高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.4.2　第1課時(shí)　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)4.4.2第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)含答案4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用描點(diǎn)法或作圖工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象2.結(jié)合圖象理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3.掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象直觀想象邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)0<a<1a>1圖象定義域0值域R性質(zhì)過定點(diǎn)1,0,即x=1時(shí),減函數(shù)增函數(shù)版本交融(北師大版P115)1.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)(精確到0.01的近似值),畫出函數(shù)y=log2x,y=log3x和y=log5x的圖象,并觀察圖象,說明三個(gè)函數(shù)圖象的相同之處.x0.511.5234…1000y=log2x-100.5811.582…9.97y=log3x-0.6300.370.6311.26…6.29y=log5x-0.4300.250.430.680.86…4.29提示:圖象如圖所示.三個(gè)圖象都過點(diǎn)(1,0),定義域都是(0,+∞),值域都是(-∞,+∞),在定義域(0,+∞)上都是增函數(shù).2.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)a>1時(shí),討論a的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響.提示:當(dāng)a>1時(shí),a越大,在直線x=1的右側(cè),圖象越貼近x軸.3.請(qǐng)你猜想,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)0<a<1時(shí),a的變化對(duì)函數(shù)圖象有何影響?提示:當(dāng)0<a<1時(shí),a越小,在直線x=1的右側(cè),圖象越貼近x軸.二、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),它們的定義域與值域正好互換.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(0,1). (×)提示:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(1,0).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸的右側(cè). (√)提示:對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),故圖象都在y軸的右側(cè).(3)若對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2ax是減函數(shù),則0<a<12. 提示:由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,若對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2ax是減函數(shù),則0<2a<1,即0<a<12(4)y=2x與y=2log4x互為反函數(shù). (√)提示:因?yàn)楹瘮?shù)y=2x的反函數(shù)為y=log2x,而y=2log4x=2×log2xlog類型一與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題(直觀想象)角度1定點(diǎn)問題【典例1】(2024·臺(tái)州高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=loga(x-3)+2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)P,則P的坐標(biāo)是 ()A.(3,0) B.(4,0) C.(3,1) D.(4,2)【解析】選D.令x-3=1,可得x=4,f(4)=loga1+2=2.因此,定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,2).【總結(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定點(diǎn)問題解決方法求函數(shù)y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)時(shí),只需令f(x)=1求出x,即得定點(diǎn)為(x,m).【即學(xué)即練】(2024·杭州高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=logn(x+m)恒過定點(diǎn)(-2,0),則m的值為 ()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】選C.由函數(shù)f(x)=logn(x+m)恒過定點(diǎn)(-2,0),可得logn(-2+m)=0,所以-2+m=1,解得m=3.角度2圖象識(shí)別【典例2】(1)如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象,已知a值取5,53,45,18,則相應(yīng)的C1,C2,C3,C4的a值依次是 A.18,45,53,5 B.5,53C.53,5,45,18 D.5,53【解析】選B.因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí),圖象呈上升趨勢(shì);當(dāng)0<a<1時(shí),圖象呈下降趨勢(shì),又當(dāng)a>1時(shí),a越大,圖象向右越靠近x軸;0<a<1時(shí),a越小,圖象向右越靠近x軸,故C1,C2,C3,C4對(duì)應(yīng)的a值依次是5,53,45,(2)(多選)(2024·烏魯木齊高一檢測(cè))在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=a-x與y=logax(a>0,且a≠1)的圖象可能是 ()【解析】選BD.當(dāng)a>1時(shí),y=a-x的定義域?yàn)镽,且在R上單調(diào)遞減,y=logax的定義域?yàn)?0,+∞),且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,D符合題意;當(dāng)0<a<1時(shí),y=a-x定義域?yàn)镽,且在R上單調(diào)遞增,y=logax定義域?yàn)?0,+∞),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,B符合題意.【補(bǔ)償訓(xùn)練】當(dāng)a>1時(shí),在同一平面直角坐標(biāo)系中,y=1ax與y=loga(-x)的圖象是 (【解析】選B.y=loga(-x)的定義域?yàn)?-∞,0),故A,D錯(cuò)誤;又因?yàn)閍>1,所以0<1a<1,故C錯(cuò)誤,B正確【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別在第一象限內(nèi)取相同的函數(shù)值時(shí),各對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)自左向右逐漸變大,即b>a>1>d>c.【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log3x,直線y=a(a<0)與這三個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是 ()A.x2<x3<x1 B.x1<x3<x2C.x1<x2<x3 D.x3<x2<x1【解析】選A.