高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊單元形成性評價·模塊終結(jié)性評價單元形成性評價(二)含答案

高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊單元形成性評價·模塊終結(jié)性評價單元形成性評價(二)含答案單元形成性評價(二)(第二章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.不等式-x2-5x+6≥0的解集為()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】選A.-x2-5x+6≥0?x2+5x-6≤0,所以(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1.2.設(shè)M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),則M與N的大小關(guān)系是()A.M≥N B.M>NC.M<N D.M≤N【解析】選B.M-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=(a+12)2+34>0,所以M3.已知a>b且ab≠0,c∈R,則下列不等式一定成立的是()A.a2>b2 B.1a<C.a+b2≥ab D.【解析】選D.當a=1,b=-2時,1>-2,而12<(-2)2=4,11>1-2因為c2+1>0,所以ac2+1>4.已知a>0,b>0,且滿足a3+b4=1,則ab的最大值是(A.2 B.3 C.4 D.6【解析】選B.因為a>0,b>0,且滿足a3+b所以1≥2a3·b當且僅當a=32,b則ab的最大值是3.5.已知2x+2y=1(x>0,y>0),則x+y的最小值為(A.1 B.2 C.4 D.8【解析】選D.因為x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·(2x+2y)=4+2(xy+yx)≥4+4xy·yx=8.當且僅當x6.關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.{x|1<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|x<-1或x>3}D.{x|x<1或x>3}【解析】選C.不等式ax-b>0的解集是{x|x>1},故a>0,ba=1,則關(guān)于x的不等式(ax+b)(x-3)>0即a(x+ba)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)>0,故解集是{x|x<-1或x7.關(guān)于x的不等式mx2+2mx-1<0恒成立的一個充分不必要條件是()A.-2<m<1 B.-1<m≤0C.-1<m<-12 D.-3<m<-【解析】選C.當m=0時,原不等式可化為-1<0,顯然成立;當m≠0時,原不等式恒成立需滿足m<0,Δ=4m2+4m<0,解得-1<m<0.綜上,原不等式恒成立的充要條件為-1<m≤0.結(jié)合選項,可知關(guān)于x8.在R上定義運算:x?y=x(1-y),若?x∈R使得(x-a)?(x+a)>1成立,則實數(shù)a的取值范圍是()A.aa<-1C.a-32<a<【解析】選A.由題意知(x-a)?(x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a=-(x-12)2+a2-a+1若?x∈R,使得不等式(x-a)?(x+a)>1成立,則需函數(shù)y=-(x-12)2+a2-a+1即x=12時,y=a2-a+1解得a<-12或a>3二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.若1a<1b<0,則下列不等式中,正確的是(A.a+b<ab B.|a|>|b|C.a<b D.ba+a【解析】選AD.因為1a<1b<0,所以b<所以a+b<0<ab,|a|<|b|.因為ba>0,ab>0,a>b,所以ba+ab10.已知函數(shù)y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一個零點,則()A.a2-b2≤4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集為{x|x1<x<x2},則x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集為{x|1<x<3},則c=1【解析】選AD.因為y=x2+ax+b(a≠0)有且只有一個零點.故可得Δ=a2-4b=0,即a2=4b>0.a2-b2≤4等價于b2-4b+4≥0,顯然(b-2)2≥0,故A正確.a2+1b=4b+1b≥24因為不等式x2+ax-b<0的解集為{x|x1<x<x2},故可得x1x2=-b<0,故C錯誤.因為不等式x2+ax+b<c的解集為{x|1<x<3},所以實數(shù)1與3是方程x2+ax+b-c=0的兩根,所以-a=1+3=4,則a=-4,從而b=4.又b-c=1×3=3,所以c=b-3=1,故D正確.11.設(shè)a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么()A.a+b有最小值2(2+1)B.a+b有最大值(2+1)2C.ab有最大值3+22D.ab有最小值3+22【解析】選AD.因為a>1,b>1,所以a+b≥2ab,當且僅當a=b時取等號,所以1=ab-(a+b)≤ab-2ab,解得ab≥2+1,所以ab≥(2+1)2=3+22,所以ab有最小值3+22,因為ab≤(a+b2)2,當且僅當a=b時取等號,所以1=ab-(a+b)≤(a+b22-(a+b),所以(a+b)2-4(a+b)≥4,所以[(a+b)-2]2≥8,解得a+b-2≥22,即a+b≥2(2+1),所以a三、填空題(每小題5分,共15分)12.一元二次不等式x2+ax+b>0的解集為{x|x<-3或x>1},則ab=_________,一元一次不等式ax+b<0的解集為_________.

