高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)三十七　不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)課時(shí)過程性評(píng)價(jià)三十七不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異含答案三十七不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列函數(shù)增長(zhǎng)速度最快的是()A.y=1.1x B.y=2023x2C.y=log2023x D.y=2023x【解析】選A.由函數(shù)y=1.1x為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù),函數(shù)y=2023x2為二次函數(shù),y=log2023x為遞增的對(duì)數(shù)函數(shù),y=2023x為遞增的一次函數(shù),根據(jù)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快.2.(5分)在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中,在注射期間,血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減.下面能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是()【分析】根據(jù)在2h內(nèi),血液中的藥物含量呈線性增加;停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減即可得出.【解析】選B.在2h內(nèi),血液中的藥物含量呈線性增加,則第一段圖象為線段,且為增函數(shù),排除A,D,停止注射后,血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減,排除C.所以能反映血液中藥物含量Q隨時(shí)間t變化的圖象是B.3.(5分)若x∈(0,1),則下列結(jié)論正確的是()A.2x>x12>lgx B.2x>lgxC.x12>2x>lgx D.lgx>x【解析】選A .根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可知當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y=2x∈(1,2);根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性,可知當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y=x12∈(0,1);根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可知當(dāng)x∈(0,1)時(shí),y=lgx所以2x>x124.(5分)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)可能是()A.y=1-x-1,x∈(0,+∞)B.y=32-12x,C.y=lnxD.y=x-1,x∈(0,+∞)【解析】選C.由題中圖象過(1,0)知B不正確;由f(3)>1知A不正確;由題中圖象為曲線知D不正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】?jī)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是生活中三類常見基本的初等函數(shù),可以刻畫客觀世界不同的變化規(guī)律.已知函數(shù)y=xa,y=bx,y=logcx的圖象如圖所示,則()A.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】選A.由題圖可得曲線①為對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx,在定義域內(nèi)為增函數(shù),則c>1,曲線②為指數(shù)函數(shù)y=bx,為減函數(shù),則0<b<1,曲線③為冪函數(shù)y=xa,在(0,+∞)上為減函數(shù),則a<0,所以a<0<b<1<c.5.(5分)在某次試驗(yàn)中,測(cè)得變量x和變量y之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表.x0.500.992.013.98y-1.01-0.010.982.00則下列函數(shù)中,最能反映變量x和y之間的變化關(guān)系的是()A.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2x【解析】選D.將x=0.50,y=-1.01代入計(jì)算,可以排除A;將x=2.01,y=0.98代入計(jì)算,可以排除B,C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,可知滿足題意.6.(5分)(多選)函數(shù)f(x)=12x,g(x)=log12x,h(x)=A.f(x)遞減速度越來(lái)越慢B.g(x)遞減速度越來(lái)越慢C.h(x)遞減速度越來(lái)越慢D.g(x)的遞減速度慢于h(x)的遞減速度【解析】選ABC.根據(jù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象可知在區(qū)間(0,+∞)上,f(x)=12g(x)=log12h(x)=x-h(x)的遞減速度慢于g(x)的遞減速度,故D錯(cuò)誤.7.(5分)當(dāng)x∈(1,e)時(shí),試探究三個(gè)函數(shù)y=3x,y=lnx,y=3ex的增長(zhǎng)差異,用“>”把它們連接起來(lái)為【解析】令y1=3x,y2=3ex,y3=lnx所以,當(dāng)x∈(1,e)時(shí),3<3x<3e,1<3e<3ex<3,0<lnx<1,故3x>3>3e答案:3x>3ex>ln8.(5分)下列分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)模型,從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看,使得公司獲益最大的函數(shù)模型是.