分別作出這三個(gè)函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,x2<x3<x1.2.(多選)(2024·朔州高一檢測(cè))已知a>0,b>0,且ab=1,a≠1,則函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)g(x)=-logbx在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是 ()【解析】選AB.因?yàn)閍>0,b>0,且ab=1,a≠1,所以當(dāng)0<a<1時(shí),b>1,則函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)g(x)=-logbx在同一坐標(biāo)系中的圖象是:當(dāng)a>1時(shí),0<b<1,則函數(shù)f(x)=ax與函數(shù)g(x)=-logbx在同一坐標(biāo)系中的圖象是:類型二比較大小(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(1)(教材P133例3改編)比較下列各組中兩個(gè)值的大小.①log31.99,log32.②log30.2,log40.2.③log23,log0.32.④logaπ,loga3.14(a>0且a≠1).【解析】①因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.99<2,則f(1.99)<f(2),所以log31.99<log32.②作出y=log3x和y=log4x的圖象如圖.由圖象知log30.2<log40.2.③因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.④當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域上是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.14;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域上是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.14.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.14;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.14.(2)(2024·綿陽高一檢測(cè))設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,c=20.3,則 ()A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>a>b【解析】選D.因?yàn)閍=log0.20.3∈(log0.21,log0.20.2)=(0,1),b=log20.3<log21=0,c=20.3>20=1,所以c>a>b.【總結(jié)升華】比較對(duì)數(shù)值大小的方法(1)底數(shù)相同時(shí),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較,若底數(shù)是同一參數(shù),需分類討論;(2)真數(shù)相同時(shí),結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象比較;(3)若底數(shù)與真數(shù)均不相同,先與0比較,再與1或其他中間量進(jìn)行比較.【即學(xué)即練】比較大小:(1)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1);【解析】(1)當(dāng)a>1時(shí),y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),又5.1<5.9,所以loga5.1<loga5.9;當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),又5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9.綜上,當(dāng)a>1時(shí),loga5.1<loga5.9;當(dāng)0<a<1時(shí),loga5.1>loga5.9.(2)log3π,log23,log32.【解析】(2)因?yàn)閘og23=12log2又1<log23<2,所以12<log23<1又log32=12log32<12,log所以log3π>log23>log32.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a=π-2,b=-log25,c=log213,則 A.b>a>c B.c>b>aC.a>c>b D.a>b>c【解析】選C.因?yàn)閍=π-2=1π2,所以0<因?yàn)閎=-log25=log215,c=log213,15所以log215<log213<0,即b<c所以a>c>b.類型三解對(duì)數(shù)不等式(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例4】解下列不等式:(1)log17x>log1【解析】(1)由題意可得x>0解得0<x<2,所以原不等式的解集為x|(2)log3(x+2)>3;【解析】(2)由log3(x+2)>3,可得log3(x+2)>log327,解得x+2>27,即x>25,所以不等式的解集為{x|x>25}.(3)loga(2x-5)>loga(x-1);【解析】(3)當(dāng)a>1時(shí),原不等式等價(jià)于2x解得x>4;當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式等價(jià)于2x解得52<x<4綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),原不等式的解集為x|當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式的解集為x5(4)logx12>1【解析】(4)當(dāng)x>1時(shí),由logx12>logxx,可得x<1當(dāng)0<x<1時(shí),由logx12>logxx,可得12<x綜上,原不等式的解集為x1【總結(jié)升華】解對(duì)數(shù)不等式的方法(1)對(duì)于形如logaf(x)>logag(x)的不等式,借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論,注意真數(shù)部分大于0.(2)對(duì)于logaf(x)>b的不等式,應(yīng)將b化為logaab,再借助y=logax的單調(diào)性求解.【即學(xué)即練】已知函數(shù)f(x)=log2(3x-1),則使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范圍是 ()A.(-53,+∞) B.(43C.(-∞,-13) D.(-13【解析】選B.由題設(shè)2log2(3x-1)>log2(3x+5),即log2(3x-1)2>log2(3x+5),因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以(3x-1)【補(bǔ)償訓(xùn)練】不等式log12(2x+3)<log18(5x-6)【解析】易知log18(5x-6)3=log(12)3(5x由log12(2x+3)<log18(5x-6)3可得log12(2又函數(shù)log12所以可得2x+3>05x-6>0答案:(65,3教材深一度反函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)(1)同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù);(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域互換;(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;(4)原函數(shù)為奇函數(shù),則其反函數(shù)也是奇函數(shù);(5)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同.【典例5】(1)已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)為y=2x,則f(3)=.