答案:18【解析】由題意知,-3和1是方程x2+ax+b=0的兩根,所以-3+1=-a,-3×1=b,不等式ax+b<0即為2x-3<0,所以x<3213.已知函數(shù)y=x-4+9x+1(x>-1),當x=a時,y取得最小值b,則a+b=答案:3【解析】y=x-4+9x+1=(x+1)+因為x>-1,所以x+1>0,所以y≥2(x當且僅當x+1=9x+1,即此時a=2,b=1,則a+b=3.14.某汽車運輸公司購買一批豪華大客車投入營運,據(jù)市場分析每輛車營運的總利潤y(單位:10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(二次函數(shù)的圖象如圖所示),則每輛客車營運_________年時,年平均利潤最大.

答案:5【解析】由題圖可知,二次函數(shù)頂點為(6,11),設(shè)為y=a(x-6)2+11,代入(4,7)得a=-1,所以y=-x2+12x-25,年平均利潤為yx==-(x+25x)+12≤-2x當且僅當x=25x,即x=5時等號成立四、解答題(共77分)15.(13分)若不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}.(1)解不等式2x2+(2-a)x-a>0;【解析】(1)由題意知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的兩根,所以1-a<0,所以不等式2x2+(2-a)x-a>0,即為2x2-x-3>0,解得x<-1或x>32所以所求不等式的解集為xx(2)b為何值時,ax2+bx+3≥0的解集為R?【解析】(2)ax2+bx+3≥0,即為3x2+bx+3≥0,若此不等式的解集為R,則b2-4×3×3≤0,所以-6≤b≤6.16.(15分)若實數(shù)x>0,y>0,且滿足x+y=8-xy.(1)求xy的最大值;【解析】(1)因為x>0,y>0,所以8-xy=x+y≥2xy,即(xy+4)(xy-2)≤0,解得0<xy≤4,當且僅當x=y=2時,等號成立,所以xy的最大值為4.(2)求x+y的最小值.【解析】(2)8-(x+y)=xy≤(x+y2所以[(x+y)+8][(x+y)-4]≥0,所以x+y≥4,當且僅當x=y=2時,等號成立.即x+y的最小值為4.17.(15分)已知關(guān)于x的不等式(ax-1)(x-1)<0.(1)當a=2時,解不等式;【解析】(1)當a=2時,代入可得(2x-1)(x-1)<0,解不等式可得12<x所以不等式的解集為x1(2)當a<1時,解不等式.【解析】(2)當a=0時,代入不等式可得-x+1<0,解得x>1;當0<a<1時,化簡不等式可得a(x-1a)(x-1)<0,由1a>1解不等式可得1<x<當a<0時,化簡不等式可得a(x-1a)(x-1)<0,解不等式可得x>1或x<1綜上可知,當a=0時,不等式解集為{x|x>1},當0<a<1時,不等式解集為x1<x<1a18.(17分)國際上鉆石的質(zhì)量計量單位為克拉.已知某種鉆石的價值(美元)與其質(zhì)量(克拉)的平方成正比,且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元.(1)寫出鉆石的價值y關(guān)于鉆石質(zhì)量x的關(guān)系式;【解析】(1)由題意可設(shè)價值與質(zhì)量的關(guān)系式為y=kx2,因為3克拉的鉆石的價值是54000美元,所以54000=k·32,解得k=6000,所以y=6000x2,所以此鉆石的價值與質(zhì)量的關(guān)系式為y=6000x2.(2)把一顆鉆石切割成兩顆鉆石,若兩顆鉆石的質(zhì)量分別為m克拉和n克拉,試證明:當m=n時,價值損失的百分率最大.(注:價值損失的百分率=原有價值-現(xiàn)有價值原有價值【解析】(2)兩顆鉆石的質(zhì)量分別為m,n克拉,則原有價值是6000(m+n)2,現(xiàn)有價值是6000m2+6000n2,價值損失的百分率為6=2mn(m+n當且僅當m=n時,等號成立.所以當m=n時,價值損失的百分率最大.19.(17分)(1)對任意-1≤x≤1,函數(shù)y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0,求a的取值范圍.【解析】(1)因為x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,即x2+ax-4x+4-2a>0恒成立.所以(x-2)·a>-x2+4x-4.因為-1≤x≤1,所以x-2<0.所以a<-x2+4x令y=2-x,則當-1≤x≤1時,y的最小值為1,所以a<1.故a的取值范圍為{a|a<1}.(2)不等式x2+8y2≥λy(x+y)對于任意的x,y∈R恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.【解析】(2)因為x2+8y2≥λy(x+y)對于任意的x,y∈R恒成立,所以x2+8y2-λy(x+y)≥0對于任意的x,y∈R恒成立,即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立,由二次不等式的性質(zhì)可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.故實數(shù)λ的取值范圍為{λ|-8≤λ≤4}.單元形成性評價(三)(第三章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知f(x)=3x+1,x≤1A.7 B.2C.10 D.12【解析】選D.因為3>1,所以f(3)=32+3=12.2.函數(shù)f(x)=1x2-A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0]∪[1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)【解析】選D.由題意知:x2-x>0,解得x<0或x>1,所以函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(1,+∞).3.