①y=10×1.05x;②y=20+x2;③y=30+lg(x+1);④y=50x.【解析】結(jié)合四類函數(shù)的增長(zhǎng)差異可知,指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快,所以①的預(yù)期收益最大.答案:①9.(5分)(2024·北京高一檢測(cè))A,B,C三個(gè)人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)同向而行,位移y關(guān)于時(shí)間x(x>0)的函數(shù)關(guān)系式分別為yA=2x-1,yB=log2x,yC=x12,則下列結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是①當(dāng)x>1時(shí),A總走在最前面;②當(dāng)0<x<1時(shí),C總走在最前面;③當(dāng)x>4時(shí),B一定走在C前面.【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出yA=2x-1,yB=log2x,yC=x1當(dāng)x=1時(shí),yA=2-1=1,yC=112=1,故當(dāng)x>1時(shí),A總走在最前面,當(dāng)0<x<1時(shí),由圖象可知,C總走在最前面,②正確;當(dāng)x=4時(shí),yB=log24=2,yC=41當(dāng)x=16時(shí),yB=log216=4,yC=161由于冪函數(shù)yC=x12的增長(zhǎng)速度>對(duì)數(shù)函數(shù)yB=log2故4<x<16時(shí),B走在C前面;當(dāng)x>16時(shí),B走在C后面,③錯(cuò)誤.答案:①②10.(10分)設(shè)y1=log2x,y2=x2,y3=2x.令x1=2n,x2=2n+1.(1)請(qǐng)分別化簡(jiǎn)下列各式:①log2x2-log2x1;②x22-x12;③【解析】(1)①將x1=2n,x2=2n+1代入可得log2x2-log2x1=log22n+1-log22n=n+1-n=1;②將x1=2n,x2=2n+1代入可得x22-x12=(2n+1)2-(2n)2=22(n+1)-22③將x1=2n,x2=2n+1代入可得2x2-2x1=22n+1(2)結(jié)合(1)中的化簡(jiǎn)結(jié)果,談?wù)勀銓?duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y1,冪函數(shù)y2,指數(shù)函數(shù)y3變化的感受.【解析】(2)結(jié)合(1)中的化簡(jiǎn)結(jié)果可知,對(duì)數(shù)函數(shù)y1,冪函數(shù)y2,指數(shù)函數(shù)y3都會(huì)隨著x的增大而增大,但是它們的增長(zhǎng)速度不同,當(dāng)自變量x的增量相同時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)y1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,冪函數(shù)y2、指數(shù)函數(shù)y3的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,且y3的增長(zhǎng)速度大于y2(答案不唯一).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·太原高一檢測(cè))三個(gè)變量y1,y2,y3隨著變量x的變化情況如表:x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40則與x呈對(duì)數(shù)函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型變化的變量依次是()A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2【解析】選C.由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較,指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快,對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最慢,由題中表格可知,y1是冪函數(shù),y2是指數(shù)函數(shù),y3是對(duì)數(shù)函數(shù).12.(5分)(2023·瀘州高一檢測(cè))已知p:-1<x<2,q:2x+1-log2(x+2)<1,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.對(duì)于q:2x+1-log2(x+2)<1,2x+1<log2(x+2)+1,令y1=log2(x+2)+1,y2=2x+1,根據(jù)圖象的平移得出兩函數(shù)圖象,如圖所示:根據(jù)圖象可知,要使y1>y2,則-1<x<0,又因?yàn)閜:-1<x<2,所以pq,q?p,所以p是q的必要不充分條件.13.(5分)(2024·北京高一期末)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa(a>0且a≠1),給出下列三個(gè)結(jié)論:①當(dāng)a>1時(shí),對(duì)?x∈(0,+∞),函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方;②當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)與h(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn);③?x0∈(0,+∞),當(dāng)x>x0時(shí),恒有h(x)>g(x).其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【解析】對(duì)于①,取a=e1e>e0,則f(x)=e1exg(x)=loge1ex滿足g(e)=log所以此時(shí)f(e)=g(e),不滿足函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)的圖象上方,故①不正確.對(duì)于②,當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)=2x,h(x)=x2,f(2)=g(2)=4,f(4)=g(4)=16,作出函數(shù)f(x)=2x,h(x)=x2的圖象:根據(jù)圖象可得,在x<0時(shí),函數(shù)f(x)=2x,h(x)=x2有1個(gè)交點(diǎn).所以當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)與h(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),故②不正確.