【解析】令3=2x?x=log23,f(3)=log23.答案:log23(2)已知直線y=-x+3分別與函數(shù)y=ex和y=lnx的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=.

【解析】函數(shù)y=ex和y=lnx互為反函數(shù),則函數(shù)y=ex和y=lnx關(guān)于y=x對(duì)稱,將y=-x+3與y=x聯(lián)立求得交點(diǎn)為(32,32由于直線y=-x+3分別與函數(shù)y=ex和y=lnx的圖象交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(32,32),則x1+x22=32答案:3第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.會(huì)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)綜合問題3.運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模類型一與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域與值域問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)-2.若x∈(-1,3],求f(x)的值域.【解析】因?yàn)閤∈(-1,3],所以x+1∈(0,4],所以log2(x+1)∈(-∞,2],所以log2(x+1)-2∈(-∞,0].所以f(x)的值域?yàn)?-∞,0].(2)(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(2024·荊州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+3x+1).①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;②若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】①f(x)=log2(ax2+3x+1),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以ax2+3x+1>0,x∈R恒成立.當(dāng)a=0時(shí),3x+1>0,解得x>-13當(dāng)a≠0時(shí),a>0Δ=9-4綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(94,+∞)②設(shè)g(x)=ax2+3x+1,值域?yàn)镸,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)镽,所以(0,+∞)?M.當(dāng)a=0時(shí),g(x)=3x+1,M=R,(0,+∞)?M,符合題意.當(dāng)a≠0時(shí),(0,+∞)?M,所以a>0Δ=9-4a綜上,a的取值范圍是(0,94]【總結(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域與值域問題(1)定義域:求定義域的本質(zhì)是解關(guān)于自變量的不等式或不等式組,特別是抽象函數(shù)定義域的求解,在對(duì)應(yīng)法則f相同的前提下,括號(hào)里的范圍相同.(2)值域:求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可以先確定真數(shù)部分的范圍,然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤|x≤1,則f(lnx【解析】函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤|則f(lnx)有意義,有l(wèi)nx≤1,解得0<x≤e,所以f(lnx)的定義域?yàn)?0,e].答案:(0,e]2.已知函數(shù)y=(log2x)2-3log2x+6,則函數(shù)y在x∈A.[154,4] B.[4,6] C.[154,6] D.[1【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)y=(log2x)2-3log2x+6,x∈[2,4],令t=log2x所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=t2-3t+6=(t-32)2+154,當(dāng)t=3所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇154,4]類型二與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(2024·南陽高一檢測(cè))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-14x-log2(x+2)(1)求函數(shù)f(x)的解析式;【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=-14(-x)-log2(-x+2)=14x-log2(2-又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)且f(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=log2(2-x)-14x綜上,f(x)=log2(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;【解析】(2)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)=-14x-log2(x因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),由對(duì)稱性可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以?x>0,有f(x)<-1<0=f(0),又因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f(x)=log2(2-x)-14x所以?x<0,有f(x)>1>0=f(0),所以f(x)是R上的減函數(shù).