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x(x≥0)有相同圖象的一個是()A.y=x2 B.y=(x)C.y=3x3 D.y【解析】選B.y=x2=|x|,x∈R;y=(x)2=x,x≥0;y=3x3=x,x∈R;y=x2x=4.冪函數(shù)的圖象過點(2,14),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是(A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,+∞)【解析】選C.設(shè)冪函數(shù)為y=xα,則2α=14,解得α=-2,所以y=x-2,故函數(shù)y=x-2的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)5.有關(guān)部門決定對某藥品分兩次降價,假設(shè)平均每次降價的百分率為x.已知該藥品的原價是m元,降價后的價格是y元,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()A.y=m(1-x)2 B.y=m(1+x)2C.y=2m(1-x) D.y=2m(1+x)【解析】選A.第一次降價后價格為m(1-x),第二次降價后價格變?yōu)閥=m(1-x)(1-x)=m(1-x)2.6.已知函數(shù)f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.(-∞,-1)C.[1,+∞) D.(-∞,1)【解析】選A.由于f(x)=|x+a|的零點是x=-a,且在直線x=-a兩側(cè)左減右增,要使函數(shù)f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是單調(diào)函數(shù),則-a≥-1,解得a≤1.7.已知f(x)=x+1,x∈[-1,0),【解析】選A.當x=0時,根據(jù)函數(shù)解析式知f(-0)=f(0)=02+1=1,可排除B;當x=1時,f(-1)=-1+1=0,可排除C,D.8.二次函數(shù)f(x)=ax2+a是[-a,a2]上的偶函數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x-2),則g(0),g(32),g(3)的大小關(guān)系為(A.g(32)<g(0)<gB.g(0)<g(32)<gC.g(32)<g(3)<gD.g(3)<g(32)<g【解析】選C.由題意得a≠0,-a所以f(x)=x2+1,所以g(x)=f(x-2)=(x-2)2+1.因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,所以g(32)=g(52),g(0)=g又因為函數(shù)g(x)=(x-2)2+1在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(52)<g(3)<g所以g(32)<g(3)<g(0)二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()A.函數(shù)f(x)的定義域為[-4,4)B.函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞)C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.對于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自變量x與之對應【解析】選BD.由題圖可知,函數(shù)f(x)的定義域為[-4,0]∪[1,4),故A錯誤;函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),故B正確;函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),故C錯誤;對于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自變量x與之對應,故D正確.10.已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),且在區(qū)間[a,b](a<b<0)上的值域為[-3,4],則在區(qū)間[-b,-a]上()A.有最大值4 B.有最小值-4C.有最大值3 D.有最小值-3【解析】選BC.方法一:根據(jù)題意作出y=f(x)的簡圖,由圖知,選BC.方法二:當x∈[-b,-a]時,-x∈[a,b],由題意得f(b)≤f(-x)≤f(a),即-3≤-f(x)≤4,所以-4≤f(x)≤3,即在區(qū)間[-b,-a]上,f(x)min=-4,f(x)max=3.11.某市出租車收費標準如下:起步價為8元,起步里程為3km(不超過3km按起步價付費);超過3km但不超過8km時,超過部分按每千米2.15元收費;超過8km時,超過部分按每千米2.85元收費.另每次乘坐需付燃油附加費1元.下列結(jié)論正確的是()A.出租車行駛2km,乘客需付費8元B.出租車行駛4km,乘客需付費9.6元C.出租車行駛10km,乘客需付費25.45元D.某人兩次乘出租車均行駛5km的費用之和超過他乘出租車行駛10km一次的費用【解析】選CD.在A中,出租車行駛2km,乘客需付起步價8元和燃油附加費1元,共9元,A錯誤;在B中,出租車行駛4km,乘客需付費8+1×2.15+1=11.15(元),B錯誤;在C中,出租車行駛10km,乘客需付費8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),C正確;在D中,乘出租車行駛5km,乘客需付費8+2×2.15+1=13.3(元),乘坐兩次需付費26.6元,26.6>25.45,D正確.三、填空題(每小題5分,共15分)12.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x(1-x),則當x<0時,f(x)=.