對(duì)于③,當(dāng)0<a<1時(shí),在x>1時(shí),g(x)=logax的圖象在x軸下方;h(x)=xa的圖象在x軸上方.此時(shí)顯然滿足條件.當(dāng)a>1時(shí),對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)g(x)=logax和冪函數(shù)h(x)=xa,在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增大,g(x)=logax增長(zhǎng)得越來(lái)越慢,圖象就像與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內(nèi),logax可能會(huì)大于xa,但由于xa的增長(zhǎng)速度快于logax的增長(zhǎng)速度,因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有h(x)>g(x)成立,故③正確.答案:③14.(10分)某商場(chǎng)為了實(shí)現(xiàn)100萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí),按利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y隨利潤(rùn)x的增加而增加,但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬(wàn)元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪個(gè)模型符合該商場(chǎng)的要求?【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的圖象如圖所示:觀察圖象可知,在區(qū)間[5,100]內(nèi),函數(shù)y=0.2x,y=1.02x的圖象都有一部分在直線y=3的上方,只有函數(shù)y=log5x的圖象始終在直線y=3和y=0.2x的下方,這說明只有按模型y=log5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合商場(chǎng)的要求.【創(chuàng)新拓展練】15.(5分)當(dāng)0<x≤12時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是(A.(0,22) B.(2C.(1,2) D.(2,2)【分析】分a>1和0<a<1兩種情況討論,即可得出結(jié)果.【解析】選B.當(dāng)a>1時(shí),顯然不成立.當(dāng)0<a<1時(shí),當(dāng)x=12時(shí),412=2,此時(shí)loga12=2,解得a=22,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知,要使4x<logax在0<x≤12【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用,熟記對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可,屬于?？碱}型.16.(5分)若已知16<x<20,利用圖象可判斷出x12和log2x的大小關(guān)系為【解析】作出f(x)=x12和g(x)=log2由圖象可知,在(0,4)內(nèi),x12>log2x;x=4或x=16時(shí),x12在(4,16)內(nèi),x12<log2x;在(16,20)內(nèi),x1答案:x12>log。三十三對(duì)數(shù)的運(yùn)算(二)(時(shí)間:45分鐘分值:100分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列運(yùn)算中正確的是 ()A.log38log35=log85B.C.lg(2+5)=lg2·lg5 D.12【解析】選D.對(duì)于選項(xiàng)A,由換底公式可得log38log對(duì)于選項(xiàng)B,log46=12log26=log26對(duì)于選項(xiàng)C,lg(2+5)=lg2·lg5錯(cuò)誤,正確的應(yīng)該是lg(2×5)=lg2+lg5,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D,12-log22.(5分)已知lg3=a,lg7=b,則lg349的值為(A.a-b2 B.a-2b C.b2a D【解析】選B.因?yàn)閘g3=a,lg7=b,所以lg349=lg3-lg49=lg3-2lg7=a-23.(5分)(log43+log83)(log32+log92)= ()A.54 B.45 C.15 D【解析】選A.(log43+log83)(log32+log92)=(12log23+13log23)(log32+12=(56log23)(32log32)=54×lg3lg2×4.(5分)(2024·德州高一檢測(cè))某企業(yè)由于引進(jìn)新的技術(shù),產(chǎn)值逐年增長(zhǎng),如果從2023年起,每年的產(chǎn)值比上一年平均增加20%,那么產(chǎn)值翻兩番(即原來(lái)的4倍)至少經(jīng)過(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.4771) ()A.5年 B.8年 C.11年 D.14年【解析】選B.設(shè)至少經(jīng)過n年產(chǎn)值翻兩番,則(1+20%)n=4,解得n=log1.24=lg4lg1.=2lg2lg12-lg10=≈2×0.301所以至少經(jīng)過8年產(chǎn)值翻兩番.5.(5分)(多選)已知a=lg2,b=lg3,則 ()A.a+b=lg6 B.a2b=logC.2+ab=log212 D.b-a=lg【解析】選ACD.對(duì)A:lg6=lg2+lg3=a+b,A正確;對(duì)B:log34=lg4lg3=2lg2lg3=2a對(duì)C:log212=log24+log23=2+lg3lg2=2+a對(duì)D:lg32=lg3-lg2=b-a,D正確6.(5分)(多選)若log2m=log4n,則 ()A.n=2m B.log9n=log3mC.lnn=2lnm D.log2m=log8(mn)【解析】選BCD.依題意log2m=log4n,所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12,所以m=n12log9n=log32m2=22log3m=log3lnn=lnm2=2lnm,C選項(xiàng)正確.log8(mn)=log23m3=33log2m=log27.(5分)如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7·lg5=0的兩根為α,β,則αβ的值為.