(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+3)+f(-4mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(3)由f(mt2+3)+f(-4mt)<0得f(mt2+3)<-f(-4mt),因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(mt2+3)<f(4mt),又因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),所以mt2+3>4mt,即mt2-4mt+3>0對(duì)任意的t∈R恒成立,①當(dāng)m=0時(shí),3>0恒成立,滿足條件;②當(dāng)m≠0時(shí),m應(yīng)滿足m>0Δ=16m2綜上,m的取值范圍是[0,34)【典例3】(2024·長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知函數(shù)y=(2log4x-2)(log4x+12)(1)當(dāng)x∈[1,16]時(shí),求該函數(shù)的值域;【解析】(1)令t=log4x,x∈[1,16],則t∈[0,2],函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=(2t-2)(t+12),t∈則二次函數(shù)y=(2t-2)(t+12)=2(t-14)當(dāng)t=14時(shí),ymin=-98,當(dāng)t=2時(shí),y故當(dāng)x∈[1,16]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇-98,5](2)若(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x,對(duì)于x∈[4,16]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(2)由于(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x對(duì)于x∈令t=log4x,x∈[4,16],則t∈[1,2],即(t+2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立,所以m>t+1t+52在由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知h(t)=t+1t+5所以當(dāng)t=2時(shí),h(t)max=5,故m>5時(shí),原不等式對(duì)于x∈[4,16]恒成立,即m的取值范圍是{m|m>5}.【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性:①要注意函數(shù)的定義域,②看底數(shù)是否需要分類討論,③利用換元法解決復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值問題.(2)判斷函數(shù)的奇偶性:①先求函數(shù)的定義域,②看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,③利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)判斷是奇函數(shù)還是偶函數(shù).(3)解不等式:利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性,將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為整式或分式不等式.【即學(xué)即練】(2024·六安高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=loga(1+bx)-loga(1-x)(a>0且a≠1,b>0)為奇函數(shù).(1)求f(x)的定義域;【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即loga(1-bx)-loga(1+x)=-loga(1+bx)+loga(1-x),所以1-b2x2=1-x2,得b2=1,又因?yàn)閎>0,所以b=1.根據(jù)解析式可得1+x>01-x>0,所以-1<x<1(2)求關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集.【解析】(2)解不等式f(x)=loga(1+x)-loga(1-x)>0,即loga1+x1當(dāng)a>1時(shí),loga1+x1-x>0等價(jià)于1+x當(dāng)0<a<1時(shí),loga1+x1-x>0等價(jià)于1+x1-又因?yàn)?1<x<1,所以解集為-1<x<0.綜上,當(dāng)a>1時(shí),不等式解集為(0,1);當(dāng)0<a<1時(shí),不等式解集為(-1,0).類型三對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例4】(2024·沈陽高一檢測(cè))某林區(qū)的木材蓄積量每年平均比上一年增長(zhǎng)10%,若要求林區(qū)的木材蓄積量高于當(dāng)前蓄積量的3倍,則至少需要經(jīng)過年.(參考數(shù)據(jù):取lg3≈0.48,lg11≈1.041)

【解析】假設(shè)該林區(qū)當(dāng)前的木材蓄積量為1,則經(jīng)過x年后的木材蓄積量為1110由于要求林區(qū)的木材蓄積量高于當(dāng)前蓄積量的3倍,則可得1110x>3,得x>log因?yàn)閘og11103=lg3lg11-1所以x>11.7,故至少需要經(jīng)過12年.答案:12【即學(xué)即練】中國(guó)的5G技術(shù)世界領(lǐng)先,其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式:C=Wlog2(1+SN).它表示:在受噪聲干擾的信道中,最大信息傳遞速率C(單位:bit/s)取決于信道寬度W(單位:HZ)、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S(單位:dB)、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N(單位:dB)的大小,其中SN叫做信噪比,按照香農(nóng)公式,若信道寬度W變?yōu)樵瓉淼?倍,而將信噪比SN從1000提升至4000,則C大約增加了(附:lg2≈0.3) A.110% B.120% C.130% D.140%【解析】選D.當(dāng)SN=1000時(shí),C=Wlog2當(dāng)SN=4000時(shí),信道寬度W變?yōu)樵瓉淼?倍,C=2Wlog24001因?yàn)?Wlog2≈4+2log21000log21第2課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.會(huì)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決有關(guān)綜合問題3.運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)模型解決實(shí)際問題【素養(yǎng)達(dá)成】 直觀想象、邏輯推理邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模類型一與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域與值域問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)-2.若x∈(-1,3],求f(x)的值域.【解析】因?yàn)閤∈(-1,3],所以x+1∈(0,4],所以log2(x+1)∈(-∞,2],所以log2(x+1)-2∈(-∞,0].所以f(x)的值域?yàn)?-∞,0].(2)(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(2024·荊州高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=log2(ax2+3x+1).