答案:x(1+x)【解析】因為x<0,所以-x>0,所以f(-x)=(-x)(1+x),又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+x)=x(1+x),所以當x<0時,f(x)=x(1+x).13.若函數(shù)f(x)滿足f(x+1x)=x,則f(x)的解析式為答案:f(x)=1x-1【解析】令x+1x=t,則x=1t所以f(t)=1t-1所以f(x)=1x-1(14.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,f(-5)=0,則不等式(x-3)f(x)>0的解集是_________.

答案:(-5,0)∪(3,5)【解析】據(jù)題意,得函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),且f(-5)=0,則f(5)=-f(-5)=0,又函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則在(0,5)上,f(x)>0,在(5,+∞)上,f(x)<0,又函數(shù)為奇函數(shù),則在(-5,0)上,f(x)<0,在(-∞,-5)上,f(x)>0,不等式(x-3)f(x)>0?x-3>0則-5<x<0或3<x<5,即不等式的解集為(-5,0)∪(3,5).四、解答題(共77分)15.(13分)已知冪函數(shù)f(x)=(m2-5m+7)·xm-1為偶函數(shù).(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由題意得m2-5m+7=1,即m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.又f(x)為偶函數(shù),所以m=3,此時f(x)=x2.(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(2)由(1)知,g(x)=x2-ax-3,因為g(x)=x2-ax-3在[1,3]上不是單調(diào)函數(shù),所以1<a2解得2<a<6,即a的取值范圍為(2,6).16.(15分)已知函數(shù)f(x)=x2(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;【解析】(1)函數(shù)f(x)是奇函數(shù).證明如下:函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),因為f(-x)=(-x)2+1-x=-所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(2)已知函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且實數(shù)m滿足m>1且f(3m)>f(5-2m),求m的取值范圍.【解析】(2)因為函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,m>1且f(3m)>f(5-2m),所以3m>5-2m>1,解得1<m<2,所以m的取值范圍為(1,2).17.(15分)已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈(1)求a的值;【解析】(1)由f(1)=5得1+a=5,解得a=4.(2)判斷f(x)在(0,2)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明你的判斷.【解析】(2)f(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減,證明如下:由(1)得f(x)=x2+4x=x對任意x1,x2∈(0,2),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=(x1-x2)+由x1,x2∈(0,2),得0<x1x2<4,x1x2-4<0,又由x1<x2,得x1-x2<0,于是(x即f(x1)>f(x2),所以f(x)=x+4x在(0,2)上單調(diào)遞減18.(17分)某園區(qū)投資了30萬元種植鮮花供市民游賞,據(jù)調(diào)查,花期為30天,園區(qū)從某月1號至30號開放,每天的旅游人數(shù)f(x)與第x天近似地滿足f(x)=8+8x(千人),且游客人均消費g(x)近似地滿足g(x)=143-|x-22|(元),1≤x≤30,x∈N*(1)求該園區(qū)第x天的旅游收入p(x)(單位:千元)的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)p(x)=f(x)·g(x)=(8+8x)(143-|x=8(2)記(1)中p(x)的最小值為m,若以0.3m(千元)作為資金全部用于收回投資成本,試問該園區(qū)能否收回投資成本?【解析】(2)當1≤x≤22時,p(x)=8x+968x+976≥28當且僅當8x=968x,即x=11時取等號,此時p(x當22<x≤30時,p(x)=-8x+1當x=30時,p(x)min=-8×30+1320因為1116<1152,所以m=1116,所以m=p(30)=1