【解析】由題意知,lgα,lgβ是一元二次方程z2+(lg7+lg5)z+lg7·lg5=0的兩根,依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lgα+lgβ=-(lg7+lg5),lg(α·β)=lg(7×5)-1,所以α·β=135答案:18.(5分)設(shè)a>0且a≠1,b>0,若logab·log5a=3,則b=.

【解析】因?yàn)閘ogab·log5a=3,所以lgblga·lgalg5=lgb答案:1259.(5分)計(jì)算:log49·log38+lne2+lg0.01+51+log5【解析】由題意可得:log49·log38+lne2+lg0.01+5=log2232·log323=3log23·log32+5×3=3+15=18.答案:1810.(10分)(1)計(jì)算:12log25+ln1e+log【解析】(1)12log25+ln1e=2-log25+lne-1+=2log25-1-1+=5-1-1+1log53×2(2)已知lg2=a,lg3=b,求log236的值.【解析】(2)log236=log2(22×32)=log222+log232=2+2×lg3lg2=2+2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知lg2=a,lg3=b.(1)求lg72,lg4.5;【解析】(1)lg72=lg(23×32)=3lg2+2lg3=3a+2b;lg4.5=lg92=2lg3-lg2=2b-(2)若lgx=a+b-2,求x的值.【解析】(2)lgx=a+b-2=lg2+lg3-2=lg2+lg3+lg1100=lg6所以x=6100=0.06【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·忻州高一檢測(cè))已知3a=5b=2,則lg6= ()A.a+1a(bC.b(a+1)【解析】選C.因?yàn)?a=5b=2,所以a=log32=lg2lg3,b=log52=lg2lg5=所以lg2=bb+1,lg3=lg2a所以lg6=lg2+lg3=bb+1+ba(b12.(5分)(多選)(2024·太原高一檢測(cè))下列運(yùn)算中正確的是 ()A.2log510+log50.25=2B.log427×log258×log95=8C.lg2+lg50=10D.eln2+ln3=6【解析】選AD.對(duì)于選項(xiàng)A,2log510+log50.25=log5(102×0.25)=log552=2,所以選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,log427×log258×log95=lg33lg22×lg對(duì)于選項(xiàng)C,lg2+lg50=lg100=2,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,eln2+ln3=eln2·eln3=2×3=6,所以選項(xiàng)D正確.13.(5分)(2024·南京高一檢測(cè))已知a=log26,3b=36,則1a+2b=,2a【解析】由題意知a=log26,3b=36,可得b=log336=2log36,所以1a=1log26=log62,2b所以1a+2b=log62+log63=log又由ab=log262log36=12log23=log2答案:1314.(10分)求滿足下列條件的各式的值.(1)若xlog34=1,求4x+4-x的值;【解析】(1)因?yàn)閤log34=1,所以log34x=1,所以4x=3,所以4x+4-x=3+3-1=103(2)設(shè)3x=4y=6z,求證:1x+12y【解析】(2)設(shè)3x=4y=6z=m(m>0),則x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1x=logm3,1y=logm4,1z=log所以1x+12y=logm3+logm所以1x+12y15.(10分)(2024·荊州高一檢測(cè))某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念,大力開展植樹造林.假設(shè)一片森林原來(lái)的面積為a畝,計(jì)劃每年種植一些樹苗,且森林面積的年增長(zhǎng)率相同,當(dāng)面積是原來(lái)的2倍時(shí),所用時(shí)間是10年.(1)當(dāng)森林面積為原來(lái)的2倍,則該地已經(jīng)植樹造林多少年?【解析】(1)設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可得:a(1+x)10=2a,即(1+x)10=2,則1+x=2110,故x=2110-1設(shè)該地已經(jīng)植樹造林n年,則a(1+x)n=2a,所以2n10=2=21故該地已經(jīng)植樹造林5年.(2)為使森林面積至少達(dá)到6a畝,至少需要植樹造林多少年(精確到整數(shù))?(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg3=0.