①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;②若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】①f(x)=log2(ax2+3x+1),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,所以ax2+3x+1>0,x∈R恒成立.當(dāng)a=0時(shí),3x+1>0,解得x>-13當(dāng)a≠0時(shí),a>0Δ=9-4綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(94,+∞)②設(shè)g(x)=ax2+3x+1,值域?yàn)镸,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的值域?yàn)镽,所以(0,+∞)?M.當(dāng)a=0時(shí),g(x)=3x+1,M=R,(0,+∞)?M,符合題意.當(dāng)a≠0時(shí),(0,+∞)?M,所以a>0Δ=9-4a綜上,a的取值范圍是(0,94]【總結(jié)升華】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域與值域問題(1)定義域:求定義域的本質(zhì)是解關(guān)于自變量的不等式或不等式組,特別是抽象函數(shù)定義域的求解,在對(duì)應(yīng)法則f相同的前提下,括號(hào)里的范圍相同.(2)值域:求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域可以先確定真數(shù)部分的范圍,然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【即學(xué)即練】1.已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤|x≤1,則f(lnx【解析】函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閤|則f(lnx)有意義,有l(wèi)nx≤1,解得0<x≤e,所以f(lnx)的定義域?yàn)?0,e].答案:(0,e]2.已知函數(shù)y=(log2x)2-3log2x+6,則函數(shù)y在x∈A.[154,4] B.[4,6] C.[154,6] D.[1【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)y=(log2x)2-3log2x+6,x∈[2,4],令t=log2x所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=t2-3t+6=(t-32)2+154,當(dāng)t=3所以所求函數(shù)的值域?yàn)閇154,4]類型二與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(2024·南陽高一檢測(cè))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-14x-log2(x+2)(1)求函數(shù)f(x)的解析式;【解析】(1)當(dāng)x<0時(shí),-x>0,所以f(-x)=-14(-x)-log2(-x+2)=14x-log2(2-又因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)且f(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=log2(2-x)-14x綜上,f(x)=log2(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;【解析】(2)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),f(x)=-14x-log2(x因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),由對(duì)稱性可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以?x>0,有f(x)<-1<0=f(0),又因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f(x)=log2(2-x)-14x所以?x<0,有f(x)>1>0=f(0),所以f(x)是R上的減函數(shù).(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+3)+f(-4mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(3)由f(mt2+3)+f(-4mt)<0得f(mt2+3)<-f(-4mt),因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(mt2+3)<f(4mt),又因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù),所以mt2+3>4mt,即mt2-4mt+3>0對(duì)任意的t∈R恒成立,①當(dāng)m=0時(shí),3>0恒成立,滿足條件;②當(dāng)m≠0時(shí),m應(yīng)滿足m>0Δ=16m2綜上,m的取值范圍是[0,34)【典例3】(2024·長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知函數(shù)y=(2log4x-2)(log4x+12)(1)當(dāng)x∈[1,16]時(shí),求該函數(shù)的值域;【解析】(1)令t=log4x,x∈[1,16],則t∈[0,2],函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=(2t-2)(t+12),t∈則二次函數(shù)y=(2t-2)(t+12)=2(t-14)當(dāng)t=14時(shí),ymin=-98,當(dāng)t=2時(shí),y故當(dāng)x∈[1,16]時(shí),函數(shù)的值域?yàn)閇-98,5](2)若(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x,對(duì)于x∈[4,16]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(2)由于(log4x+2)(log4x+12)<mlog4x對(duì)于x∈令t=log4x,x∈[4,16],則t∈[1,2],即(t+2)(t+12)<mt在t∈[1,2]上恒成立,所以m>t+1t+52在由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知h(t)=t+1t+5所以當(dāng)t=2時(shí),h(t)max=5,故m>5時(shí),原不等式對(duì)于x∈[4,16]恒成立,即m的取值范圍是{m|m>5}.【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性:①要注意函數(shù)的定義