c2-b化簡(jiǎn)得a2+b2=c2,故△ABC一定為直角三角形,故A錯(cuò)誤;由ab>c2,得cosC=a2+b2-c22ab>a2+因?yàn)镃∈(0,π),所以0<C<π3,故B正確對(duì)于C項(xiàng),因?yàn)椤?bccosA>0,所以cosA>0,所以A為銳角,但無(wú)法確定角B,C是否為銳角,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D項(xiàng),因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,所以0<A則0<π2-B<A<π又因?yàn)閥=sinx在0,π2內(nèi)單調(diào)遞增,所以sinπ2-B<sinA,即cosB<sinA,故D項(xiàng)正確.13.(5分)(2024·唐山高一檢測(cè))在△ABC中,AB=5,BC=7,AC=8,D是AB邊上一點(diǎn),CD⊥AB,則CD=________.

答案:43【解析】因?yàn)锳B=5,BC=7,AC=8,所以由余弦定理可得:cosA=AC2+AB2-因?yàn)?<A<π,所以A=π3,所以在Rt△ACD中,CD=8sinA=8sinπ3=414.(10分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc.(1)求A的大小;(2)若b+c=2a=23,試判斷△ABC的形狀.【解析】(1)因?yàn)?a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以a2=b2+c2-bc,而a2=b2+c2-2bccosA,所以2cosA=1,所以cosA=12因?yàn)锳∈(0,π),所以A=π3(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,且a=3,所以(3)2=b2+c2-2bc·12=b2+c2-bc.又因?yàn)閎+c=23,與①聯(lián)立,解得bc=3,聯(lián)立b+c=23,bc=3,所以△ABC為等邊三角形.15.(10分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-23x+2=0的兩個(gè)根,且2cos(A+B)=1.(1)求角C的度數(shù);(2)求AB的長(zhǎng)度.【解析】(1)cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-12又0°<C<180°,所以C=120°.(2)因?yàn)閍,b是方程x2-23x+2=0的兩個(gè)根,所以a所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=b2+a2-2abcos120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=(23)2-2=10.所以AB=10.十七數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·銅仁高一檢測(cè))復(fù)數(shù)z=-2i+i2,則復(fù)數(shù)z的虛部是()A.-2 B.2 C.-1 D.1【解析】選A.由題意可得:z=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以復(fù)數(shù)z的虛部是-2.2.(5分)設(shè)C={復(fù)數(shù)},A={實(shí)數(shù)},B={純虛數(shù)},全集U=C,則下面結(jié)論正確的是()A.A∪B=C B.UA=BC.A∩(UB)=? D.B∪(UB)=C【解析】選D.由復(fù)數(shù)的分類(lèi)可知D項(xiàng)正確.3.(5分)若復(fù)數(shù)(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是實(shí)數(shù),則a等于()A.-1 B.1 C.±1 D.不存在【解析】選C.由題設(shè)a2-1=0,故a=±1.4.(5分)(2024·石家莊高一檢測(cè))已知i為虛數(shù)單位,a,b∈R,集合A=z|z=a+(2a-1)A.{2i} B.{1+3i} C.{3+5i} D.{2+4i}【解析】選C.由題得a+(2a-1)i=b-2+bi,所以a=b-22a-1=5.(5分)下列結(jié)論正確的是()A.z=1+i2是虛數(shù)B.z=3+i為純虛數(shù)C.z=3+i的實(shí)部大于虛部D.z=1-2i的虛部為-2i【解析】選C.z=1+i2=1-1=0,A不正確;z=3+i不是純虛數(shù),B不正確;z=3+i的實(shí)部為3,虛部為1,所以實(shí)部大于虛部,C正確;z=1-2i的虛部為-2,D不正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】若復(fù)數(shù)z=cosθ-45+sinθ-35i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則tanθ-π4的值為()A.7 B.-1C.-7 D.-7或-1【解析】選C.因?yàn)閺?fù)數(shù)z=cosθ-45+sinθ-35i是純虛數(shù),所以cosθ-45=0,sinθ-35又cos2θ+sin2θ=1,所以cosθ=45,sinθ=-35,所以tanθ=-所以tanθ-π4=tanθ-11+tanθ6.(5分)(多選)對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),下列說(shuō)法正確的是()A.若a=0,則a+bi為純虛數(shù)B.若a+(b-1)i=3-2i,則a=3,b=-1C.若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù)D.若b≠0,則a+bi是虛數(shù)【解析】選BCD.對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a=b=0時(shí),a+bi=0顯然是實(shí)數(shù),因此本選項(xiàng)說(shuō)法不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,a+(b-1)i=3-2i?a=3b-對(duì)于選項(xiàng)C,b=0,a+bi=a∈R,因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確;D選項(xiàng)說(shuō)法正確.7.(5分)若a,b∈R,i是虛數(shù)單位,a+2024i=2-bi,則a2+bi等于__________.

【解析】因?yàn)閍+2024i=2-bi,所以a=2,-b=2024,即a=2,b=-2024,所以a2+bi=4-2024i.答案:4-2024i8.(5分)若z=(m2-1)+(m-1)i(m∈R)是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和是______________.

【解析】因?yàn)閦是純虛數(shù),所以m2解得m=-1,從而復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別是0和-2,其和是-2.答案:-29.(5分)(2024·廈門(mén)高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z=m-3+(m2-9)i(i為虛數(shù)單位),若z≥0,則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________.

【解析】復(fù)數(shù)z=m-3+(m2-9)i(i為虛數(shù)單位),z≥0,則m-3≥0m2答案:310.(10分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,當(dāng)a取何值時(shí),(1)z∈R;(2)z是純虛數(shù);(3)z是零.【解析】(1)若z∈R,則a2-7a+6=0,解得a=1或a=6.(2)若z是純虛數(shù),則a2+a-(3)若z是零,則a2+a-【補(bǔ)償訓(xùn)練】求實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí),復(fù)數(shù)z=m2-m-2+(m2-1)i分別是:(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).【解析】(1)當(dāng)m2-1=0,即m=1或m=-1時(shí),復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù);(2)當(dāng)m2-1≠0,即m≠1且m≠-1時(shí),復(fù)數(shù)z是虛數(shù);(3)當(dāng)m2即m=2時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)已知復(fù)數(shù)z=a2+(2a+3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)【解析】選B.由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)∪(3,+∞).12.(5分)(多選)(2024·長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知復(fù)數(shù)z1=m2-1+(m+1)i,z2=cos2θ+isinθ,下列說(shuō)法正確的是()A.若z1為純虛數(shù),則m=1B.若z2為實(shí)數(shù),則θ=kπ,k∈ZC.若z1=z2,則m=0或m=-4D.若z1≥0,則m的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞)【解析】選ABC.對(duì)于A,復(fù)數(shù)z1=m2-1+(m+1)i是純虛數(shù),則m2-1=0對(duì)于B,若z2=cos2θ+isin